第一章 空间向量与立体几何
1.1
空间向量及其运算
1．1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及其线性运算
必备知识·自主学习
1.空间向量的概念
(1)在空间，把具有大小和方向的量称为空间向量，向量的大小称为向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
起点与终点相同的向量叫做零向量，记为0，方向是不确定的．
单位向量
模为1的向量称为单位向量．
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a.
相等向量
大小相等方向相同的向量称为相等向量．
共线向量或平行向量
空间两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行或共线．
(1)空间向量与平面向量的关系是怎样的？
提示：平面向量的集合是空间向量集合的子集，平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如相反向量的概念、向量等式中的移项法则、零向量的性质在空间向量中仍然成立．
(2)零向量是没有方向的吗？
提示：不是，零向量的方向是不确定的．
2．空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
(1)空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？
提示：完全一致．
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，它们的和向量有什么特点？
提示：和向量为0.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)在空间中，单位向量唯一．( )
(2)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．( )
(3)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( )
提示：(1)×.单位向量模都相等，但是方向不一定相同．
(2)√.互为相反向量的两个向量方向相反，长度相等是共线向量．
(3)×.当λ＞0时，λa与a同向，当λ＜0时，λa与a反向．
2．(教材例题改编)已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c
B．－a－b＋c
C.－a＋b＋c
D．－a＋b－c
【解析】选C.＝＋＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c.
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，向量与是________向量，向量与是________向量．
【解析】对照图形，结合相等向量、相反向量的概念可以解决．
答案：相等 相反
关键能力·合作学习
类型一 空间向量的概念理解(数学抽象)
1.若|a|<|b|，则( )
A.aB．a>b
C.a＝b
D．不能比较大小
2．对于空间相等向量的描述，正确的是( )
A.方向相同或相反
B．一定是共线向量
C.起点与终点相同
D．都是单位向量
3．如图，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，下列说法正确的是( )
A.＝
B．
C.向量与共线
D．向量与共面
【解析】1.选D.向量不能比较大小，向量的模可以比较大小．
2．选B.空间相等向量方向相同，长度相等，起点和终点不一定相同，一定是共线的，但不一定都是单位向量．
3．选D.向量与长度相等，方向相反，故＝－，A选项错误；在长方体中，无法判断，故B选项错误；向量与方向既不相同，也不相反，不是共线向量，但是可以平移到同一平面上，是共面向量，故C选项错误，D选项正确．
对空间向量概念理解的关注点：
1．在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．
2．两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等、方向相反．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【补偿训练】
下列说法正确的是( )
A.若|a|＝|b|，则a＝b
B.若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C.空间内两平行向量相等
D.在四边形ABCD中，－＝
【解析】选D.向量的模相等，但向量的方向不一定相同，不可能为相等向量，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确．
类型二 空间向量的线性运算(直观想象、逻辑推理)
角度1 空间向量的加法、减法运算
【典例】在正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中．
(1)化简－＋＋，并在图中标出化简结果的向量；
(2)化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
【思路导引】根据六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，所有的侧棱平行且相等，相对的两条边平行且相等，结合空间向量的加法与减法运算的三角形法则，求出答案并画出图形．
【解析】(1)正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，
－＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝，如图1所示．
(2)＋＋＋＝(＋)＋()＝(－)＋(＋)＝0＋，如图2所示．
本例条件不变，化简－－.
【解析】在正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，－－＝＋＋＝＋＋＝．
角度2 空间向量的数乘运算
【典例】如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，证明：＝－－．
【思路导引】根据空间向量的线性运算先求＋，然后结合图象进行化简，即可得到结论．
【解析】(1)－(＋)＝－＝．
(2)－－
＝(＋)－－
＝－＝－＝，
所以＝－－．
1．空间向量加法、减法运算的关注点
(1)关键：三角形法则和平行四边形法则；
(2)技巧：巧用相反向量可使向量间首尾相接，巧用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
1．如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)
－－.
【解析】(1)＋；
(2)＋＋＝＋＝；
(3)
－－＝－＝．
2．在四面体ABCD中E，F分别为棱AC，BD的中点，求证：＋＋＋＝4.
【证明】左边＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝2(＋)＝4＝右边，得证．
【补偿训练】
如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，
(1)化简：＋＋；
(2)求证：－＋＋＝－.
【解析】(1)＋＋
＝＋＋＝＋(＋)
＝＋＝.
(2)－＋＋＝＋＋＝＋＝＝－.
类型三 用已知向量表示未知向量(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，，，.
四步
内容
理解题意
条件：①四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.②＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点．结论：用a，b，c表示，，，.
思路探求
根据空间向量的线性运算的几何意义，用向量，与分别表示，，和.
书写表达
在四棱锥P?OABC中，PO⊥平面OABC，＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，所以＝＝(－)＝－(＋)＝c－a－b，＝－＝－＝(－)－＝c－b－a，＝－＝(＋)－＝c＋b－a，＝＝＝a.
题后反思
用已知向量表示未知向量问题的实质：向量线性运算的应用，就是通过向量的加法、减法、数乘法则用一些向量表示相关向量．
用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；
(2)要注意数形结合思想的运用．
如图所示，ABCD?A1B1C1D1是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图上标出结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N＝C1B，设＝α＋β＋γ，求α，β，γ的值．
【解析】(1)向量＋＋，是在AB上截取AP＝AB，过点P作PQ∥BC，交CD于点Q，
再过点Q作QR∥CC1，且QR＝CC1，连接AR，
则＝，＝，＝，
＝＋＋，如图所示；
(2)M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N＝C1B，
所以＝＋＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝－＋＋＋
＝＋＋，
又＝α＋β＋γ，所以α＝，β＝，γ＝.
课堂检测·素养达标
1．下列命题中，假命题是( )
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.两个共线向量，它们的方向相同或相反
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
【解析】选D.空间向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小；共线向量的方向相同或相反；零向量的模等于0；单位向量模相等，方向不一定相同．
2．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】选C.与相等的向量有，，，共3个．
3．正方体ABCD?A1B1C1D1中，＋＝( )
A.
B．
C．
D．
【解析】选D.由题意可得＋＝．
4．(教材练习改编)如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，共面的向量为( )
A．，，
B．，，
C．，，
D．，,
【解析】选B.根据共面向量的定义判断．
5．化简2＋2＋3＋3＋＝________．
【解析】2＋2＋3＋3＋
＝2(＋＋＋)＋＋＋＝0＋＋＝0＋0＝0.
答案：0
PAGE第2课时 空间向量的数量积
必备知识·自主学习
1.两个向量的夹角
(1)两向量共线时，其夹角分别是多少？
提示：两个非零向量共线且同向时，〈a，b〉＝0，两个非零向量共线且反向时，〈a，b〉＝π.
(2)零向量与其他向量的位置关系是怎样的？
提示：为了方便起见，约定零向量与任意向量都垂直．
2．两个向量的数量积
(1)空间向量的数量积的运算符号“·”能省略吗，能写成“×”吗？
提示：空间向量的数量积的运算符号是“·”，不能省略，也不能写成“×”．
(2)两个向量的数量积与数乘向量有何不同？
提示：两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0·a＝0，而0·a＝0.
3．投影向量
给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影．
(1)向量的投影是向量吗？
提示：是．
(2)a与b的数量积怎样用a在b上的投影a′的数量来表示？
提示：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角．( )
(2)空间向量的数量积仍是一个向量．( )
(3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
提示：(1)×.根据向量夹角的概念，向量与的夹角和向量与的夹角互补．
(2)×.空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量．
(3)×.若a·b＝0，则a＝0、b＝0或a⊥b.
2．下列关于空间向量数量积的运算中，正确的是( )
A．a·b＝·
B．a·b＝sin
〈a，b〉
C．a·b＝b·a
D．c·＝c·a·b
【解析】选C.根据空间向量数量积的概念及运算性质可得，只有C选项正确．
3.(教材例题改编)如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，·＝________，·＝________．
【解析】⊥，故·＝0，·＝·＝1××cos
45°＝1.
答案：0 1
关键能力·合作学习
类型一 空间向量的夹角(直观想象)
1.如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点，则〈，〉＝( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
2．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，则〈，〉＝________.
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
【解析】1.选D.由题意，EF∥AC，所以〈，〉＝〈，〉＝120°.
2．方法一：如图，连接A1C1，BC1，得等边三角形A1BC1，因为A1C1∥AC，所以〈，〉＝〈，〉＝60°.
答案：60°
方法二：不妨设正方体的棱长为1，
设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，＝a－c，＝a＋b.
所以·＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而＝||＝，所以cos
〈，〉＝＝，
因为0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝60°.
答案：60°
3．因为cos
〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝120°.
答案：120°
求空间向量夹角的两种方法：
1．几何求解法：平移直线，得到异面直线夹角，再根据向量的方向得出空间向量的夹角．
2．夹角公式法：由空间向量的数量积公式变形，得到夹角公式cos
〈a，b〉＝，利用公式求解．
【补偿训练】
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
则(1)〈，〉＝________；
(2)〈，〉＝________；
(3)〈，〉＝________．
【解析】(1)因为＝，所以〈，〉＝〈，〉．又∠CAB＝45°，所以〈，〉＝45°.
(2)〈，〉＝180°－〈，〉＝135°.
(3)〈，〉＝90°.
答案：(1)45° (2)135° (3)90°
类型二 求空间向量的数量积(数学运算)
【典例】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
四步
内容
理解题意
条件：①正四面体ABCD棱长为1；②E，F分别是AB，AD的中点结论：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
思路探求
用定义求数量积
书写表达
(1)·＝·＝||||·cos
〈，〉＝cos
60°＝.(2)·＝·＝||2＝.(3)·＝·＝||·||cos
〈，〉＝cos
120°＝－.①(4)·＝·(－)②＝·－·＝||||cos
〈，〉－||||cos
〈，〉＝cos
60°－cos
60°＝0.注意：①向量的夹角；②分解向量．
题后反思
求两个空间向量数量积时要紧扣数量积的概念，明确两个问题，即两个向量的模及两个向量的夹角．
求两个向量a，b的数量积一般有两个类型：
一是结合图形确定向量a，b的模及〈a，b〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；
二是选定一组基向量表示向量a，b，从而把a，b的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求，此种情况常用到数量积的运算律．
已知长方体ABCD?
A′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积：
(1)·；(2)·；(3)·.
【解析】如图，设＝a，＝b，＝c，
则由题意，得|a|＝|c|＝2，|b|＝4，||＝2，〈，〉＝45°，a·b＝b·c＝c·a＝0，
(1)·＝||cos
〈，〉＝2×2×＝4.
(2)·＝b·＝|b|2＝16.
(3)·＝·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
类型三 空间向量数量积的性质及应用(逻辑推理)
角度1 求空间两点的距离
【典例】如图所示，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，从顶点A出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．
【思路导引】把向量和用已知向量、、表示出来，再用数量积的性质运算．
【解析】因为＝＋＋，
所以|
|2＝＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋1＋1＋2(cos
60°＋cos
60°＋cos
60°)＝6.所以|
|＝，即对角线AC1的长为.
同理，|
|2＝＝(＋－)·(＋－)＝||2＋|
|2＋||2＋2(·－·－·)＝1＋1＋1＋2(cos
60°－cos
60°－cos
60°)＝2.
所以|
|＝，
即对角线BD1的长为.
本例条件不变，若E为CC1的中点，求AE的长．
【解析】＝＋＋，
所以||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋|
|2＋2·＋·＋·＝1＋1＋＋2cos
60°＋cos
60°＋cos
60°＝4，
所以||＝.
角度2 证明垂直问题
【典例】如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．
【思路导引】将用，表示；用，表示；利用向量的运算律及向量垂直的数量积为0求出·；判断出垂直．
【证明】·＝(＋)·(－)
＝·－·－·－·
＝·－·－0－·
＝·(－－)＝·(－)
＝·＝0.
故AC与BD互相垂直．
1．求空间几何体中两点的距离或线段长度的两个关注点
(1)转化：把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
(2)公式：用a·a＝|a|2，求|a|.
2．证明垂直问题的两个关注点
(1)转化：证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零．
(2)公式：对于空间两个非零向量a，b，有a⊥b?a·b＝0.
1．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
【解析】选A.根据题意，依次分析选项：
对于A，PC与BD不一定垂直，即向量，不一定垂直，则向量，的数量积不一定为0，
对于B，根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AD，又由AD⊥AB，PA∩AB＝A，则有AD⊥平面PAB，进而有AD⊥PB，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0，
对于C，根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又由AD⊥AB，AP∩AD＝A，则有AB⊥平面PAD，进而有AB⊥PD，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0，
对于D，根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0.
2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．
【解析】因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos
90°＋2·2·cos
120°＋2·2·cos
90°)＝8，
所以||＝2，即A，D两点间的距离为2.
答案：2
3．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若AB＝CD，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EF⊥AD且EF⊥BC.
【证明】连接AF，因为点F是BC的中点，
所以＝(＋)，
所以＝－＝(＋)－＝(＋－)，又||＝||＝|－|，
所以2＝2－2·＋2，①
同理2＝2＝2－2·＋2，②
将①代入②可得2＝2－2·＋2－2·＋AB2，所以22－2·(＋)＝0，
所以·(＋－)＝0，所以·(＋－)＝0，
所以·＝0，所以⊥.同理可得⊥.
所以EF⊥AD且EF⊥BC.
课堂检测·素养达标
1．下列说法正确的是( )
A．对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等
B．对于非零向量a,
|a|＝
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a，b的夹角为，则a·b＝
【解析】选B.对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉互补，A错．由数量积的性质知B正确．
a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b，C错．a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉＝1×2×＝1，D错．
2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
【解析】选C.2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，2·＝2＝a2，故C正确．
3．设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝________．
【解析】(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.
答案：－62
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________．
【解析】cos
〈a，b〉＝＝－，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
答案：
PAGE1.1.2 空间向量基本定理
必备知识·自主学习
1.空间中共线向量与共面向量定理
(1)共线向量定理中，去掉条件“a≠0”可以吗？
提示：不可以．若b＝λa可得b∥a，反之，若b∥a，当a＝0且b≠0时，b＝λa就不成立了．
(2)共面向量定理与平面向量的基本定理有什么关系？
提示：空间向量的共面向量定理与平面向量的基本定理实质相同．
2．空间向量基本定理
(1)定理：
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(2)相关概念：
名称
内容
线性组合或线性表达式
表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
基底与基向量
不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，称为空间向量的一组基底，此时a，b，c都称为基向量．
分解式
如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
零向量可以作为基向量吗？为什么？
提示：不能．零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若存在唯一的实数对(λ，μ)，使a＝λe1＋μe2(其中e1，e2不共线)，则向量a，e1，e2共面．( )
(2)任意三个向量都可构成空间的一组基底．( )
(3)如果所给向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xa＋yb＋zc可以生成部分空间向量．( )
提示：(1)√.
(2)×.任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底．
(3)×.如果所给向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xa＋yb＋zc可以生成所有的空间向量．
2．如果空间向量a，b不共线，且a－b＝a＋xb，则x＝( )
A．1
B．－1
C．0
D．不存在
【解析】选B.根据共面向量定理知，x＝－1.
3.(教材例题改编)如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝______．
【解析】＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.
答案：
关键能力·合作学习
类型一 空间向量的共线问题(逻辑推理)
1.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
2．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
3．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________．
【解析】1.选A.因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，所以A，B，D三点共线．
2．选A.已知m＋n＝1，则m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n?－＝n(－)?＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线．
3．因为＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，
且与共线，故＝x，即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又因为e1，e2不共线，所以
解得故k的值为1.
答案：1
共线向量定理还可用于证明两向量(直线)平行或证明三点共线，
其解题策略是：
(1)充要条件：
①若a∥b，a≠0，则存在唯一实数λ使b＝λa；
②若存在唯一实数λ，使b＝λa，a≠0，则a∥b.
(2)关键：找到实数λ.
【补偿训练】
如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．则与________共线．(填“是”或“否”)
【解析】因为M，N分别是AC，BF的中点，
而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋
＝－＋－－，
所以＋＋
＝－＋－－，
所以＝＋2＋
＝2(＋＋)＝2，
所以∥，即与共线．
答案：是
类型二 空间向量的共面问题(逻辑推理)
【典例】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
四步
内容
理解题意
条件：①矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直；②BM＝BD，AN＝AE.结论：向量，，共面．
思路探求
利用共面向量定理解答
书写表达
因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋. ①所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.又与不共线，②根据向量共面的充要条件可知，，共面．注意：①相同的推导过程可以用“同理”；②不要漏掉“与不共线”．
题后反思
判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．
证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．
如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并连接MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．
【证明】因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R为所在边的中点，
即四边形MNQR为平行四边形，
且有＝，＝，＝，＝.
所以＝－＝－＝＝(＋)
＝(－)＋(－)
＝＋＝＋.
所以由共面向量定理得，，共面，所以E，F，G，H四点共面．
类型三 空间向量基本定理及其应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 基底的概念
【典例】若向量a，b，c是空间的一组基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A．a
B．b
C．c
D．2a
【思路导引】向量a，b，c是空间的一组基底的充要条件为a，b，c不共面，逐一按此标准检验即可．
【解析】选C.向量a，b，c是空间的一组基底，则a，b，c不共面，
对于选项A：a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，故A错误，
对于选项B：b＝[(a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，故B错误，对于选项C：c，m，n不共面，故可以构成空间的另一组基底，故C正确，对于选项D：由选项A得2a＝m＋n，故2a，m，n共面，故D错误．
本例若改为“已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，”则与a，b不能构成空间基底的向量是( )
A．
B．
C．
D．或
【解析】选C.因为＝(＋＋)－(＋－)＝(a－b)，所以与a，b不能构成空间基底．
角度2 空间向量基本定理的应用
【典例】如图，在三棱柱ABC?A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.
【思路导引】借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．
【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋(－)＝b＋a＋(c－b)＝b＋a＋c－b＝a＋b＋c.
＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋()＝a＋b＋(c－b)＝a＋b＋c.
1．基底的判断方法
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
2．用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
1.在四棱锥P?ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝3GD，＝a，＝b，＝c，＝______．(用基底{a，b，c}表示向量)
【解析】在四棱锥P?ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝3GD，＝a，＝b，＝c，＝＋＋＋＝＋＝＋－，
＝＋＝＋(＋－)
＝－＋＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________．
【解析】如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，则＝＋＋＝＋＋＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝＋1＋1＝.
答案：
3．已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基底？
【解析】假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使＝x＋y成立．所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因为{e1，e2，e3}是空间的一组基底，所以e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解，即不存在实数x，y使＝x＋y成立．所以，，不共面．
故{，，}能作为空间的一组基底．
课堂检测·素养达标
1．给出的下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选B.只有②为真命题．
2．(教材练习改编)在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若，，共面，则λ＝( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.由，，共面知，＋＋λ＝1，解得λ＝.
3.如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．
【解析】因为＝＝(＋)，
所以OC1＝＋CC1＝(＋)＋
＝＋＋．
答案：＋＋
4．若{a，b，c}是空间的一组基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
【解析】若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一组基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
答案：x＝y＝z＝0
5．在三棱锥A?BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
【解析】延长DE交边BC于点F，则＋
＝，＋＝＋＝，
故＋－－＝－＝0.
答案：0
PAGE1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标
必备知识·自主学习
1.空间中向量的坐标
在空间向量的基底{e1，e2，e3}中
单位正交基底
若e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底．
单位正交分解
在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解
向量p的坐标
若向量p可单位正交分解为p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组为向量p的坐标，记作：p＝
坐标分量
向量p的坐标中，x，y，z都称为p的坐标分量
零向量的坐标如何表示？
提示：0＝.
2．空间向量的运算与坐标的关系
若a＝，b＝，u，v∈R.
线性运算
ua＋vb＝
数量积运算
a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
模长公式
＝＝
eq
\r(x＋y＋z)
夹角公式
cos
〈a，b〉＝
若a＝，b＝，则a－b如何计算？
提示：a－b＝.
3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
若a＝，b＝
平行
a≠0时
a∥b?
b
=λa?＝λ?
QUOTE
a的每个坐标分量都不为零时
a∥b
?＝＝
垂直
a⊥b
?
a·b
=0?x1x2+y1y2+z1z2=0
当a或b为零向量时，垂直的充要条件还成立吗？
提示：仍然成立．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z).( )
(2)设a＝(a1，a2，a3)，则λa＝(λa1，λa2，λa3).( )
(3)若a＝(2，0，1)，b＝(－2，3，0)，则a⊥b.( )
提示：(1)×.不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
(2)√.由空间向量的线性运算法则可知．
(3)×.
因为a·b＝－4≠0，故两向量不垂直．
2．(教材例题改编)已知向量a＝(1，－1，－2)及b＝(－4，2，0)，则a＋b等于( )
A．(－3，1，－2)
B．(5，5，－2)
C．(3，－1，2)
D．(－5，－5，2)
【解析】选A.由向量a＝(1，－1，－2)，b＝(－4，2，0)，所以a＋b＝(－3，1，－2).
3．已知a＝(0，3，3)，b＝(－1，1，0)，则两向量的夹角等于________.
【解析】因为a·b＝3，＝3，＝，
于是cos
〈a，b〉＝＝，故夹角为60°.
答案：60°
关键能力·合作学习
类型一 空间中向量的坐标及运算(数学运算)
1.已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是( )
A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3)
B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2)
C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1)
D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3)
2．若a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为( )
A．4
B．15
C．3
D．7
3．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】1.选C.由空间中向量的坐标的概念可知，p＝(2，－1，3)，q＝(－1，2，0)，r＝(1，3，－1)，s＝(0，－3，0).
2．选C.因为b＋c＝(2，2，5)，所以a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.
3．选C.因为a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，所以x＝5.
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或参数
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标或参数．
【补偿训练】
已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4，2)
B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2)
D．(2，1，－3)
【解析】选A.依题意，得b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2).
类型二 空间向量的坐标与向量的平行、垂直问题(逻辑推理)
【典例】已知a＝，b＝，c＝.
(1)若a∥c，求x，y的值；
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不能，说明理由．
【思路导引】利用空间向量平行、垂直的充要条件求解．
【解析】(1)因为a＝的每一个坐标分量均不为零，所以a∥c?＝＝?x＝－4，y＝8.
(2)因为c⊥a且c⊥b，所以
所以所以
即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，
此时c＝.
1．空间向量平行与垂直问题的常见题型：
(1)平行与垂直的判断；
(2)利用平行与垂直求参数或解决其他问题．
2．解空间向量平行与垂直问题时要注意：
(1)适当引入参数，建立关于参数的方程；
(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
已知a＝(2，4，x)，b＝(1，y，2)，
(1)若a∥b，则y＝________；
(2)若|a|＝6，且a⊥b，则y＝________．
【解析】(1)由题意得向量a，b的每一个坐标分量均不为零，
所以a∥b?＝＝?x＝4，y＝2.
(2)依题意得
解得或
答案：(1)2 (2)或－
类型三 利用空间向量的坐标运算求向量的模与夹角(数学运算)
角度
1 空间向量的模的计算
【典例】已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，求|b－a|的最小值．
【思路导引】先利用公式求模，再转化成二次函数求最小值．
【解析】b－a＝(1＋t，2t－1，0)，
因为|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＝5t2－2t＋2＝5＋≥，所以|b－a|min＝.
本例若把条件改为“a＝(1－x，2x－3，3－3x)”，求取最小值时x的值．
【解析】因为a＝(1－x，2x－3，3－3x)，
所以＝
＝.
故当x＝时，有最小值．
角度
2 空间向量夹角的计算
【典例】设向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)，求
(1)a与b所成角的余弦值．
(2)确定λ、μ所满足的关系式，使λa＋μb与向量(0，0，1)垂直．
【思路导引】(1)利用两向量的夹角公式求解；
(2)利用两向量垂直的充要条件求解．
【解析】(1)a·b＝(3，5，－4)·(2，1，8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21.|a|＝＝5，
|b|＝＝，
所以cos
〈a，b〉＝＝＝－.
(2)因为(λa＋μb)·(0，0，1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0，0，1)＝－4λ＋8μ，
故只要λ、μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ－2μ＝0，
可使λa＋μb与向量(0，0，1)垂直．
空间向量的模长公式与夹角公式是利用空间向量解决立体几何问题的重要公式，一定要记清公式特点，并能灵活运用．
1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3
B．2
C．
D．5
【解析】选A.a－b＋2c＝(9，3，0)，|a－b＋2c|＝3.
2．已知〈a，b〉＝，a＝，b＝，则k＝_______.
【解析】因为〈a，b〉＝，所以a⊥b?a·b＝0,
所以·＝0，化简得4－4k＝0，
所以k＝1.
答案：1
3．已知a＝(n，n－1，2n)，b＝(1，－n，n)，则|b－a|的最小值是( )
A．
B．
C．2
D．不存在
【解析】选B.因为b－a＝(1－n，1－2n，－n)，
所以|b－a|2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2
＝6＋，
当n＝时，|b－a|的最小值为.
课堂检测·素养达标
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( )
A．(16，0，4)
B．(8，－16，4)
C．(8，16，4)
D．(8，0，4)
【解析】选D.4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
2．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
【解析】选C.因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.
3．(教材练习改编)已知向量a＝(－2，3，5)，b＝(1，－1，－7)，则向量b－a的相反向量的坐标是________．
【解析】因为b－a＝(3，－4，－12)，
所以向量b－a的相反向量的坐标为(－3，4，12).
答案：(－3，4，12)
4．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________．
【解析】由题意，得c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，
解得x＝2.
答案：2
5．已知a＝(－2，－4，0)，b＝(－1，3，0)，则〈a，b〉＝________．
【解析】cos
〈a，b〉
＝＝
＝－，所以〈a，b〉＝135°.
答案：135°
PAGE第2课时 空间直角坐标系
必备知识·自主学习
1.空间直角坐标系
建立方法
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
坐标轴
在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴．
坐标平面
通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
一般画法
x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
图示点的
坐标
设M为空间中的一个点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P，Q，R.且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，因此将有序实数组(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)．
卦限
空间直角坐标系的三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限．
说明
空间直角坐标系中点P的坐标与空间向量的坐标相同．
2．空间向量坐标的应用
空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M(x，y，z)
的坐标公式
＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
空间中两点之间的距离公式
中点坐标公式
＝＝
已知
A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
(1)向量的坐标能表示为吗？
提示：不能．
(2)A，B两点的距离能表示成
吗？
提示：能．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)在空间直角坐标系中，在y轴上的点的坐标一定是(0，b，c).( )
(2)若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z).( )
(3)点P(x，y，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离OP＝.( )
提示：(1)×.y轴上的点的坐标是横、竖坐标都为0.
(2)×.A点与原点重合是，不与原点重合则不是．
(3)√.由空间中两点的距离公式可得．
2．已知正方体的棱长为2，点E是棱DD1的中点，在如图所示的坐标系下，点E的坐标为( )
A．(1，0，0)
B．(0，1，0)
C．(0，0，1)
D．
【解析】选C.因为点E在z轴上，且DE＝1，所以E点的坐标为(0，0，1).
3．(教材例题改编)已知点A，B的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，则向量的坐标是________．
【解析】因为点A，B的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，所以＝(3，－4，－12).
答案：(3，－4，－12)
关键能力·合作学习
类型一 空间中点的坐标的确定(直观想象)
1.点(1，－1，0)在空间直角坐标系中的( )
A．z轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．yOz平面上
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝4，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE.在如图所示的坐标系下，＝( )
A．(1，2，1)
B．
C．
D．
3．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________．
【解析】1.选B.因为点(1，－1，0)的竖坐标为0，所以此点是xOy平面上的点．
2．选C.因为AB＝1，AD＝2，AA1＝4，则CF＝AB＝1，CE＝AB＝，所以BE＝BC－CE＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1，2，1)，所以＝.
3．设点D(x，y，z)，则＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0)，
因为DB∥AC，DC∥AB，所以∥，∥，
则解得所以D(－1，1，2).
答案：(－1，1，2)
确定点的坐标的常用方法：
确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号．
类型二 空间中两点之间的距离问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点．
(1)求DE，EF的长度．
(2)若点G为线段A1C1上一动点，求当GB＝时点G的坐标．
【思路导引】建立适当的空间直角坐标系，把D，E，F的坐标写出来，设出G点坐标，再用距离公式解决．
【解析】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得
D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
设G，其中0≤x≤2.
(1)|DE|＝＝，|EF|＝＝.
(2)＝
＝＝，所以x＝±(负值舍去)，所以点G的坐标为.
距离问题的两种题型及解题策略：
(1)已知两点坐标求距离，直接代入公式求解即可；
(2)已知两点间距离求参数或点的坐标，应利用公式建立相应方程求解．
1．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．
【解析】因为B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，
所以BC的中点为，所以BC边上的中线长为
＝.
答案：
2．设点P在x轴上，使它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．
【解析】因为点P在x轴上，所以设点P坐标为(x，0，0).
因为PP1＝2PP2，
所以
＝2，
所以x＝±1，所以点P的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).
类型三 空间向量坐标的应用(直观想象、逻辑推理)
角度
1 求值问题
【典例】棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．求：
(1)·；(2)·；(3)；(4)||.
【思路导引】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量的坐标，再分别求解．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，
F，G.
所以＝，＝，
＝，＝.
(1)·＝×＋×＋×0＝0.
(2)·＝×1＋×0＋×＝.
(3)||＝＝.
(4)||＝＝.
本例条件不变，求cos
〈，〉．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则E，C(0，1，0)，F，G.
所以＝，＝，
所以cos
〈，〉＝＝＝－.
角度
2 证明问题
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
【思路导引】建立恰当的坐标系，利用空间向量证明．
【证明】(1)因为平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
所以EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别为，(0，0，1).
所以＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，所以＝.
所以＝.又NE与AM不共线，所以NE∥AM.
又因为NE?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
因为D(，0，0)，F(，，1)，
所以＝(0，，1)，所以·＝0，所以⊥.
同理⊥.又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，所以AM⊥平面BDF.
空间向量坐标应用的关注点：
(1)建系，写坐标，把向量坐标化；
(2)利用向量的坐标运算公式求解向量的数量积、模长、夹角等问题．
(3)利用空间向量共线与垂直的条件证明线面的平行、垂直问题．
1．以A(10，－1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形的形状是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】选D.根据空间两点间距离公式，
得|AB|＝＝7，
|BC|＝＝7，
|AC|＝
＝.
因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|，
所以△ABC是等腰直角三角形．
2．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)BN的长为________；
(2)与夹角的余弦值为________．
【解析】如图，以，，为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
所以||＝＝，
所以线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
所以cos
〈〉＝＝，
即与夹角的余弦值为.
答案：(1) (2)
3．如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC＝a.
(1)求·；
(2)用空间向量的方法证明：BC⊥平面ABS.
【解析】以点A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为SA＝AB＝BC＝a，
所以B，C(0,
a，0)，S(0，0，a).
(1)＝，＝(0,
a，－a).
所以·＝a2.
(2)由于＝，＝(0，0，a)，
＝，
显然，·＝0，·＝0.
即AB⊥BC，AS⊥BC，又AB∩AS＝A，
故BC⊥平面ABS.
【补偿训练】
如图所示，在三棱锥S?ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝.
(1)求·.
(2)求||||.
【解析】因为∠SAB＝∠SAC＝90°，所以SA⊥AB，SA⊥AC且AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，如图所示，取A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由AC＝2，BC＝，SB＝，得C(0，2，0)，B(－，2，0)，S(0，0，2).
所以＝(－，2，0)，＝(0，2，－2)，
＝(，0，0).
(1)·＝0.
(2)
||＝＝4，
||＝＝，
所以||||＝4×＝4.
课堂检测·素养达标
1．以棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.根据题意，正方形AA1B1B的对角线的交点纵坐标为0，横、竖坐标都是.
2．(教材练习改编)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(2，2，－1)，点B的坐标为(3，－1，2)，则( )
A．＝(2，2，－1)
B．＝(3，－1，2)
C．＝(1，－3，3)
D．＝(－1，3，－3)
【解析】选D.＝－＝(1，－3，3)，＝－＝(－1，3，－3).
3．点(4，0，1)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．yOz平面上
【解析】选C.因为点(4，0，1)的纵坐标为0，所以此点是xOz平面上的点．
4．已知A(－4，1，3)，B(2，－3，5)，则线段AB中点的坐标为________.
【解析】设中点坐标为(x0，y0，z0)，
则x0＝＝－1，y0＝＝－1，z0＝＝4，
所以线段AB的中点坐标为(－1，－1，4).
答案：(－1，－1，4)
5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是________．
【解析】由于＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，所以·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，||＝，||＝，
所以cos
θ＝cos
〈，〉＝＝－，
则θ＝120°.
答案：120°
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