1．2
空间向量在立体几何中的应用
1．2.1 空间中的点、直线与空间向量
必备知识·自主学习
导思
1.空间中点的位置向量是如何定义的?2.空间中直线的方向向量是怎样定义的?空间中两直线的位置关系与其方向向量有何关系?
1.空间中点的位置向量
如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量.
空间直角坐标系中的点的位置向量是由什么确定的？
提示：空间直角坐标系中的点的位置向量由它的坐标唯一确定．
2．空间中直线的方向向量
(1)定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
(2)性质：若A，B是直线l上的任意的不同两点，非零向量v是直线l的一个方向向量，则：
1
是直线l的一个方向向量
2
对任意实数λ≠0，λv是直线l的一个方向向量
3
存在唯一的实数μ，使＝μv
空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？
提示：不唯一，都平行．
3．空间中两条直线的位置关系与空间向量
(1)如果非零向量v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1，l2所成角的大小为θ，点A∈l1，B∈l2，则
平行
v1∥v2?l1∥l2或l1，l2重合．
夹角
θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉
垂直
l1⊥l2?〈v1，v2〉＝?v1·v2＝0
异面
v1，v2，不共面?l1，l2异面
(2)公垂线段：如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)空间一条直线的方向向量是唯一的．( )
(2)若向量v是直线l的一个方向向量，则向量kv也是直线l的一个方向向量．( )
(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
提示：(1)×.空间中一条直线存在无数条方向向量．
(2)×.当k≠0时可以．
(3)×.两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补．
2．(教材例题改编)若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是120°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【解析】选C.由异面直线所成角的定义可知，l1与l2所成的角为180°－120°＝60°.
3．直线l1的方向向量为v1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是________．
【解析】因为v1·v2＝(1，0，－1)·(－2，0，－2)＝0，
所以v1⊥v2，所以l1⊥l2.
答案：垂直
关键能力·合作学习
类型一 空间中点的位置向量与直线的方向向量的确定(逻辑推理)
1．设d1与d2都是直线l的方向向量，则下列关于d1与d2的叙述正确的是( )
A．d1＝d2
B．d1与d2同向
C．d1∥d2
D．d1与d2有相同的位置向量
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
3．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是( )
A．(0，0，±2)
B．(0，0，±3)
C．(0，0，±)
D．(0，0，±1)
【解析】1.选C.根据直线的方向向量的定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量．因此直线l的方向向量都应该是共线的．
2．选A.由题意可得：直线l的一个方向向量＝(2，4，6)，
又因为(1，2，3)＝(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量．
3．选B.设M(0，0，z)，P(t，－t，t)是直线l上任一点，
令MP⊥s，则·s＝0，
由于＝(t，－t，t－z)，
因此t＋t＋t－z＝0，即z＝3t，①
而|MP|＝，即＝， ②
由以上两式解得t＝1，z＝3或t＝－1，z＝－3，
因此M的坐标为(0，0，－3)或(0，0，3).
解决位置向量、方向向量的方法
转换法：转化为向量共线、向量相等、向量的坐标运算解决．
【补偿训练】
已知两点A(1，－2，3)，B(2，1，－1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是________．
【解析】设交点坐标为P(x，0，z)，则由A，P，B三点共线可设＝λ，得(x－1，2，z－3)＝λ(1，3，－4)，
即解得
故AB连线与xOz平面的交点坐标是.
答案：
类型二 空间中两条直线所成的角(逻辑推理、数学运算)
【典例】如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点，求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
四步
内容
理解题意
条件：①直三棱柱中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4；②点D是BC的中点．结论：异面直线A1B与C1D所成角的余弦值
思路探求
以{，，
}为单位正交基底建立空间直角坐标系A?xyz，求出，，利用向量的夹角公式求解即可．
书写表达
以{，，AA1}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则由题意知A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(－1，1，4)，①所以cos
〈，〉＝＝＝－，
书写表达
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.②注意：①合理建系，正确写出坐标；②向量的夹角与异面直线夹角的区别．
题后反思
两异面直线所成的角θ可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，直线的方向向量的夹角与θ相等或互补．
求两条异面直线所成角常用的方法
向量法
即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线所成的角.
定义法(平移法)
由两条异面直线所成角的定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解.求解的方法是解三角形.
已知三棱锥O?ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．
【解析】设＝a，＝b，＝c，直线MN与AC所成的角为θ，则＝－＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)，
＝c－a，
所以||2＝(b＋c－a)2
＝(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c)
＝(42＋52＋32＋15－20－0)＝，
||2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c＝42＋32－0＝25，
·＝(b＋c－a)·(c－a)＝(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)＝
＝.
cos
θ＝|cos
〈，〉|＝＝＝.
所以直线MN与AC所成角的余弦值为.
类型三 空间中直线的位置关系问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 平行或异面问题 ?
【典例】如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥AD′.
【思路导引】可利用基向量法，也可利用坐标法．
【证明】方法一：基向量法
设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋c)，＝c＋(a＋b)，
所以＝－＝(b＋c).
又因为b＋c＝，所以＝，
所以∥，
因为M不在平面ADD′A′内，所以MN∥AD′.
方法二：坐标法
建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，D′(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，
所以＝(0，2，2)，＝(0，1，1)，
所以＝，
所以∥，
因为M不在平面ADD′A′内，所以MN∥AD′.
(1)本例条件不变，证明MN与CD′不平行．
(2)本例条件不变，证明MN与CD′是异面直线．
【证明】建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则C(2，2，0)，D′(0，2，2)，M(1，0，1)，
N(1，1，2)，所以＝(－2，0，2)，＝(0，1，1)，
(1)不存在λ∈R，使＝λ，
所以与不平行，故MN与CD′不平行．
(2)＝(－1，1，0)，
设＝λ＋μ，
则＝λ(0，1，1)＋μ，
所以＝，
即，无解．
所以不存在这样的λ，μ值，
使＝λ＋μ.
故，，不共面，
所以MN与CD′是异面直线．
角度2 垂直问题 ?
【典例】如图，在四面体S?ABC中，E，F，G，H，M，N分别是棱SA，BC，AB，SC，AC，SB的中点，且EF＝GH＝MN，求证：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB.
【思路导引】本题是一个证明线线垂直的问题，可以取SA，SB，SC对应的向量为基向量，将SA，BC，SB，AC，SC，AB这六个线段对应的向量用基向量表示出来，利用数量积为0证明线线垂直．
【证明】设＝r1，＝r2，＝r3，
则＝r1，＝(r2＋r3)，＝(r1＋r2)，＝r3，＝(r1＋r3)，＝r2.
所以＝，＝，＝；
因为EF＝GH＝MN，
所以＝＝展开得r1·r2＝r2·r3＝r1·r3，
所以r1·(r2－r3)＝0，
因为r1≠0，r2－r3≠0，
所以r1⊥(r2－r3)，
即SA⊥BC，
同理可证SB⊥AC，SC⊥AB.
利用坐标法证明两直线的位置关系
(1)证明两直线平行一般转化为证明两直线的方向向量共线．
(2)证明两直线异面一般转化为证明两直线的方向向量与两直线上两点连线的方向向量不共面．
(3)证明两直线垂直一般转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.
1．若△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( )
A．
B．－
C．2
D．±
【解析】选D.因为A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，
所以＝(3，－2，k)，＝(6，－1，－2k)，
因为△ABC中∠C＝90°，
所以·＝(3，－2，k)·(6，－1，－2k)＝18＋2－2k2＝0，解得k＝±.
2．如图，在长方体OAEB?O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.
【证明】如图，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)，
因为AP＝2PA1，所以＝2＝，
即＝(0，0，2)＝，
所以P，
同理可得，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S，
所以＝＝，
所以∥，
因为R?PQ，所以PQ∥RS.
3．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
求证：(1)AC⊥BC1；
(2)AC1与B1D不平行．
【证明】在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D.
(1)因为＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，
所以·＝0.所以⊥．
所以AC⊥BC1.
(2)因为＝，＝，
又≠，所以，不平行，
故AC1与B1D不平行．
【补偿训练】
正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AC的中点，证明：
(1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
【证明】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1).
(1)
＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)，
所以·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
所以⊥，所以BD1⊥AC.
(2)＝(－1，－1，1)，＝，
所以·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
所以⊥，所以BD1⊥EB1.
课堂检测·素养达标
1．若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.因为＝(1，2，3)，
所以＝(1，2，3)＝，
所以是直线l的一个方向向量．
2．(教材练习改编)若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝，则l1，l2的位置关系是( )
A．垂直
B．重合
C．平行
D．平行或重合
【解析】选D.因为直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝，
所以v1＝－2v2，
所以l1，l2平行或重合．
3．已知直线l1的方向向量m＝(2，m，1)，l2的方向向量n＝，且l2⊥l1，则m＝( )
A．8
B．－8
C．1
D．－1
【解析】选B.因为直线l1的方向向量m＝(2，m，1)，l2的方向向量n＝，且l2⊥l1，
所以m·n＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8.
4．设O为坐标原点，＝(1，1，2)，＝(3，2，8)，则线段AB的中点P的坐标为________．
【解析】＝＝.
答案：
5．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角为________．
【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，设正方体的棱长为1，则＝，＝，cos
〈，〉＝＝0，
所以〈，〉＝.
答案：
PAGE1.2.2 空间中的平面与空间向量
导思
1.什么是平面的法向量？它在解决线面位置关系中有何用途？2．什么是三垂线定理及其逆定理？
1.平面的法向量
(1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
(2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，则：
1
若直线l⊥α，则l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量
2
对任意实数λ≠0，λn是平面α的一个法向量
3
向量一定与n垂直，即·n＝0
平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？
提示：不唯一，都平行．
2．空间线面的位置关系与空间向量
若v是直线l的一个方向向量，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则：
1
n1∥v
?l⊥α1
2
n1⊥v
?l∥α1或l?α1
3
n1⊥n2?α1⊥α2
4
n1∥n2?α1∥α2或α1，α2重合
已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l一定与平面α平行吗？
提示：不一定，也可能l?α.
3．三垂线定理及其逆定理
射影
已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影，也称为投影．
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．( )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )
(3)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( )
提示：(1)×.向量a必须为非零向量．
(2)√.
(3)×.因为b不一定在平面α内，所以a与b不一定垂直．
2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0，1，2)
B．(3，6，9)
C．(－1，－2，3)
D．(3，6，8)
【解析】选B.向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线．
3．(教材例题改编)已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关系是________．
【解析】因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB.
又因为OC为PC在平面ABC内的射影，
所以由三垂线定理知AB⊥PC.
答案：垂直
关键能力·合作学习
类型一 平面的法向量(数学运算)
1．若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量
为( )
A．(－1，2，－1)
B．(1，2，1)
C．(1，2，－1)
D．(－1，2，1)
2．已知点A(2，－1，2)在平面α内，n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(1，－1，1)
B．P
C．P
D．P
3．正四棱锥如图所示，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的是________．
【解析】1.选A.两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，
设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则，取x＝－1，得平面ABC的一个法向量为(－1，2，－1).
2．选B.设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)；
由题意知，⊥n，则n·＝0；
所以3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，化简得3x＋y＋2z＝9.
验证得在A中，3×1－1＋2×1＝4，不满足条件；
在B中，3×1＋3＋2×＝9，满足条件；
同理验证C、D不满足条件．
3．连接AC，BD，交于点O，连接OP，则是底面ABCD的一个法向量，－＋－＝＋＝0，不能作为底面ABCD的法向量；＋＝－2，能作为底面ABCD的法向量；＋＝－2，能作为底面ABCD的法向量；＋＋＋＝－4，能作为底面ABCD的法向量．
答案：－＋－
求平面ABC的一个法向量的方法
1．平面垂线的方向向量法：证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求．
2．待定系数法：步骤如下：
类型二 三垂线定理及其逆定理的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.
【思路导引】利用三垂线定理及其逆定理证明
【证明】如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.
因为PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)，
所以PE⊥BC，所以点Q在PE上．
因为?BC⊥平面PAE?BC⊥OQ.①
连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC.
连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC.
连接MF.因为PA⊥平面ABC，BF⊥AC，
所以BF⊥PC(三垂线定理).
因为?PC⊥平面BMF?PC⊥OQ.②
由①②，知OQ⊥平面PBC.
利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本环节
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1.
【证明】连接AC，CD1，在正方体中，AA1⊥平面ABCD，
所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，
又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.
同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影．
所以C1D⊥A1C.
又C1D∩BD＝D，
所以A1C⊥平面BDC1.
类型三 利用空间向量证明线面、面面的位置关系(逻辑推理)
eq
\a\vs4\al(,,角度1)
证明平行问题
【典例】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，BQ∥平面PAO?
【思路导引】建立恰当的坐标系，设出点Q的坐标，由BQ∥平面PAO确定其位置即可．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，
则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2).
再设Q(0，2，c)，所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，
＝(－2，0，c)，BD1＝(－2，－2，2).
设平面PAO的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，则y＝1，z＝2.
所以平面PAO的一个法向量为n＝(1，1，2).
若BQ∥平面PAO，则n⊥BQ，
所以n·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1，
故当Q为CC1的中点时，BQ∥平面PAO.
本例若把“Q是CC1上的点”改为“Q是CC1的中点”，其他条件不变，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
【证明】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，Q(0，2，1)，
所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，
＝(－2，0，1)，BD1＝(－2，－2，2).
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则，
所以，
令x＝1，则y＝1，z＝2.
所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2).
同理可求平面D1BQ的一个法向量为n2＝，
因为n1＝n2，所以n1∥n2，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
eq
\a\vs4\al(,,角度2)
证明垂直问题
【典例】在如图所示的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB.
(1)求证：AC⊥平面FBC；
(2)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．
【思路导引】(1)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和线面垂直的判定定理即可证明；
(2)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可．
【解析】(1)因为AB＝2BC，∠ABC＝60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
60°＝3BC2，
所以AC2＋BC2＝4BC2＝AB2，
所以∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
又因为AC⊥FB，FB∩BC＝B，
所以AC⊥平面FBC.
(2)线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC.
证明如下：因为AC⊥平面FBC，
所以AC⊥FC.
因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD.
所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系．在等腰梯形ABCD中，可得CB＝CD.
设BC＝1，所以C(0，0，0)，A(，0，0)，
B(0，1，0)，D(，－，0)，E.
所以＝，
＝(，0，0)，＝(0，1，0).
设平面EAC的法向量为n＝(x，y，z)，
则，所以，
取z＝1，得n＝(0，2，1).假设线段ED上存在点Q，
设Q(0≤t≤1)，所以＝.
设平面QBC的法向量为m＝(a，b，c)，
则，所以，取c＝1，
得m＝.
要使平面EAC⊥平面QBC，只需m·n＝0，
即－t×0＋0×2＋1×1＝0，此方程无解．
所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC.
利用空间向量证明平行、垂直问题的常用思路
线面平行
(1)求出直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
面面平行
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.
线面垂直
求出平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量和它们都垂直．
面面垂直
(1)转化为线面垂直．(2)求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直．
1．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，
B1(2，2，2)，所以FC1＝(0，2，1)，
＝(2，0，0)，＝(0，2，1).
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即?，
令z1＝2?y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)，
因为n1·＝－2＋2＝0，所以n1⊥，
又因为FC1?平面ADE，即FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，得
?.
令z2＝2?y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
所以n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是BC的中点，在CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE.
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体棱长为2，且P(0，2，a)，则D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，则＝(1，2，0)，＝(0，2，2)，
设n1＝(x1，y1，z1)且n1⊥平面DEC1，
则，取n1＝(2，－1，1).
又＝(－2，2，a－2)，＝(0，2，0)，
设n2＝(x2，y2，z2)且n2⊥平面A1B1P，
则，取n2＝(a－2，0，2).
由平面A1B1P⊥平面C1DE，得n1·n2＝0，
即2(a－2)＋2＝0，解得a＝1.故P为CC1的中点．
【补偿训练】
在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
求证：(1)PA∥平面EDB.
(2)PB⊥平面EFD.Ｋ
【证明】建立如图所示的空间直角坐标系．
D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E.
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a，0，－a)，所以＝2，
这表明PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，＝，所以·＝0＋－＝0，
所以⊥，即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
课堂检测·素养达标
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l?α，则使l∥α成立的是( )
A．a＝(1，－1，2)，n＝(－1，1，－2)
B．a＝(2，－1，3)，n＝(－1，1，1)
C．a＝(1，1，0)，n＝(2，－1，0)
D．a＝(1，－2，1)，n＝(1，1，2)
【解析】选B.因为直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l?α，使l∥α成立，所以a·n＝0，
在A中，a·n＝－1－1－4＝－6，故A错误；
在B中，a·n＝－2－1＋3＝0，故B成立；
在C中，a·n＝2－1＝1，故C错误；
在D中，a·n＝1－2＋2＝1，故D错误．
2．(教材练习改编)若平面α与β的法向量分别是a＝(2，4，－3)，b＝(－1，2，2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
【解析】选B.a·b＝(2，4，－3)·(－1，2，2)＝－2＋8－6＝0，
所以a⊥b，所以平面α与平面β垂直．
3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3，6)，则下列点P中在平面α内的是( )
A．P(2，3，3)
B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0)
D．P(3，－3，4)
【解析】选A.设平面α内一点P(x，y，z)，
则：＝(x－1，y＋1，z－2)，
因为n＝(6，－3，6)是平面α的法向量，
所以n⊥，n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21，
所以由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0，
所以2x－y＋2z＝7，
把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合．
4．正三棱锥P?ABC中，BC与PA的位置关系是________．
【解析】如图，在正三棱锥P?ABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥PA.
答案：BC⊥PA
PAGE1.2.3 直线与平面的夹角
导思
1.空间中斜线与平面所成角的定义与性质是什么？2．求直线与平面所成角的方法有哪些？
1.直线与平面所成的角
直线与平面的夹角的取值范围与斜线与平面夹角的取值范围相同吗？
提示：不相同，直线与平面的夹角的取值范围是，斜线与平面的夹角的取值范围是.
2．斜线与平面所成角的性质
(1)“最小角”结论
(2)“三相等”结论
经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、
射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等．
(3)射影长计算公式
当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A′B′时，有A′B′＝AB__cos__θ．
一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？
提示：是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
3．直线与平面的夹角的向量求法
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地，cos
θ＝sin
〈v，n〉或sin__θ＝．
直线l的方向向量v与平面α的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
提示：不是，直线和平面的夹角为.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)斜线与平面的夹角的取值范围是.( )
(2)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( )
(3)一条直线与平面α所成的角小于它和平面α内其他直线所成的角．( )
提示：(1)×.斜线与平面的夹角的取值范围是.
(2)×.直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角．
(3)×.当直线与平面垂直时不对．
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，且cos
〈m，n〉＝，则直线l与平面α所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】选B.设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin
θ＝cos
〈m，n〉＝，所以θ＝60°.
3．(教材例题改编)已知直线l∩平面α＝A，B是直线l上一点，AB＝6，直线l与平面α所成的角为60°，则线段AB在平面α内的射影长为________．
【解析】射影长＝ABcos
60°＝6×＝3.
答案：3
关键能力·合作学习
类型一 定义法求直线与平面所成的角(数学运算、直观想象)
1．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱AB上的点，且AB＝4EB，则直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为( )
A．
B．
C．
D．
2．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P?ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
3．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角为________．
【解析】1.选A.如图，
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1所成角，
因为EB⊥平面BB1C1C，连接BC1，
则∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成角．
设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为4a，
则EB＝a，BC1＝4a.
所以tan
∠EC1B＝＝.
即直线C1E与平面ADD1A1
所成角的正切值为.
2．选A.如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，则平面PAD⊥平面ABCD，
因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD，
而平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面PAD.
连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，
则∠CED为CE与平面PAD所成角，
设PA＝AB＝AD＝2a，
则AE＝a，ED＝a，
EC＝＝＝3a.
所以sin
∠CED＝＝＝.
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为.
3．连接BC1交B1C于O点，连接A1O.
设正方体棱长为a.易证BC1⊥平面A1B1CD，
所以A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，
所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，OB＝a，
所以sin
∠BA1O＝＝，
所以∠BA1O＝30°.
即A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
答案：30°
用定义法求直线与平面所成角的关注点
(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影．
(2)三种情况：①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；
②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；
③若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
类型二 向量法求直线与平面所成的角(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D为AC的中点．
(1)证明：AB1∥平面BC1D；
(2)证明：BD⊥平面AA1C1C；
(3)若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．
【思路导引】(1)连接B1C，交BC1于O，连接OD，推导出OD∥AB1，由此能证明AB1∥平面BC1D.
(2)推导出BD⊥AC，BD⊥AA1，由此能证明BD⊥平面AA1C1C.
(3)设AA1＝AB＝2，以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．
【解析】(1)连接B1C，交BC1于O，连接OD，
因为正三棱柱ABC?A1B1C1中，D为AC的中点，O是B1C的中点，所以OD∥AB1，
因为AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2)因为正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝BC，又D是AC中点，所以BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABC，BD?平面ABC，
所以BD⊥AA1，
因为AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.
(3)设AA1＝AB＝2，以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(0，2，2)，A(，1，0)，C(0，2，0)，＝(0，－2，－2)，＝(，－1，0)，＝(0，0，2)，
设平面AA1C1C的法向量n＝(x，y，z)，
则，取x＝1，得n＝(1，，0)，
设直线BC1与平面AA1C1C所成角为θ，
则sin
θ＝＝＝.
所以直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值为.
用向量法求直线与平面所成的角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设直线与平面所成的角为θ，则sin
θ＝.
已知四棱锥P?ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，F为AD中点，BP＝AD.
(1)证明：平面PBF⊥平面ABCD；
(2)求BF与平面PBC所成的角．
【解析】(1)因为PA＝PD，F为AD的中点，
所以PF⊥AD.
由题意，在△ABF中，AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，
由余弦定理，得BF＝
＝＝.
因为PA＝PD，∠APD＝90°，AD＝2，所以PF＝1.
又BP＝AD＝2，所以BF2＋PF2＝BP2，即PF⊥BF.
因为AD?平面ABCD，BF?平面ABCD，AD∩BF＝F，
所以PF⊥平面ABCD，而PF?平面PBF，
所以平面PBF⊥平面ABCD；
(2)连接BD，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，又F为AD的中点，
所以BF⊥AD.
由(1)知，FA，FB，FP两两互相垂直．以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则F(0，0，0)，A(1，0，0)，D(－1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，1)，
＝(0，，0)，＝＝(－2，0，0)，＝(0，，－1).
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由，取z＝1，得n＝；
设BF与平面PBC所成角为θ.
则sin
θ＝＝＝.
所以BF与平面PBC所成的角为.
类型三 直线与平面所成角的性质及应用(直观想象、逻辑推理)
eq
\a\vs4\al(,,角度1)
“最小角”结论的应用
【典例】已知PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是________.
【解析】如图，在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，连接PO，
则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．
所以cos
∠BPD＝cos
∠DPO·cos
∠OPB，
cos
∠APD＝cos
∠DPO·cos
∠OPA，
因为∠BPD＝∠APD＝∠APB＝60°，
所以∠OPB＝∠OPA＝30°，
所以cos
∠DPO＝＝＝＝，
即PC与平面PAB所成角的余弦值为.
答案：
本例若改为：已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，且∠APC＝∠BPC＝60°，直线PC与平面PAB所成的角为45°，求射线PA与PB的夹角．
【解析】在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，连接PO，
则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．
所以cos
∠BPD＝cos
∠DPO·cos
∠OPB，
cos
∠APD＝cos
∠DPO·cos
∠OPA，
因为∠BPD＝∠APD＝60°，∠DPO＝45°，
所以∠OPB＝∠OPA，
所以cos
∠OPA＝＝＝＝，
所以∠OPA＝45°，所以∠APB＝2∠OPA＝90°，
即射线PA与PB的夹角为90°.
eq
\a\vs4\al(,,角度2)
“三相等”结论及应用
【典例】如图，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，O为点P在平面ABC上的射影．
①若PA＝PB＝PC，则直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角相等；
②若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的外心；
③若PD＝PE＝PF，则点O是△ABC的内心．
以上判断正确的序号是________．
【解析】连接OA，OB，OC，则OA，OB，OC分别是线段PA，PB，PC在平面ABC上的射影，∠PAO，∠PBO，∠PCO分别是直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角，因为PA＝PB＝PC，
所以根据斜线与平面所成角的性质，有∠PAO＝∠PBO＝∠PCO，OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，①②正确；同理若PD＝PE＝PF，则OD＝OE＝OF，但是OD，OE，OF是否与△ABC的三边垂直无法说明，故点O不一定是△ABC的内心，③不正确．
答案：①②
斜线与平面所成角的性质的应用策略
(1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦；
(2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果．
1．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC?A1B1C1中，P是棱BC上的动点．记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是( )
A．θ1＝θ2
B．θ1>θ2
C．θ1<θ2
D．不能确定
【解析】选C.因为θ1是直线A1P与平面ABC所成的角，而θ2是直线A1P与直线BC所成的角，由最小角定理可知θ1≤θ2，又因为直线BC在平面ABC内且不可能与A1P的射影AP共线，所以θ1<θ2.
2．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( )
A．30米
B．20米
C．15米
D．15米
【解析】选A.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°.△OAB为等边三角形，所以OA＝30，
因为OP⊥平面ABCDEF，所以∠OAP＝45°，
所以OP＝OA＝30.要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米．
课堂检测·素养达标
1．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角
是( )
A．∠C1BB1
B．∠C1BD
C．∠C1BD1
D．∠C1BO
【解析】选D.由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，
所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，
所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角．
2．AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解析】选C.设AC和平面α所成的角为θ，
则cos
60°＝cos
θcos
45°，
故cos
θ＝，所以θ＝45°.
3．(教材练习改编)已知正四面体ABCD，则AB与平面BCD所成角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.取CD中点E，连接BE，过A作AO⊥平面BCD，则交BE于O，
设正四面体ABCD的棱长为2，
则BE＝＝，BO＝BE＝，
因为AO⊥平面BCD，所以∠ABO是AB与平面BCD所成角，cos
∠ABO＝＝＝.
所以AB与平面BCD所成角的余弦值为.
4．若θ是直线l与平面α所成的角，则cos
θ的取值范围为________.
【解析】由题意，0≤θ≤90°，所以0≤cos
θ≤1.
答案：[0，1]
5．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为________．
【解析】cos
〈a，n〉＝＝＝＝，所以l与平面α所成角的正弦值为.
答案：
PAGE1.2.4 二 面 角
导思
1.什么是二面角？2．怎样求二面角的大小？
1.二面角的定义及相关概念
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角
棱
这条直线称为二面角的棱
面
这两个半平面称为二面角的面
范围
0°≤θ≤180°
二面角的平面角
在二面角α?l?β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角∠AOB称为二面角的平面角
直二面角
平面角是直角的二面角称为直二面角
两个相交平面所成的角
两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角
二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的范围是相同的吗？
提示：不相同．二面角的大小和二面角的平面角的大小的范围是，两个相交平面所成角的大小的范围是.
2．射影面积公式
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos
θ＝.
如图，若△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角A?BC?A′的大小为θ，则cos
θ，S△ABC，S△A′BC的关系是怎样的？
提示：cos
θ＝.
3．用向量的夹角度量二面角
设平面α与β所成角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．
(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．
(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？
提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)二面角是指两个平面相交的图形．( )
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直．( )
(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等．( )
提示：(1)×.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)√.根据二面角的平面角的定义可得．
(3)×.相等或互补．
2．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不能确定
【解析】选C.由等角定理可知这两个二面角的平面角相等或互补．
3.(教材例题改编)如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B?PA?C的大小等于________．
【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC为二面角B?PA?C的平面角，
又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.
答案：90°
关键能力·合作学习
类型一 二面角的概念及利用定义法求二面角(数学抽象、直观想象)
1．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知二面角α?l?β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )
A．
B．
C．
D．
3．在边长为a的正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B?AD?C后，BC＝a，这时二面角B?AD?C的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】1.选B.根据题意，EF⊥平面ADD1A1，所以ED1⊥EF，ED⊥EF，
所以∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，在Rt△D1ED中，ED＝，ED1＝＝，
所以cos
∠D1ED＝＝.
2．选C.如图，过二面角α?l?β内一点P，分别作PA∥m，PB∥n，则PA⊥α，PB⊥β，且l⊥平面PAB.
设平面PAB交l于O，则l⊥OA，l⊥OB，∠AOB为二面角α?l?β的平面角，即∠AOB＝，故∠APB＝，
则异面直线m，n所成的角为.
3．选C.在边长为a的正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B?AD?C，由定义知，∠BDC为所求二面角的平面角，又BC＝BD＝DC＝a，所以△BDC为等边三角形，所以∠BDC＝60°.
用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角；
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；
(3)解三角形求角．
类型二 利用三垂线定理或射影面积公式求二面角(直观想象、数学运算)
【典例】已知在三棱锥P?ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC.求二面角B?AP?C的余弦值．
四步
内容
理解题意
条件：①三棱锥P?ABC中，PC⊥平面ABC，②AB＝BC＝CA＝PC.结论：求二面角B?AP?C的余弦值．
思路探求
可利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可用射影面积公式求解．
书写表达
方法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.因为PC⊥平面ABC，PC?平面PAC，
四步
内容
书写表达
所以平面PAC⊥平面ABC.又因为BE⊥AC，BE?平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC.由三垂线定理有BF⊥PA，所以∠BFE是二面角B?PA?C的平面角．设PC＝1，由E是AC中点，得BE＝，EF＝×sin
45°＝，所以BF＝，所以cos
∠BFE＝＝.方法二：(利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
四步
内容
书写表达
因为PC⊥平面ABC，AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．设PC＝1，则PA＝PB＝，AB＝1，所以△PAB中AB边上的高h＝.所以S△PAB＝，又S△PAE＝S△PAC＝.设二面角B?PA?C的大小为θ，由射影面积公式有cos
θ＝＝.注意书写的规范性：①利用三垂线定理作二面角的平面角的步骤；②利用射影面积公式求相应图形的面积．
题后反思
三垂线定理或其逆定理的作用在于作二面角的平面角，而射影面积公式不需要作．
1．用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法：
(1)在其中一个面内找一特殊点A，过A作另一个平面的垂线，垂足为B；
(2)过A作棱的垂线，垂足为C(或过B作棱的垂线，垂足为C)，连接BC(或连接AC)；
(3)由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得平面角∠ACB.
2．对射影面积公式的理解：
(1)来源：三垂线定理．
(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者已求出．
(3)优势：不需要作出二面角的平面角．
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A?A1C?B的正切值．
【解析】(1)因为三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，
所以AB⊥AA1，在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC.
又AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1.
又A1C?平面ACC1A1，所以AB⊥A1C.
(2)如图，作AD⊥A1C于D点，连接BD.由三垂线定理知BD⊥A1C，所以∠ADB为二面角A?A1C?B的平面角．在Rt△AA1C中，AD＝＝＝.
在Rt△BAD中，tan
∠ADB＝＝，
所以二面角A?A1C?B的正切值为.
类型三 利用向量法求二面角(逻辑推理、数学运算)
eq
\a\vs4\al(,,角度1)
利用棱的垂线的方向向量求二面角
【典例】如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则这个二面角的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【思路导引】利用空间向量的数量积及其性质求解．
【解析】选C.设所求二面角的大小为θ，则〈，〉＝θ.
因为＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，
即(2)2＝82＋42＋62－2×8×6cos
θ，
所以cos
θ＝.
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
若本例改为：如图，在大小为45°的二面角A?EF?D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则点B与点D两点间的距离是( )
A．
B．
C．1
D．
【解析】选D.因为四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，所以·＝·＝0，
又大小为45°的二面角A?EF?D中，
所以·＝1×1×cos
(180°－45°)＝－.
因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3－，所以||＝.
eq
\a\vs4\al(,,角度2)
利用半平面的法向量求二面角
【典例】如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点．
(1)求证：AC1∥平面B1CM；
(2)求二面角A?C1M?B1的正弦值．
【思路导引】(1)连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OM，由三角形中位线定理可得OM∥AC1，再由直线与平面平行的判定可得AC1∥平面B1CM；
(2)以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令BC＝1，求出所用点的坐标，分别求出平面AMC1与平面B1C1M的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A?C1M?B1的正弦值．
【解析】(1)连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OM，
因为四边形BCC1B1为矩形，
所以O为BC1的中点，
又因为M为AB的中点，所以OM∥AC1，
因为OM?平面B1CM，AC1?平面B1CM，
所以AC1∥平面B1CM；
(2)如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
令BC＝1，则A(，0，0)，C1(0，0，)，B1(0，1，)，M.
则＝，MC1＝，MB1＝.
设平面AMC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1).
由，
取x1＝1，得m＝(1，，1)；
设平面B1C1M的一个法向量为n＝(x2，y2，z2).
由，
取x2＝1，得n＝.
设二面角A?C1M?B1的平面角为θ，
则|cos
θ|＝＝，
则sin
θ＝＝.
即二面角A?C1M?B1的正弦值为.
利用向量法求二面角的两种方法
方法一：分别在二面角α?l?β的面α，β内，沿α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小．
方法二：通过法向量求解
设m1⊥α，m2⊥β，
则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．
1．如图，二面角α?l?β等于120°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于( )
A．2
B．
C．4
D．5
【解析】选B.过点D作OD∥l，OA∥BD，OD∩OA＝O，
因为AC⊥l，BD⊥l，OD＝AB＝1，OA＝BD＝2，OC＝＝
＝，
CD＝＝＝.
2．已知平面α的一个法向量为n1＝(1，－3，)，平面β的一个法向量为n2＝(5，1，)，若α∩β＝l，则二面角α?l?β的余弦值为( )
A．
B．－
C．或－
D．或－
【解析】选C.因为平面α的一个法向量为n1＝(1，－3，)，平面β的一个法向量为n2＝(5，1，)，
所以cos
〈n1，n2〉＝＝
＝.
所以二面角α?l?β的余弦值为或－.
3．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC，D是AB的中点．
(1)证明：AC⊥平面AA1B1B；
(2)求二面角C1?B1D?A1的正弦值．
【解析】(1)由直三棱柱ABC?A1B1C1性质知：AA1⊥平面ABC，
因为AC?平面ABC，所以AA1⊥AC，
因为AB⊥AC，AB∩AA1＝A，AB?平面AA1B1B，AA1?平面AA1B1B，所以AC⊥平面AA1B1B；
(2)由(1)知AA1，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AA1，AB，AC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2.
则D(0，1，0)，B1(2，2，0)，C1(2，0，2)，DB1＝(2，1，0)，
DC1＝(2，－1，2)，设平面B1C1D的一个法向量m＝(x，y，z)，
则，
取x＝1，得m＝(1，－2，－2)，
平面A1B1D的一个法向量n＝(0，0，1)，
所以cos
〈m，n〉＝＝＝－，
所以二面角C1?B1D?A1的正弦值为＝.
【补偿训练】
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，E为BP的中点，AB＝2，PA＝AD＝CD＝1.
(1)证明：EC∥平面PAD；
(2)求二面角E?AC?P的正弦值．
【解析】(1)如图，取AP的中点F，连接EF，DF，
因为BE＝PE，PF＝AF，所以EF綊AB，
因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，
PA＝AD＝CD＝1，
所以CD綊AB，所以CD綊EF，
所以四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，
因为DF?平面PAD，EC?平面PAD，
所以EC∥平面PAD.
(2)如图，因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(2，0，0)，E，＝(0，0，1)，＝(1，1，0)，＝，
设平面APC的法向量m＝(x，y，z)，
则，
取x＝1，得m＝(1，－1，0)，
设平面EAC的法向量n＝(a，b，c)，
则，取a＝1，得n＝(1，－1，－2)，
设二面角E?AC?P的平面角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
sin
θ＝＝.
所以二面角E?AC?P的正弦值为.
课堂检测·素养达标
1．二面角是指( )
A．直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角
B．一个平面绕着这个平面内的一条直线旋转而成的图形
C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
D．以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角
【解析】选C.根据二面角的定义，可知C选项正确．其中D选项是二面角的平面角的定义．
2．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n1和n2，则cos
θ
＝( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.平面α，β的法向量分别为n1和n2，若两个平面的夹角为θ，又两平面夹角的范围是，则cos
θ＝.
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A1?BD?C1的余弦值是________．
【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，
DA1＝(1，0，1)，＝(1，1，0).
设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，
则
即
令x＝1，则y＝－1，z＝－1，此时n＝(1，－1，－1).
同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1，1)，
则cos
〈m，n〉＝＝，
所以二面角A1?BD?C1的余弦值为.
答案：
4．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，求这个二面角的大小．
【解析】设二面角大小为θ，由题意可知
|cos
θ|＝＝＝，
所以cos
θ＝±，所以θ＝60°或120°.
PAGE1．2.5 空间中的距离
导思
1.空间中的距离有哪些，它们分别是怎样定义的？2．如何求这些空间距离？
空间中的距离
名称
概念
求法
两点之间的距离
空间中两个点连线的线段长
求向量的模
点到直线的距离
过直线外一点作直线的一条垂线段的长
求向量的模
点到平面的距离
过平面外一点作平面的一条垂线段的长
d＝，其中A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量
线到面的距离
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离
转化为求点到平面的距离
面到面的距离(公垂线段长)
当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离
空间距离的几种形式的求解方法之间有何关系？
提示：点点距、点线距都可用空间向量的模来求解，而线面距和面面距可以转化为点面距，利用平面的法向量来求解．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)点到线的距离就是垂线的方向向量的模．( )
(2)直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离．( )
(3)两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点之间的距离．( )
提示：(1)×.点到线的距离可用空间向量的模来求解，但不一定是垂线的方向向量的模．
(2)×.直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离．
(3)×.两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离．
2．已知A(1，1，0)，B(－1，2，1)，则A，B两点间的距离是( )
A．6
B．
C．
D．5
【解析】选C.因为A(1，1，0)，B(－1，2，1)，
所以A，B两点间的距离是＝.
3．(教材例题改编)正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为________．
【解析】
由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1的长即为所求．由题意可得A1O1＝A1C1＝.
答案：
关键能力·合作学习
类型一 空间两点之间的距离(逻辑推理、数学运算)
1．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( )
A.1
B．2
C．
D．
【解析】选C.||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos
120°＝2，
所以||＝.
2．如图，已知在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为( )
A.1
B．
C．
D．2
【解析】选B.因为在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，
底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，
∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
所以＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2·＋2·
＝1＋1＋4＋2×1×2×cos
120°＋2×1×2×cos
120°＝2.
所以线段AC1的长为.
3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点M，N分别是边AB，CD的中点，则MN的长为________．
【解析】设＝p，＝q，＝r，
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝1，
且p，q，r三个向量两两夹角均为60°，
＝－＝－＝(q＋r－p)，
所以||2＝·＝·(q＋r－p)
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]＝×2＝，
所以||＝，即MN的长为.
答案：
计算两点间的距离的基本方法
(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|.
(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离).
类型二 点到直线的距离(逻辑推理、数学运算)
【典例】在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
四步
内容
理解题意
条件：①正方体ABCD?A1B1C1D1，②E，F分别是C1C，D1A1的中点．结论：求点A到直线EF的距离．
思路探求
建系，用坐标法求解．
书写表达
方法一：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2).所以||＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，所以在上的投影的长为＝.所以点A到直线EF的距离d＝＝＝.则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，设点G，且满足＝λ，⊥，则＝＝λ＝，所以G，所以＝，由·＝0得λ＝，＝，＝＝.即点A到直线EF的距离为.
书写表达
题后反思
计算点到直线的距离的方法有很多，解题时要根据题意灵活选择方法．
计算点到直线的距离的基本方法
(1)先求出直线的方向向量，再计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的长，最后利用勾股定理求点到直线的距离．
(2)在直线上设出垂线段的垂足的坐标，利用共线和垂直求出垂足坐标，再求向量的模．
如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD?A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
【解析】因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以＝(1，2，－3).
又因为＝(0，2，0)，
所以在上的投影的长为＝.
所以点B到直线A′C的距离
d＝＝＝.
类型三 点到平面的距离(逻辑推理、数学运算)
eq
\a\vs4\al(,,角度1)
点到平面的距离
【典例】已知在四棱锥P?ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为( )
A．
B．
C．1
D．2
【思路导引】求出平面ABCD的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可．
【解析】选D.在四棱锥P?ABCD中，＝(4，－2，3)，
＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则，可得，
不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，可得n＝(3，12，4).
在法向量n上的射影的长度就是P到底面ABCD的距离h，所以
h＝|||cos
〈，n〉|＝＝＝2.
本例若改为：在三棱锥B?ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．
【解析】如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴，y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于点M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A，
B，C，D，
所以＝，＝，
＝，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，
则y＝－x，z＝－x，取n＝(－，1，3)，
代入d＝，
得d＝＝，
即点D到平面ABC的距离是.
eq
\a\vs4\al(,,角度2)
线面距离与面面距离
【典例】如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离．
【思路导引】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法转化为点到平面的距离，求出A1D1到平面EFGH的距离．
【解析】因为在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，
DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，
所以AH＝AA1，所以A1D1∥平面EFGH，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1(1，0，1)，H(1，0，)，G(0，0，)，E(1，1，)，
＝，＝(－1，0，0)，＝，
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
则，取y＝1，得n＝(0，1，－6)，
所以A1D1到平面EFGH的距离
d＝＝＝.
1．用向量法求点面距的方法与步骤
2．线面距离与面面距离的求解思路
(1)求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
1．如图，一长方体ABCD?A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝3，E∈AA1，F∈BB1，AE＝BF＝1，G∈A1B1，则点G到平面D1EF的距离是( )
A.
B．
C．
D．
【解析】选A.由题意得四边形ABFE为矩形，可得EF∥AB，又A1B1∥AB，所以A1B1∥EF，而EF?平面D1EF，A1B1?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离．由AB⊥平面AA1D1D，EF∥AB，得EF⊥平面AA1D1D，而EF?平面D1EF，所以平面D1EF⊥平面AA1D1D，且平面D1EF∩平面AA1D1D＝ED1，
则点A1到ED1F的距离即为点A1到直线ED1的距离．
在Rt△EA1D1中，因为A1E＝2，A1D1＝1，所以D1E＝，
则点A1到平面D1EF的距离为＝.
所以点G到平面D1EF的距离是.
2．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，
M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4).
从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，
＝(－2，0，4)，
所以＝，＝，
所以EF∥MN，AM∥BF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，
所以平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
从而解得
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于＝(0，4，0)，
所以在n上的投影的长为
＝＝.
所以两平行平面间的距离d＝＝.
【补偿训练】
已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
【解析】
(1)如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
因为AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，
又E，F分别是BC，AC的中点，
所以A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，
E(，3，0)，Q，P(0，0，2).
因为＝，＝(，3，0)，所以＝2.
因为AE与FQ无交点，所以AE∥FQ.
又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，所以AE∥平面PFQ.
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，
所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．设平面PFQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
即n·＝0，n·＝0.又＝(0，2，－2)，
所以n·＝2y－2z＝0，即y＝z.
又＝，所以n·＝x＋y＝0，
即x＝－y.令y＝1，则x＝－，z＝1，
所以平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1).
又＝，
所以所求距离d＝＝.
课堂检测·素养达标
1.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，则线段BD1的长是( )
A．
B．2
C．28
D．3
【解析】选A.因为ABCD?A1B1C1D1是长方体，且AB＝3，AD＝BC＝2，DD1＝BB1＝1，
所以BD1＝
eq
\r(AB2＋AD2＋DD)
＝＝.
2．(教材练习改编)如图，正四棱锥P?ABCD的高为2，且底面边长也为2，则点A到平面PBC的距离为( )
A.
B．
C．
D．
【解析】选A.由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD为正方形，底面对角线的长度为＝2，侧棱长度为＝，
所以S△PBC＝×2×＝，
VP?ABC＝××2×2×2＝，
又VA?PBC＝VP?ABC，设点A到平面PBC的距离为h，
所以×h＝，所以h＝.
3．已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为________．
【解析】因为＝(－2，0，－1)，又n所在直线与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝.
答案：
4．已知长方体ABCD?A1B1C1D1的棱AA1，AB，AD的长分为3，4，5，则点A到棱B1C1的距离为________．
【解析】如图，连接AB1，由长方体的性质可得B1C1⊥平面ABB1A1.所以AB1⊥B1C1.
则点A到棱B1C1的距离为AB1＝＝5.
答案：5
5．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．
【解析】设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z).
所以n·＝0，n·＝0，所以
即所以
令z＝－2，则n＝(3，2，－2).又因为＝(－7，－7，7)，
所以点D到平面ABC的距离为d＝
＝＝＝.
答案：
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