阶段提升课第二课 直线的方程
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倾斜角与斜率
1．若三点A(－1，－2)，B(4，8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数x的值为( )
A．10 B．－10 C．5 D．－5
【解析】选A.依题意，kAB＝kAC，
即＝，解得x＝10.
2．如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________.
【解析】因为直线l1的倾斜角为150°，
所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.
答案：30°
3．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________.
【解析】由题意知kPA＝－1，
若P点在x轴上，则设P(m，0)，则＝－1，
解得m＝3；若P点在y轴上，
则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，
故P点的坐标为(3，0)或(0，3).
答案：(3，0)或(0，3)
求直线的倾斜角与斜率注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
直线的方程
1．已知直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝x＋垂直，垂足为H(1，p)，则过点H且斜率为的直线方程为( )
A．y＝－2x＋2
B．y＝4x－2
C．y＝－4x＋2
D．y＝－2x－2
【解析】选C.由题意可得解得
所以＝＝－4，
则所求直线方程为y＋2＝－4(x－1)，即y＝－4x＋2.
2．过l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直线方程为________．
【解析】由得交点为，
又l3的斜率为－，
所以所求直线方程为y＋＝－，
得8x＋16y＋21＝0.
答案：8x＋16y＋21＝0
3．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为________.
【解析】设直线l的方程为＋＝1，所以|ab|＝3，且－＝，
解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，
所以直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
求直线方程的方法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．
直线的位置关系
1．经过点A(1，1)和点B(－3，2)的直线l1与过点C(4，5)和点D(a，－7)的直线l2平行，则a＝( )
A．1
B．4
C．52
D．44
【解析】选C.因为k1＝＝－，又l1∥l2，
所以k2＝＝－，故a＝52.
2．直线l过点(－3，0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3)
B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3)
D．y＝(x＋3)
【解析】选B.因为直线y＝2x－3的斜率为2，
所以直线l的斜率为－.
又直线l过点(－3，0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3).
直线的位置关系的判断方法及注意点
(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．
(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．
距离公式
1．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
【解析】选A.由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝
＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝0.
2．已知△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________.
【解析】设C(x，y)，由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4，
又线段AB所在直线方程为3x＋4y－17＝0.
所以解得或
所以点C的坐标为(－1，0)或.
答案：(－1，0)或
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
对称问题
1．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0
B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0
D．－3x＋4y＋5＝0
【解析】选A.设所求直线上的任一点为(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
2．光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，则反射光线所在直线的方程为________．
【解析】设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，
则解之得，A′(－4，－3).
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·，
即4x－5y＋1＝0.
答案：4x－5y＋1＝0
1．点关于直线对称的点的求法
点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组求得．
2．直线关于直线对称的直线的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．
PAGE阶段提升课第三课 圆
的
方
程
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eq
\a\vs4\al(,,题组训练一)
求圆的方程
1．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为( )
A．(x＋2)2＋y2＝9
B．(x－2)2＋y2＝9
C．(x＋2)2＋y2＝8
D．(x－2)2＋y2＝8
【解析】选B.设圆C：(x－a)2＋y2＝r2，a>0.
把点M(0，)代入得，a2＋5＝r2.
圆心到直线2x－y＝0的距离为＝，解得a＝2，r＝3.所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
2．圆在x，y轴上分别截得的弦长为14和4，且圆心在直线2x＋3y＝0上，则此圆的方程是________．
【解析】设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则解得或
圆的方程为2＋2＝85或2＋2＝85.
答案：＋2＝85或2＋2＝85
求圆的方程的方法
求圆的方程主要应用待定系数法：
(1)设出圆的一般方程或标准方程，利用条件构造方程组，通过解方程组求系数．
(2)利用圆的几何性质，如弦的垂直平分线过圆心等，构造条件求系数．
eq
\a\vs4\al(,,题组训练二)
直线与圆的位置关系
1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A．
B．1
C．
D．
【解析】选D.因为圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，
因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C．
D．3
【解析】选C.切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
3．已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
【解析】选B.连接OM，ON，(图略)
则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，
所以四边形OMPN为正方形，
因为圆O的半径为1，所以|OP|＝，
因为原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为，
所以符合条件的点P只有一个．
直线与圆的位置关系
(1)位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系．
(2)弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l，半径r，弦心距d之间满足r2＝d2＋.
eq
\a\vs4\al(,,题组训练三)
圆与圆的位置关系
1．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________．
【解析】圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0＜＜4，所以0＜|a|＜2.
所以a∈(－2，0)∪(0，2).
答案：(－2，0)∪(0，2)
2．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4
cm和1
cm的两个外切圆，该矩形面积的最小值是( )
A．36
cm2
B．72
cm2
C.
80
cm2
D．100
cm2
【解析】选B.如图，作WG⊥SC，则四边形WDCG是矩形，
因为两圆相切，所以WS＝SC＋WD＝1＋4＝5，
因为SG＝SC－GC＝4－1＝3，
所以WG＝4，
所以矩形QHBA的长AB＝AD＋CD＋CB＝1＋4＋4＝9，宽BH＝4＋4＝8，
所以矩形纸片面积的最小值＝8×9＝72
cm2.
3．已知两个圆C1，C2与两坐标轴都相切，且都过点(1，－2)，则|C1C2|＝________．
【解析】由题意，得圆C1，C2的圆心在射线y＝－x，x>0上．
设圆的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，a>0，
因为圆过点(1，－2)，所以(1－a)2＋(－2＋a)2＝a2，解得a＝1或a＝5，即C1(1，－1)，C2(5，－5)，则|C1C2|＝4.
答案：4
1．关于两圆的位置关系
一般利用代数法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差的关系，另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的，可以利用位置关系判断公切线的条数，反之亦然．
2．两圆的公共弦长
将两圆的方程作差，即可得到公共弦的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长．
eq
\a\vs4\al(,,题组训练四)
与圆有关的最值问题
已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．
(2)求|MQ|的最大值和最小值．
(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
【解析】(1)由点P(a，a＋1)在圆C上，可得a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，解得a＝4，所以P(4，5).
所以|PQ|＝＝2，kPQ＝＝.
(2)圆的方程变为(x－2)2＋(y－7)2＝8.所以圆心C坐标为(2，7)，半径r＝2.可得|QC|＝＝4，因此|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(3)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k，由直线MQ与圆C相切时，＝2，可得k＝2＋或k＝2－，所以2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
与圆有关的最值问题常见的类型
(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：
dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r.
(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r.
(3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求，，x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解．
PAGE第四课 圆锥曲线的方程
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题组训练一 圆锥曲线的定义及应用?
1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
【解析】选C.把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
所以点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为AB过点F1且A，B在椭圆上，如图所示，
则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，所以a＝4.
又离心率e＝＝，
所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
题组训练二 圆锥曲线的方程?
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选D.由题意得，解得，
则b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.
2．抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若＝，点A到y轴的距离为1，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝4y
B．x2＝3y
C．x2＝2y
D．x2＝y
【解析】选C.由题可知点F，P，
因为点A到y轴的距离为1，且A在抛物线上，
所以不妨设点A，
因为＝，
所以－＝，
解得p＝或－(舍去).
所以抛物线的方程为x2＝2y.
3．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】由题意得，解得，
则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定型，后定式，再定量”的步骤．
(1)定型——二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“型”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
题组训练三 圆锥曲线的几何性质?
1．如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.
B．
C．
D．
【解析】选D.由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，所以C2的离心率e＝＝.
2．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
【解析】设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.
因为e1·e2＝，所以＝，
即＝，所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
答案：x±y＝0
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
题组训练四 直线与圆锥曲线的位置关系?
1．若点A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B，C两点，则·＝( )
A．－3
B．3
C．－4
D．4
【解析】选A.由题意可得A(0，0)，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线BC的方程为：y＝kx＋1，
联立
可得x2－kx－1＝0，设B，C，
则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，
所以y1y2＝
＝k2x1x2＋k＋1，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k＋1
＝×＋4k2＋1＝－3.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【解析】(1)依据题意作图如图所示：
由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
则＝(a，1)，＝(a，－1).
由·＝8得a2－1＝8，即a＝3.
所以E的方程为＋y2＝1.
(2)设P，
则直线AP的方程为：y＝，
即：y＝，
联立直线AP的方程与椭圆方程可得：
整理得：
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋9))
x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得：x＝－3或x＝
eq
\f(－3y＋27,y＋9)
，
将x＝
eq
\f(－3y＋27,y＋9)
代入直线y＝
可得：y＝
eq
\f(6y0,y＋9)
，
所以点C的坐标为
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3y＋27,y＋9)，\f(6y0,y＋9)))
.
同理可得：点D的坐标为
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3y－3,y＋1)，\f(－2y0,y＋1)))
，
所以直线CD的方程为：
y－
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1)))
＝
eq
\f(\f(6y0,y＋9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1))),\f(－3y＋27,y＋9)－\f(3y－3,y＋1))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
，
整理可得：y＋
eq
\f(2y0,y＋1)
＝
eq
\f(8y0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋3)),6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
＝
eq
\f(8y0,6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
，
整理得：y＝
eq
\f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
x＋
eq
\f(2y0,y－3)
＝
eq
\f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))
故直线CD过定点.
直线与圆锥曲线的三种位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
(1)相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
(2)相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切．
(3)相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．
PAGE阶段提升课第一课 空间向量与立体几何
eq
\a\vs4\al(,,题组训练一)
空间向量的运算
1．已知直三棱柱ABC?A1B1C1的所有顶点都在球O的表面上，∠BAC＝90°，AA1＝BC＝2，则·(＋)＝( )
A．1
B．2
C．2
D．4
【解析】选B.依题意，O在底面ABC的投影为△ABC的外心O1，因为∠BAC＝
90°，故O1为BC的中点，
·(＋)＝2··＝2·＝2.
2．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，＝2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
【解析】选D.因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋×＋＝＋
＝＋＋×＝＋
(－)＋(－)＝＋＋，
所以x＝，y＝，z＝.
向量运算的技巧
(1)关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
(2)熟记空间向量的坐标运算公式，设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
①加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2).
②数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
③向量夹角：cos
〈a，b〉＝
eq
\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋y＋z)\r(x＋y＋z))
.
④向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，
则＝.
eq
\a\vs4\al(,,题组训练二)
利用空间向量证明平行、垂直关系
1．已知直线l的方向向量a，平面α的法向量μ，若a＝(1，1，1)，μ＝(－1，0，1)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．垂直
B．平行
C．相交但不垂直
D．直线l在平面α内或直线l与平面α平行
【解析】选D.a·μ＝1×(－1)＋1×0＋1×1＝0，得直线l的方向向量垂直于平面的法向量，则直线l在平面α内或直线l与平面α平行．
2．如图，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，当的值等于________时，能使A1C⊥平面C1BD.
【解析】不妨设＝x，CC1＝1，若A1C⊥平面C1BD，
则A1C⊥C1B，A1C⊥C1D，
而＝＋，
＝＋＋，由＝0，
得(＋＋)·(＋)
＝－2＋·＋·＝0，
由·＋·＝－，可得方程1－x2＋＝0，
解得x＝1或x＝－(舍)，
因此，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.
答案：1
3．在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
【证明】如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设DC＝a，PD＝b，则D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，
A(0，a，0)，P(0，0，b)，E.
(1)＝，＝(a，a，0).
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝，
因为·n＝(a，0，－b)·＝0，
所以⊥n，故PC∥平面EBD.
(2)由题意得，平面PDC的一个法向量为＝(0，a，0)，
又＝(a，a，－b)，＝(a，0，－b)，
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，
所以m＝，
因为·m＝(0，a，0)·＝0，
所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.
1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
2．证明线面平行的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．
3．证明面面平行的方法
证明这两个平面的法向量是共线向量．
4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．
5．证明线面垂直的方法
证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
6．证明面面垂直的方法
证明两个平面的法向量互相垂直．
eq
\a\vs4\al(,,题组训练三)
利用空间向量求空间角
1．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，AD＝1，AB＝，△PAB是等腰三角形，点E是棱PB的中点，则异面直线EC与PD所成角的余弦值是( )
A.
B．
C．
D．
【解析】选B.因为AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
又因为PA＝AB＝，AD＝1，
所以A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，)，
因为E是棱PB的中点，所以E，
所以＝，＝(0，1，－)，
所以cos
〈，〉＝＝.
2．如图所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱A1A的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1?CE?C1的正弦值；
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值是，求线段AM的长．
【解析】(1)以A为原点可建立如图所示空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，
B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)，
所以＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，
所以·＝1×(－1)＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)由(1)知：＝，＝，
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1C1?平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1C1，
又B1C1⊥CE，CC1，CE?平面CEC1，
CC1∩CE＝C，所以B1C1⊥平面CEC1，
所以平面CEC1的一个法向量为＝(1，0，－1).
设平面B1CE的法向量n＝(x，y，z)，
则，
令z＝1，则y＝－2，x＝－3，
所以n＝(－3，－2，1)，
所以cos
〈，n〉＝＝＝－，
所以sin
〈，n〉＝，
所以二面角B1?CE?C1的正弦值为.
(3)由(1)知：＝，
＝，
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，
所以＝＋＝(λ，λ＋1，λ)，
因为AA1⊥平面ABCD，
AB?平面ABCD，
所以AA1⊥AB，
又AB⊥AD，AA1，AD?平面ADD1A1，
AA1∩AD＝A，
所以AB⊥平面ADD1A1，
所以平面ADD1A1的一个法向量为＝.
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成角，
则sin
θ＝|cos
〈，〉|
＝
＝＝，
解得λ＝，
则＝，
所以||＝＝，
即AM的长为.
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos
〈n，a〉，再利用公式sin
θ＝|cos
〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补．
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