中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
因式分解
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·江苏南通市·八年级期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·广东郁南·月考）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，则，的
值是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）对于算式，下列说法错误的是
（
）
A．能被2016整除
B．能被2017整除
C．能被2018整除
D．能被2019整除
6．（2020·浙江杭州市·七年级期中）已知，，则代数式的值为（
）
A．4
B．
C．3
D．
7．（2020·内蒙古昆都仑·初二期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（ ）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）
B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）
D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
8．（2020·浙江省初二月考）如图，设，则的值可以为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
10．（2020·浙江省初三二模）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.
11．（2021·郁南县蔡朝焜纪念中学初二月考）分解因式（x﹣1）（x﹣3）+1=________．
12．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________
13．（2020·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a-b的值是__________．
14．（2021·全国初二课时练习）已知实数a，b满足：，，则|=
．
15．（2020·浙江台州市·八年级期末）已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
16．（2020·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1）
（2）
18．（2020·福建省泉州实验中学期末）因式分解：(1)
(2)
19．（2020·浙江七年级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．
（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．
①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；②求的值．
20．（2021·江西赣州市·八年级期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，，，解得，，
∴另一个因式为，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式可分解为，则________；
（2）若二次三项式可分解为，则________；
（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
21．（2020·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
22．（2020·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式
(从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
23．（2020·邵东创新实验学校初一期中）先阅读下列解答过程，然后再解题．
例：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x
2+ax+b），则2x
3﹣x2+m＝2x
3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．
比较系数得，解得，∴m＝．
解法二：设2x3﹣x2+m＝A?（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取x＝﹣，2×（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，故m＝．
（1）已知多项式2x3﹣2x2+
m有一个因式是x+2，求m的值．
（2）已知x
4+
m
x3+
n
x﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
因式分解
知识点精讲
知识点1
因式分解的概念
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1．（2020·浙江七年级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义：把整式变形成整式乘积的形式，即可作出判断．
【详解】解：A、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、计算错误，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确理解定义是关键．
2．（2021·山西晋城市·八年级期末）下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用因式分解的定义、以及十字相乘法、公式法和提公因式法分别因式分解得出答案即可．
【详解】A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，不能用完全平方公式分解，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；故选：B
【点睛】本题考查了因式分解，解此题的关键是熟练掌握“十字相乘以及公式法和提取公因式法”分解因式的方法．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）多项式因式分解得，则__________．
【答案】-5
【分析】根据多项式的乘法法则把计算后与比较即可求解．
【详解】解：=x2+nx-2x-2n=
x2+(n-2)x-2n，
∵因式分解得，∴m=n-2，-2n=6，∴n=-3，m=-5．故答案为：-5．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若是多项式的一个因式，则__________．
【答案】-3
【分析】设多项式的另一个因式为2x+b，则（x-2）（2x+b）=2x2+ax-2，然后先求得b的值，从而可得到a的值．
【详解】解：设多项式的另一个因式为2x+b．则（x-2）（2x+b）=2x2+（b-4）x-2b=2x2+ax-2．
所以-2b=-2，解得b=1．所以a=b-4=1-4=-3．故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的意义，确定多项式的另一个因式是解题的关键．
5．（2020·浙江台州市·八年级期末）已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
【答案】1
【分析】根据题意类比推出，若是的因式，那么即当时，．将代入，即可求出a的值．注意题干要求a为正数，再将求得的解代入原多项式，进行因式分解即可．
【详解】∵是的因式，∴当时，，即，
∴，∴，
∵为正数，∴，∴可化为，
∴另一个因式为．故答案为1；
【点睛】本题考查根据题意用类比法解题和因式分解的应用，注意题干中a的取值为正数是关键．
6．（2021·社旗县新时代国际学校八年级月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式．
【答案】
【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x-1）（x-9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x-2）（x-4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．
【详解】解：设原多项式为（其中，，均为常数，且）．
因为，所以，，
又因为，所以，所以原多项式为．
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．
知识点2
因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
补充：立方和公式：；立方差公式：
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
知识点3因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式
③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）单项式与的公因式是_________．
【答案】4m2n2
【分析】找到系数的公共部分，再找到因式的公共部分即可．
【详解】解：由于4和12的公因数是4，m2n2和m3n2的公共部分为m2n2，
所以4m2n2与12m3n2的公因式是4m2n2．故答案为4m2n2．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，找到两式的公共部分是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“-1”．
【详解】解：=，
∴另一个因式为，故选A．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】直接利用完全平方公式分别分解因式进而判断即可．
【详解】解：（1）无法运用完全平方公式分解因式；
（2）无法运用完全平方公式分解因式；
（3），能运用完全平方公式分解因式；
（4），能运用完全平方公式分解因式；故选B．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）下列因式不能整除（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先将4x3y＋4x2y2＋xy3按照因式分解的方法进行变形，则可得出哪些整式可以整除多项式4x3y＋4x2y2＋xy3，则问题得解．
【详解】解：∵4x3y＋4x2y2＋xy3 ＝xy（4x2＋4xy＋y2）＝xy（2x＋y）（2x＋y）＝x（2xy＋y2）（2x＋y）
∴xy、（2x＋y）、（2xy＋y2）均能整除4x3y＋4x2y2＋xy3，x2＋2xy不能整除4x3y＋4x2y2＋xy3．故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并正确对原式变形是解题的关键．
5．（2021·浙江九年级专题练习）若a+b=1，则的值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】把进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解．
【详解】解：．故选：D
【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b，代入求值．
6．（2020·浙江七年级月考）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）提公因式x即可分解；（2）提公因式，再逐步利用平方差公式分解；（3）先分组，再利用完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解；（4）先提公因式a-b，再利用平方差公式分解．
【详解】解：（1）=；
（2）===
===；
（3）==；
（4）===
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键，注意因式分解要彻底．
7．（2021·江西宜春市·八年级期末）小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解．
小花根据大家的提示，整理出解答过程：
请你依照上述做法，将下列各式因式分解：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，且，都是正整数，试求，的值．
【答案】x=3，y=2．
【分析】运用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，再根据，的值均是正整数进行讨论即可得出答案．
【解析】∵，且，都是正整数
∴是正整数，是整数，
又∵，7是正整数，∴，均是正整数，
又∵7=7×1，∴或，解得，
解得（不符合题意，舍去）所以x=3，y=2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法分解因式并确定出关于x、y的方程组是解题的关键．
重难点题型
考点1
因式分解概念及意义
【满分技巧】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。
1．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学期末））下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可．
【解析】解：A.
,是乘法运算，不是因式分解，不合题意；
B.
，变形错误，不是因式分解，不合题意；
C.
，是因式分解符合题意；
D.
，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．
2．（2021·重庆渝中区·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a（a+1）＝a2+a
B．a2+2a﹣1＝a（a+2）﹣1
C．4a2﹣2a＝2a（2a﹣1）
D．a2﹣4+4a＝（a+2）（a﹣2）+4a
【答案】C
【分析】多项式的因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用因式分解的定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：a（a+1）＝a2+a是整式的乘法运算，不是因式分解，故不符合题意；
a2+2a﹣1＝a（a+2）﹣1不是因式分解，故不符合题意；
4a2﹣2a＝2a（2a﹣1）是因式分解，故符合题意；
a2﹣4+4a＝（a+2）（a﹣2）+4a，不是因式分解，故不符合题意；故选：
【点睛】本题考查的是因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
3．（2020·山西临汾市·八年级期中）把分解因式得，则的值是（
）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】B
【分析】将展开即可得出答案．
【详解】将展开得，∴c=2，故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题关键．
4．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
【答案】A
【分析】根据题意列出等式，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，然后代入求值即可．
【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故选：A．
【点睛】本题主要考查因式分解与整式乘法的关系，掌握因式分解与整式乘法是互逆的变形过程是解题的关键．
5．（2020·重庆八中初二期中）若多项式可分解为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】多项式分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m和a的值即可．
【解析】解：根据题意得：＝＝，
可得：，解得：∴故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解与整式乘法运算的关系，熟练掌握整式乘法运算法则是解本题的关键．
考点2
分解因式（提公因式法）
【满分技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法
挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（
）
A．xmyn
B．xmyn-1
C．4xmyn
D．4xmyn-1
【答案】D
【解析】由题意可得，这个多项式的公因式为4xmyn-1，
注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D
2.（2020·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
【答案】（x+2）（x﹣1）
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．
【解析】（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案为（x+2）（x﹣1）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
3．（2020·江苏常州·期中）把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是______
．
【答案】2x-5y
；
【解析】解：﹣16x3+40x2y=﹣8x2?2x+（﹣8x2）?（﹣5y）=﹣8x2（2x﹣5y），
所以另一个因式为2x﹣5y．故答案为2x﹣5y
点睛：本题考查提公因式法分解因式，把多项式的各项写成公因式与另一个因式相乘的形式是解题的关键．
4．（2020·山东单县·初一期末）已知，则代数式的值为_____．
【答案】-8
【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．
【解析】∵，∵，
∴，
又，∴原式=2×(-4)=-8．故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
5．（2020·山东历城·期中）如图，边长为，的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（
）.
A．140
B．70
C．35
D．24
【答案】B
【分析】根据题意得出2(a+b)=14，ab=10，再对进行因式分解，即可得出答案.
【解析】根据题意可得：2(a+b)=14，ab=10
则
故答案选择：B.
【点睛】本题考查的是因式分解，需要熟练掌握因式分解的方法.
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）计算：________．
【答案】-31.4
【分析】运用提公因式法计算即可
【解析】解：故答案为：-31.4
【点睛】本题考查了提公因式法进行简便运算，熟练掌握法则是解决此题的关键
考点3
分解因式（运用公式法）
【满分技巧】若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定了分解结果的运算符号。
1．（2020·湖南益阳·期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．
【解析】解：A．与符号相同，不能使用平方差公式分解因式；
B．可以使用平方差公式分解因式；
C．，与符号相同，不能使用平方差公式分解因式；
D．是立方的形式，故不能使用平方差公式分解因式；故选：B．
【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
2．（2020·潍坊美加实验学校其他）分解因式：___________．
【答案】
【分析】根据平方差公式即可因式分解．
【解析】，故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
3．（2020·辽宁灯塔·期末）分解因式
【答案】(a+b)2(a-b)2
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.
【解析】
(a2+b2)
2-4a2
b2=[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)-2ab]=(a+b)2(a-b)2.
【点睛】本题考查了综合利用平方差公式与完全平方公式因式分解，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.
4．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）对于任何整数m，多项式都能被（
）整除．
A．8
B．m
C．
D．
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【解析】因为=(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)
所以原式能被8整除．
【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键
5．（2020·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解析】A.
只有两项，不符合完全平方公式；
B.
其中
、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C.
，其中与
不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D.
符合完全平方公式定义，故选：D.
【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.
6．（2020·浙江省初三二模）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.
【答案】36.
【分析】根据题意列出，求出x-y=4，解方程组得到x的值即可得到答案.
【解析】由题意得：
∵，∴x-y=4，
解方程组，得，
∴正方形ABCD面积为，故填：36.
【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.
7．（2020·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式直接分解即可；（2）先提公因式ab，再利用完全平方公式分解．
【解析】解：（1）=；
（2）==
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法，属于基础知识．
考点4
分解因式（分组分解法）
【满分技巧】当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。
1．（2020·太原师范学院附属中学初二月考）整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形．把多项式乘多项式法则反过来，将得到：，这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
例：（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）例题求解过程中，第二步变形是利用____________（填乘法公式的名称）
（2）利用上述方法，分解因式：．
【答案】（1）完全平方公式；（2）
【分析】（1）根据完全平方公式得特点即可得答案；（2）先把x2-2xy+y2与xz-yz分组分解因式，再提取两组多项式的公因式（x-y）即可得答案．
【解析】（1）例题求解过程中，第二步变形是利用完全平方公式．故答案是：完全平方公式；
（2）．
【点睛】本题考查利用分组分解法分解因式，正确分组并熟练掌握乘法公式是解题关键．
2．（2020·陕西三原·初二期末）阅读材料，回答问题：
材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：分解因式：（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；
（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可.
【解析】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【分析】首先把一二项分为一组、三四五项分为一组，然后再利用公式法和提公因式法分解．
【解析】解：原式
【点睛】本题考查因式分解，综合利用分组分解、公式法和提公因式法分解是解题关键．
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】将分组为，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可．
【解析】==．
【点睛】本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解题的关键．
5．（2020·诸暨市浣江初级中学初一期中）请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）===
（2）===
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：
(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=
(_____________)(_____________)；
=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=
(_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：①；②．
【答案】（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②
【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；
【解析】解：（1）()-()=-=
()()；
=()+()=
+()=
故答案为：；；；；；；；；；；；；
（2）①==
②===
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
考点5
分解因式（十字相乘法）
1．（2020·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：①
．②
．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
【解析】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
2．（2020·全国初二课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得，的值．
【解析】解：利用十字交乘法将因式分解，可得：．
，，．故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式的知识．注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：．
3．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．
【答案】（2x+1）（x﹣2）
【分析】根据题中的方法将原式分解即可．
【解析】解：原式＝（2x+1）（x﹣2），故答案为（2x+1）（x﹣2）
【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（2020·全国初一单元测试）因式分解：______.
【答案】
【分析】把看作一个整体，再用分解即可.
【解析】
【点睛】本题考查了因式分解－十字相乘法，注意常数项的分解结果与一次项系数的关系是解题的关键，应用整体思想可以化难为易.
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
【解析】=．
【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【分析】先提公因式3mn，再利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】解：原式．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键．
考点6
利用因式分解判断三角形的形状
1．（2021·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D.
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.
2.（2020?闽清县期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．
【分析】将已知等式移项后变形为，即，据此可得且，继而知a+b＝c，即可作出判断．
【答案】解：无法构成△ABC，
理由：∵，∴，
∴，∴，
∴且，即且，∴a+b＝c，∴无法构成△ABC．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式和非负数的性质及构成三角形的条件．
3．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
4.（2020?徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【答案】△ABC是等边三角形．
证明如下：∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和完全平方公式、因式分解，能根据完全平方公式得出（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0是解此题的关键．
5．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
【答案】（1）；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【分析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；
（2）先从中提取公因式，从中提取公因式，再提取它们的公因式，最后根据，判断出△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）；
（2）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴的形状是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.
6．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)
；(2)等腰三角形，理由见解析．
【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．
(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．
【解析】解：(1)原式，故答案为．
(2)∵∴，∴，
∴或，∴或，∴△ABC为等腰三角形．故答案为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
考点7
利用因式分解求值
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【分析】先对原式运用平方差公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可.
【解析】原式=
∵，∴原式=
【点睛】本题主要考查了应用平方差公式进行因式分解和整体代入法，能够正确的进行因式分解是解题的关键.
2．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
【答案】35
【分析】根据题意可得，再利用因式分解代入计算即可．
【解析】解：∵
是方程组的解，∴
，
∴
，故填：35．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及因式分解，利用整体法求代数式的值．
3．（2020·沭阳县修远中学初一期末）已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A．
B．或
C．1
D．1或11
【答案】D
【分析】此题先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．
【解析】解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a－c＝1或a－c＝11，故选D．
【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．
4．（2020·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
5．（2020·贵阳市白云区南湖实验中学初二期末）已知，，则代数式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【解析】∵，，∴a-c=-1，
∴===
=-3，故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
6.（2020?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由题意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz变形为（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入计算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的运用；熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
考点8
因式分解的应用
满分技巧：因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1．（2020·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
【答案】3
【分析】根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题．
【解析】解：如图所示：
共有3种不同的正方形．故答案为3．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
2.（2019?乳山市期中）【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【分析】（1）将x﹣y看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得；
（2）将a+b看做整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看做整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数．
∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力．
3．（2020·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即：
（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2
＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【分析】（1）先利用分组法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分组法分解因式，求得ab的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可．
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2?＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，故△ABC的周长为16或17．
【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键．
4．（2020·河南郑州外国语中学初二期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可．（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【解析】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C
（2）原式==故答案为：
（3）设．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
5．（2020·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；
（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；
（3）先把代入，得到关于和
的式子，再仿照（1）（2）题．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法.
首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.
6．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
【答案】（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），根据P是任意两个连续偶数的平方差得出p的值，利用因式分解变形即可得出答案；（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n为整数），用含n的式子表示出y-x，再根据x，y的范围及“四季数”的定义可得答案．
【解析】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，∴2n+1必为正整数，∴4(2n+1)一定是4的倍数，∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，∴9(y-x)=4n，y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，∴，，，，；
当n=18时，y-x=8，∴．∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
【点睛】本题考查了因式分解在新定义习题中的证明及其计算，读懂定义，是解题的关键．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
因式分解
知识点精讲
知识点1
因式分解的概念
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1．（2020·浙江七年级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·山西晋城市·八年级期末）下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）多项式因式分解得，则__________．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若是多项式的一个因式，则__________．
5．（2020·浙江台州市·八年级期末）已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
6．（2021·社旗县新时代国际学校八年级月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式．
知识点2
因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
补充：立方和公式：；
立方差公式：
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
知识点3因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式
③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）单项式与的公因式是_________．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）下列因式不能整除（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·浙江九年级专题练习）若a+b=1，则的值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
6．（2020·浙江七年级月考）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
7．（2021·江西宜春市·八年级期末）小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解．
小花根据大家的提示，整理出解答过程：
请你依照上述做法，将下列各式因式分解：
（1）；
（2）
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，且，都是正整数，试求，的值．
重难点题型
考点1
因式分解概念及意义
【满分技巧】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。
1．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学期末））下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·重庆渝中区·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a（a+1）＝a2+a
B．a2+2a﹣1＝a（a+2）﹣1
C．4a2﹣2a＝2a（2a﹣1）
D．a2﹣4+4a＝（a+2）（a﹣2）+4a
3．（2020·山西临汾市·八年级期中）把分解因式得，则的值是（
）
A．3
B．2
C．
D．1
4．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
5．（2020·重庆八中初二期中）若多项式可分解为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
分解因式（提公因式法）
【满分技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法
挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（
）
A．xmyn
B．xmyn-1
C．4xmyn
D．4xmyn-1
2.（2020·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
3．（2020·江苏常州·期中）把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是______
．
4．（2020·山东单县·初一期末）已知，则代数式的值为_____．
5．（2020·山东历城·期中）如图，边长为，的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（
）.
A．140
B．70
C．35
D．24
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）计算：________．
考点3
分解因式（运用公式法）
【满分技巧】若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定了分解结果的运算符号。
1．（2020·湖南益阳·期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·潍坊美加实验学校其他）分解因式：___________．
3．（2020·辽宁灯塔·期末）分解因式
4．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）对于任何整数m，多项式都能被（
）整除．
A．8
B．m
C．
D．
5．（2020·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江省初三二模）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.
7．（2020·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1）
（2）
考点4
分解因式（分组分解法）
【满分技巧】当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。
1．（2020·太原师范学院附属中学初二月考）整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形．把多项式乘多项式法则反过来，将得到：，这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
例：（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）例题求解过程中，第二步变形是利用____________（填乘法公式的名称）
（2）利用上述方法，分解因式：．
2．（2020·陕西三原·初二期末）阅读材料，回答问题：
材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：分解因式：（1）；
（2）．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
5．（2020·诸暨市浣江初级中学初一期中）请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）===
（2）===
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：
(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=
(_____________)(_____________)；
=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=
(_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：①；②．
考点5
分解因式（十字相乘法）
1．（2020·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：①
．②
．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
2．（2020·全国初二课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．
4．（2020·全国初一单元测试）因式分解：______.
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
考点6
利用因式分解判断三角形的形状
1．（2021·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2.（2020?闽清县期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．
3．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
4.（2020?徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
5．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
6．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
考点7
利用因式分解求值
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.
2．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
3．（2020·沭阳县修远中学初一期末）已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A．
B．或
C．1
D．1或11
4．（2020·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
5．（2020·贵阳市白云区南湖实验中学初二期末）已知，，则代数式的值是________．
6.（2020?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
考点8
因式分解的应用
满分技巧：因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1．（2020·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
2.（2019?乳山市期中）【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
3．（2020·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即：
（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2
＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
4．（2020·河南郑州外国语中学初二期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
5．（2020·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
6．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
因式分解
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·江苏南通市·八年级期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的概念可直接进行排除选项．
【详解】A、，不是因式分解，故不符合题意；
B、，属于整式的乘除，故不符合题意；
C、是因式分解，故符合题意；
D、不属于因式分解，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解的概念，正确理解因式分解的概念是解题的关键．
2．（2021·广东郁南·月考）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断即可．
【解析】解：A、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；
B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；C、，故正确；
D、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误．故选：C．
【点睛】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
3．（2021·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D.
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，则，的
值是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答．
【解析】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n），得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m
所以n=-1，m=5．故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）对于算式，下列说法错误的是
（
）
A．能被2016整除
B．能被2017整除
C．能被2018整除
D．能被2019整除
【答案】A
【分析】根据因式分解的方法对原式进行变形后可以得解．
【详解】解：∵
=
=，∴B、C、D正确，A错误，故选A．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．
6．（2020·浙江杭州市·七年级期中）已知，，则代数式的值为（
）
A．4
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】先分解因式，再将已知的a-b=3，b-c=-2，两式相加得：a-c=1，整体代入即可．
【详解】解：a2-ac-b（a-c）=a（a-c）-b（a-c）=（a-c）（a-b），
∵a-b=3，b-c=-2，∴a-c=1，当a-b=3，a-c=1时，原式=3×1=3．故选：C．
【点睛】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式a-c与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．
7．（2020·内蒙古昆都仑·初二期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（ ）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）
B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）
D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
【答案】B
【分析】此题可将x﹣y的形式化成﹣（y﹣x），然后提取公因式（y﹣x），据此可解此题．
【解析】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x）＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．
故选：B．
【点评】此题考查的是因式分解，先观察题意找出公因式y﹣x，然后提取公因式．
8．（2020·浙江省初二月考）如图，设，则的值可以为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先用a、b的代数式表示出甲图和乙图的面积，然后利用分式的约分可得k的值，由即可确定k的取值范围，进而可得答案．
【解析】解：甲图中阴影部分的面积=，乙图中阴影部分的面积=，
∴，
∵，∴，∴，观察4个选项，k的值可以为．故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形的面积，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
【答案】35
【分析】根据题意可得，再利用因式分解代入计算即可．
【解析】解：∵
是方程组的解，∴
，
∴
，故填：35．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及因式分解，利用整体法求代数式的值．
10．（2020·浙江省初三二模）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.
【答案】36.
【分析】根据题意列出，求出x-y=4，解方程组得到x的值即可得到答案.
【解析】由题意得：
∵，∴x-y=4，
解方程组，得，
∴正方形ABCD面积为，故填：36.
【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.
11．（2021·郁南县蔡朝焜纪念中学初二月考）分解因式（x﹣1）（x﹣3）+1=________．
【答案】（x﹣2）2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则算乘法，合并同类项，最后根据完全平方公式分解即可．
【解析】解：（x-1）（x-3）+1=x2-3x-x+3+1=x2-4x+4=（x-2）2，故答案为（x-2）2．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，合并同类项，完全平方公式的应用，能选择适当的方法分解因式时解此题的关键，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，因式分解法等．
12．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________
【答案】
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【解析】
故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
13．（2020·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a-b的值是__________．
【答案】-3
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a,b的值．
【解析】分解因式x?＋ax＋b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为(x＋2)(x＋4)＝x?＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看错了a，?分解结果为
(x＋1)(x＋9)＝x???＋10x＋9，∴b＝9，故答案为：－3.
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
14．（2021·全国初二课时练习）已知实数a，b满足：，，则|=
．
【答案】1．
【解析】∵，，∴，，∴，∵，，两式相减可得，，，∴，即，∴==1．故答案为1．
考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂．
15．（2020·浙江台州市·八年级期末）已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
【答案】1
【分析】根据题意类比推出，若是的因式，那么即当时，．将代入，即可求出a的值．注意题干要求a为正数，再将求得的解代入原多项式，进行因式分解即可．
【详解】∵是的因式，∴当时，，即，
∴，∴，
∵为正数，∴，∴可化为，
∴另一个因式为．故答案为1；
【点睛】本题考查根据题意用类比法解题和因式分解的应用，注意题干中a的取值为正数是关键．
16．（2020·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式直接分解即可；（2）先提公因式ab，再利用完全平方公式分解．
【解析】解：（1）=；
（2）==
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法，属于基础知识．
18．（2020·福建省泉州实验中学期末）因式分解：(1)
(2)
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式；
（2）先分组，将多项式的后三项分为一组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式．
【解析】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解，掌握因式分解常用方法是解此题的关键，主要有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等等．
19．（2020·浙江七年级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．
（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．
①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；②求的值．
【答案】（1）（2m+n）（m+2n）；（2）①66cm；②41
【分析】（1）根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；（2）①根据题意可得mn，2m2+2n2，从而可得从而m2+n2，进而可求得m+n，结合图形可得答案．②根据m2+n2以及mn的值，结合完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）观察图形，发现代数式：2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，
则2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；故答案为：（2m+n）（m+2n）；
（2）①若每块小矩形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为162cm2，则mn=20cm2，2m2+2n2=162cm2，
∴m2+n2=81，∴（m+n）2=81+20×2=121，∴m+n=11，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=66（cm）；
②（m-n）2=
m2+n2-2mn=81-2×20=41．
【点睛】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．
20．（2021·江西赣州市·八年级期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，，，解得，，
∴另一个因式为，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式可分解为，则________；
（2）若二次三项式可分解为，则________；
（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5．
【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】解：（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝，
∴a﹣1＝﹣5，解得：a＝﹣4；故答案是：﹣4
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，∴b＝﹣1．故答案是：﹣1．
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，解得n＝5，k＝5，
∴另一个因式为x+5，k的值为5．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
21．（2020·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
22．（2020·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式
(从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
【答案】（1）推导见解析；（2），．
【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:;（2）根据配方法和立方差公式可得.
【解析】
解：
【点睛】考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.
23．（2020·邵东创新实验学校初一期中）先阅读下列解答过程，然后再解题．
例：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x
2+ax+b），则2x
3﹣x2+m＝2x
3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．
比较系数得，解得，∴m＝．
解法二：设2x3﹣x2+m＝A?（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取x＝﹣，2×（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，故m＝．
（1）已知多项式2x3﹣2x2+
m有一个因式是x+2，求m的值．
（2）已知x
4+
m
x3+
n
x﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】（1）m＝24；（2）m＝﹣5，n＝20．
【分析】（1）设2x3﹣2x2+m＝A?（x+2）（A为整式），由于是恒等式，则取x=-2，代入即可解答；
（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A?（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），由于是恒等式，则取x=1和x=2，代入即可解答．
【解析】解：（1）∵多项式2x3﹣2x2+m有一个因式是x+2，
∴设2x3﹣2x2+m＝A?（x+2）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算取x＝﹣2，
2×（﹣2）3﹣2×（﹣2）2+m＝0，故m＝24；
（2）∵x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），∴设x4+mx3+nx﹣16＝A?（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝2和x＝1，
代入得：24+m×23+2n﹣16＝0，14+m×13+n﹣16＝0，解得：m＝﹣5，n＝20．
【点睛】本题考查了因式分解的意义以及分解因式等知识点，弄懂题意、理解所给解答方法是求解本题的关键.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
