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专题08
分式方程与应用
知识点精讲
知识点1分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
1．（2020·无锡市第一女子中学八年级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．
【详解】A、是一元一次方程，故不符合题意；B、是一元一次方程，故不符合题意；
C、是分式方程，故符合题意；D、是二元一次方程，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．
2．（2021·全国九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】①是整式方程，①不符合题意；②是整式方程，②不符合题意；
③是整式方程，故③不符合题意；④是分式方程，故④符合题意；
⑤是分式方程，故⑤符合题意；⑥是分式方程，故⑥符合题意；
⑦是分式方程，故⑦符合题意；⑧是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨是分式方程，故⑨符合题意；故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
知识点2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
1．（2021·河北石家庄市·九年级一模）是方程的解，a的值为_______．
【答案】-5
【分析】将x=-1代入方程求出a的值即可．
【详解】解：将x=-1代入方程得
解得a=-5．故答案为：-5．
【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，正确理解分式方程的解得含义是解答本题的关键．
2．（2021·新兴县环城中学九年级期中）解分式方程时，去分母正确的是（
）
A．x（x-1）=1-2x-1
B．x（x-1）=1-（2x-1）
C．x（x-1）=x2-1-2x-1
D．x（x-1）=
x2-1-（2x-1）
【答案】D
【分析】分式方程去分母得到结果，即可做出判断．
【详解】解：分式方程去分母得：x（x-1）=x2-1-（2x-1）．故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．（2021·江苏九年级专题练习）对于两个不相等的实数a?b，我们规定符号表示a?b中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为（ ）
A．1
B．
C．1或
D．或
【答案】C
【分析】分类讨论和的大小关系，利用题中的新定义化简已知方程，求出解即可．
【详解】解：当，即y＜0时，方程变形得：，解得：y=-1，经检验y=-1是分式方程的解；
当，即y＞0时，方程变形得：，解得：y=1，经检验y=1是分式方程的解；
综上，方程的解为1或-1故选C．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（2021·江苏扬州市·八年级期末）（1）化简分式：；
（2）判断方程是否有解？_____（填“是”或“否”）
【答案】（1）1；（2）否．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可．
【详解】解：（1）====1；
（2）去分母得：1-x+2x-4+1=0，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故答案为：否．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2021·盐城市初级中学八年级期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）无解
【分析】（1）观察可得最简公分母是(x+4)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可；（2）观察可得最简公分母是(x-1)(x-1)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可．
【详解】解：（1）
去分母得，5-x-2=x-4
移项合并得-2x=-7
系数化为1，得
经检验，是原方程的解，
所以，分式方程的解为：；
（2）
去分母得，（x-1）+2(x+1)=4
去括号得，x-1+2x+2=4
移项合并得，3x=3
系数化为1得，x=1
经检验，x=1是原方程的增根，
所以，原方程无解．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，要注意：（1）解分式方程的思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定要注意验根．
知识点3
增根（无解）
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
1．（2021·浙江八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值为（
）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】B
【分析】先通过去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，求出参数m，即可．
【详解】解：把原方程去分母得：，
∵原分式方程有增根：x=1，∴，即：m=1，故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程增根的意义，理解使分式方程的分母为零的根，是分式方程的增根，是解题的关键．
2．（2020·山西忻州·初二期末）阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：
（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是
；
（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；
（3）解方程
【答案】（1）x=2；（2）见解析；（3）无解
【分析】(1)由题意直接看出即可.(2)找到最简公分母,判断最简公分母的范围即可.(3)利用分式方程的运算方法解出即可.
【解析】（1）
（2）∵原分式方程的最简公分母为，而∴解这个分式方程不会产生增根.
（3）方程两边同乘，得
解得：
经检验：当时，所以，原分式方程无解.
【点睛】本题考查分式方程的增根,关键在于理解增根的意义.
3．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知关于的方程无解，则k的值为________．
【答案】或
【分析】根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0求解即可．
【详解】解：原方程去分母后整理为，由于方程无解，故有两种情况：
(1)若整式方程无实根，则且；
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则，
经检验,
是方程的解.综上所述：或．故答案为：或．
【点睛】此题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解，有两种情况，①整式方程本身无解；②整式方程有解，但使得分式方程的最简公分母为零（即为增根）．
4．（2021·江苏扬州市·八年级期末）若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是_____．
【答案】且
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2021·江西宜春市·八年级期末）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【答案】D
【分析】根据题意，先解方程求出x=m-1,方程的解是一个正数，则m-1≥0，且当x-1=0时即m-2=0方程无解，因此得解．
【详解】解：去分母得：m-2=x-1,移项得：x=m-1，
由方程的解是正数得，m-1≥0且m-1-1≠0，解得：m≥1且m≠2，故选择：D．
【点睛】本题考查的是利用分式方程的解来解决其中的字母的取值范围问题，一定要考虑到分式方程必须有意义．
6．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模）若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________．
【答案】0或3
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x-2），把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得，x-4=-kx，整理得，（1+k）x=4，所以，
∵分式方程有正整数解，k是整数，∴1+k=1或1+k=2或1+k=4，解得k=0或k=1或k=3，
检验：当k=0时，x=4，此时x-2≠0，符合题意；当k=1时，x=2，此时x-2=0，不合题意，舍去；
当k=3时，x=1，此时x-2≠0，符合题意；所以k=0或3．故答案为：0或3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义．
知识点4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
1．（2020·湖北嘉鱼·期末）我县正准备实施的某项工程接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙工程队施工一天的工程费用分别为2万元和1.5万元，县招投标中心根据甲、乙两工程队的投标书测算，应有三种施工方案：
方案一：甲队单独做这项工程刚好如期完成；
方案二：乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天；
方案三：若甲、乙两队合做4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
根据以上方案提供的信息，在确保工期不耽误的情况下，你认为哪种方案最节省工程费用，通过计算说明理由．
【答案】方案三最节省工程费用，理由见解析．
【分析】设工程如期完成需天，则甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，依题意可列方程，可求的值，然后分别算出三种方案的价格进行比较即可．
【解析】设工程如期完成需天，则甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，依题意可列方程或
解得：
经检验是方程的根
∴工程如期完成需20天，甲工程队单独完成需20天，乙工程队单独完成需25天，
在工期不耽误的情况下，可选择方案一或方案三
若选择方案一，需工程款万元
若选择方案三，需工程款万元
故选择方案（3）．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
2．（2020·贵州铜仁伟才学校初二月考）2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
【答案】（1）甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；（2）应选甲工程队单独完成；理由见解析．
【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，根据甲工程队完成的工作量+乙工程队完成的工作量＝整项工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，根据甲、乙两工程队合作12天共需费用27720元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出两队每天所需费用，再求出两队单独完成这些工程所需总费用，比较后即可得出结论．
【解析】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，
依题意，得：1，解得：x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝30．
答：甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；
（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，
依题意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．
甲工程队单独完成共需要费用：1280×20＝25600（元），
乙工程队单独完成共需要费用：1030×30＝30900（元）．
∵25600＜30900，∴甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是合理设出未知数，找到等量关系，列出方程．
3．（2020·海东市教育研究室初二期末）枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二批枇杷，所购箱数是第一批的倍，但进价比第一批每箱多了5元．（1）求第一批枇杷的每箱进价．（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？
【答案】（1）第一批枇杷每箱进价为90元；（2）剩余的枇杷每箱售价至多打七五折
【分析】（1）设第一批枇杷每箱进价x元，则第二批进价为x+5元，再根据第二批的数量是第一批的倍，和数量=总价÷单价即可列出方程，求解即可；（2）设剩余的枇杷每箱售价打y折，根据利润=销售收入-进价，和利润不少于855元可列出不等式，求解即可．
【解析】解：（1）设第一批枇杷每箱进价x元．
由题意得，解得．经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：第一批枇杷每箱进价为90元．
（2）第二批购进枇杷的箱数为设剩余的枇杷每箱售价打y折．
由题意可知，，解得．
答：剩余的枇杷每箱售价至多打七五折．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据利润=销售收入-进价，列出关于m的一元一次不等式．
4．（2020·舞钢市教育局普通教育研究室期末）“十一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往“红螺寺”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费，原参加游玩的同学为x人，则可得方程（
）
A．-=3
B．-=3;
C．-=3
D．-=3
【答案】A
【分析】根据“每个同学比原来少分担3元车费”列出分式方程即可．
【解析】解：由题意可得-=3故选A．
【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
5．（2020·山西期末）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至处时，与鹿所在的处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着追去，追了50步至处与鹿所在的位置处还差10步（点、、在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
【答案】如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【分析】先求出BC的长,
设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追步才能追上此鹿,根据单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，列方程求解即可.
【解析】解：由题意可知，步，步，步，且．
由勾股定理，得．
设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追步才能追上此鹿．
根据题意，列方程，得．解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【点睛】此题考查分式方程的应用，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验．
重难点题型
考点1分式方程识别
1．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）下列方程中哪些是可以化为一元二次方程的分式方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义进行判断即可；
【解析】解：选项A中，转化为，不符合题意，故选项A错误；
选项B中，转化为，不符合题意，故选项A错误；
选项C中，转化为：，不符合题意，故选项C错误；
选项D中，转化为：，符合题意，故选项D正确；故选D.
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键.
2．（2021·全国八年级课时练习）下列关于的方程中，是分式方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行分析判断．
【详解】解：A.
中分母不含未知数，不是分式方程，故选项A错误；
B.
中分母不含未知数，不是分式方程，故选项B错误；
C.
是分式方程，故选项C正确；
D.
中分母不含未知数，不是分式方程，故选项D错误．故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式方程定义，判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数，要了解分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数．
3．（2021·全国九年级专题练习）在方程中，分式方程有______个．
【答案】3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程中，分式方程有，一共3个．故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可．
【解析】解:①分母不含未知数，故①不是分式方程；②分母不含未知数，故②不是分式方程；
③分母含有未知数，故③是分式方程；④分母含有未知数，故④是分式方程．故选C．
【点睛】本题考查分式方程的概念，难度容易，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
考点2解分式方程
满分技巧：分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
③解整式方程；④验根．
1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）解分式方程：．
【答案】．
【分析】去分母转化为整式方程，解整式方程，检验，得出结论即可
【详解】解：方程两边同时乘以，去分母，得，
整理得：
即，
解得．
经检验，为原方程的解，为原方程的增根．
∴原分式方程的解为．
【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题方法与步骤是解题关键
2．（2020·江苏鼓楼·期末）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）无解
【分析】（1）先把分式方程化成整式方程，再解整式方程，最后验根；
（2）先把分式方程化成整式方程，再解整式方程，最后验根；
【解析】（1）
方程两边同乘
经检验：当时，；是原方程的解．
（2）
方程两边同乘
经检验：当时，，
为方程增根，原方程无解．
【点睛】考查了求分式方程，解题关键是解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，且解分式方程一定注意要验根．
3．（2020·江苏南通市·八年级月考）解方程：
（1）；
（2）
．
【答案】（1）x=1；（2）无解．
【分析】（1）两边同乘以最简公分母，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．
（1）两边同乘以最简公分母，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．
【详解】（1）
两边同乘以得：
经检验是原方程的根．
（2）
两边同乘以得：
经检验，当时原等式无意义，所以方程无解．
【点睛】本题考查求解分式方程．把分式方程转化为整式方程是解题关键，且需要注意验根．
4．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）解分式方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）无解
【分析】（1）方程两边同时乘以（x－3），约去分母化为整式方程，求出整式方程的解并检验后即得结果；
（2）方程两边同时乘以，约去分母化为整式方程，求出整式方程的解并检验后即得结果．
【详解】解：（1）方程两边同时乘以（x－3），得
，解得：，
检验：当时，x－3≠0，
∴原方程的解是；
（2）方程两边同时乘以，得
，解得：x=1，
检验：当x=1时，=0，
∴x=1是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
5．（2020·南通市启秀中学八年级月考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
无解；（2）
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到方程的解；
（2）根据分式的加减及乘除运算法则对等式左边进行化简，得到分式方程，然后利用转化思想，将分式方程转化为整式方程求解即可，最后检验方程的根．
【详解】解：（1）
方程两边同乘得：
，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的增根，
所以原方程无解；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
方程两边同乘得：，
解得：x=-5，
经检验x=-5是原方程的解，
所以原方程的解为：x=-5．
【点睛】
本题考察解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程进行求解，解分式方程一定要注意验根．
考点3
分式方程含参问题（一）有增根
满分技巧：方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
1．（2021·江苏九年级专题练习）方程的增根为（
）
A．1
B．1和
C．
D．0
【答案】A
【分析】由分式方程产生増根，即分母等于0的x的值，然后解分式方程，即可得到答案．
【详解】解：∵增根就是分式方程无解时，未知数的值．
∴将原方程化为整式方程为，解得：．故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程，以及分式方程増根的意义，解题的关键是掌握解分式方程的方法进行解题．
2．（2020·湖南澧县·月考）若解分式方程产生增根，则m的值为（
）
A．1
B．-4
C．-5
D．-3
【答案】C
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解析】方程两边都乘(x+4)，得x?1=m，
∵原方程增根为x=?4，∴把x=?4代入整式方程，得m=?5，故选：C．
【点睛】本题考查分式方程无解的情况，掌握分式方程增根产生的条件为解题关键．
3．（2020·江苏清江浦·淮安六中初二期中）若分式方程＝2+有增根，则a的值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【分析】分式方程无解有两种可能，一种是转化为的整式方程本身没有解，一种是整式方程的解使分式方程的分母为0.
【解析】原式可化为，因为分式方程无解，即等式不成立或无意义，当时，方程无意义，代入求得.
【点睛】理解无解的含义是解题的关键.
4．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____．
【答案】﹣1．
【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可
【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2x﹣4，解得：x＝m+3，
由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键．
5．（2020·山东昌乐·初二期末）若解关于的方程时产生增根，那么的值为(
)
A．1
B．2
C．0
D．-1
【答案】A
【分析】关于的方程有增根,那么最简公分母为0,所以增根是x=2,把增根x=2代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值.
【解析】将原方程两边都乘（x-2）得:
,整理得，
∵方程有增根,∴最简公分母为0,即增根是x=2;把x=2代入整式方程,得m=1.故答案为:A.
【点睛】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:根据最简公分母确定增根的值;化分式方程为整式方程;把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
考点4
分式方程含参问题（二）无解
满分技巧：当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
1．（2020·浙江杭州·初一期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2或﹣3
B．0或3
C．﹣3或3
D．﹣3或0
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解析】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，
即m+2＝0或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
2．（2020·江苏洪泽·期末）若关于的方程无解，则__________．
【答案】2或
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得．
【解析】解：去分母，得：，整理，得：，
当时，分式方程无解，
当时，若，则，即；若，则（无解）；
综上所述，或，故答案为：2或．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，或者得到的整式方程无解．
3．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
【答案】1或6或
【分析】方程两边都乘以，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．
【详解】解：
当时，显然方程无解，又原方程的增根为：
当时，
当时，
综上当或或时，原方程无解．故答案为：1或6或．
【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．
4．（2020·江苏南通市·八年级月考）若关于x的分式方程无解，则m
=______．
【答案】2或1
【分析】将分式方程化成整式方程，按照一元一次方程无解的条件及分式方程无解的条件求得m的值即可．
【详解】解：方程两边同时乘以（x﹣2）
得：1﹣mx＝－1﹣2（x﹣2），整理得：（2﹣m）x＝2，
∵无解，∴当2﹣m＝0，即m＝2时，方程无解；
当x﹣2＝0时，方程也无解，此时x＝2，则2（2﹣m）＝2，解得m＝1．故答案为：2或1．
【点睛】本题考查了分式方程的解，明确分式方程和整式方程无解的条件是解题的关键．
5．（2020·南通市八一中学八年级月考）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值；
【答案】（1）；（2）或或1．
【分析】（1）把m=4代入解分式方程即可；
（2）化原方程为整式方程，然后据原方程无解，列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：（1）把m=4代入原方程得
方程两边同时乘以，去分母并整理得，解得
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
∵原分式方程有无解，∴或，
当时，得；
当时，解得：或，
当时，得；当时，得；
所以m的值可能为1、或6．
【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
考点5分式方程含参问题（三）解为正或负数等
满分技巧：（1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围；
（2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围
1．（2021·江苏九年级专题练习）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24
B．15
C．12
D．7
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论.
【详解】解：
去分母得:
移项得:
∴
∵分式方程的解为非负数，∴∴，且a≠3
∵三角形的三边为:5，7，a，∴∴，
又∵a≠3，且为整数，∴a可取4，5，6，和为15.故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式（组）解集，求出不等式（组）的整数解.
2．（2020·江苏宿迁市·八年级期末）若关于x的方程＝的解为正数，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞﹣2且m≠2．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母，得x﹣2＝m，解得：x＝m+2，∵x＞0，∴m+2＞0∴m＞﹣2，
∵x﹣4≠0，∴x≠4，∴m+2≠4，∴m≠2，∴m＞﹣2且m≠2．故答案为m＞﹣2且m≠2．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解得应用，准确计算是解题的关键．
3．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________．
【答案】m＞1且m≠3
【分析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【详解】解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，解得，
∵分式方程解为正数∴且x-1≠0，
即m＞1且，∴m＞1且m≠3，故答案为：m＞1且m≠3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．
4．（2020·扬州市梅岭中学八年级月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是_________
【答案】且m-4
【分析】先解方程求出x=m+6，根据该方程的解是正数，且x-20列得，计算即可.
【详解】
2x+m=3（x-2）
x=m+6，
∵该方程的解是正数，且x-20，∴，
解得且x-4，故答案为：且m-4.
【点睛】此题考查分式的解的情况求字母的取值范围，解题中注意不要忽略分式的分母不等于零的情况.
5．（2020·南通市八一中学八年级月考）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为___________．
【答案】且
【分析】先将分式方程化为整式方程，再解出方程的解，然后根据“解为正数”列出不等式求解即可．
【详解】
去分母得，2(x-2)+(1-kx)=-1,
整理得(2-k)x=2，
由原方程的解为正数得，2-k＞0，又由x≠2得，2-k≠1所以且．故答案为：且．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．
考点6分式方程含参问题（四）整数解问题
1．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，∴当a＝﹣1时，x＝-1；当a＝1时，x＝-2；当a＝2时，x＝-4；
当a＝4时，x＝4；当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；当a＝7时，x＝1；
故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
2．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模）若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________．
【答案】0或3
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x-2），把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得，x-4=-kx，整理得，（1+k）x=4，所以，
∵分式方程有正整数解，k是整数，∴1+k=1或1+k=2或1+k=4，解得k=0或k=1或k=3，
检验：当k=0时，x=4，此时x-2≠0，符合题意；当k=1时，x=2，此时x-2=0，不合题意，舍去；
当k=3时，x=1，此时x-2≠0，符合题意；所以k=0或3．故答案为：0或3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义．
3．（2021·江苏九年级专题练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（
）
A．8
B．10
C．16
D．18
【答案】C
【分析】先由不等式组无解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解为非负整数，求解且，再逐一确定的值，从而可得答案．
【详解】解：由①得：，∴，由②得：，∴，
∵关于x的不等式组无解，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，∴，
∵关于y的分式方程有非负整数解，∴，∴，
∵为整数，∴或或或或．∴．故选：C．
【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y≠2这一隐含条件．
4.（2020?九龙坡区校级月考）已知关于x的分式方程1＝0有整数解，且关于x的不等式组的解集为x≤﹣1，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】解分式方程得x且x≠1，则整数a为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时分式方程的解为整数解，再解不等式组得到a，从而得到满足条件的整数a的值．
【解析】解：去分母得2﹣ax+1+1﹣x＝0，解得x且x≠1，
当整数a为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时，分式方程的解为整数解，
解不等式组为，而不等式组的解集为x≤﹣1，
所以1，解得a，∴满足条件的整数a的值为0，1．故选：A．
考点7
列分式方程解应用题
1）工程问题
满分技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
1．（2020·晋州市第三中学月考）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【答案】B
【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得：＝；故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2020·长春吉大附中力旺实验中学月考）今年新冠肺炎疫情在全球肆虐，为降低病亡率，某工厂平均每天比原计划多生产10台呼吸机，现在生产120台呼吸机的时间与原计划生产90台呼吸机所需时间相同．求该工厂原来平均每天生产多少台呼吸机？
【答案】30台
【分析】设该工厂原来平均每天生产台呼吸机，则现在平均每天生产台呼吸机，根据工作时间工作总量工作效率结合现在生产120台呼吸机的时间与原计划生产90台呼吸机所需时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】解：设原来每天生产台，现在每天生产台，
依题意得：解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该工厂原来平均每天生产30台呼吸机．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2020·禹城市龙泽实验学校期末）列方程解应用题：为满足居民住房需求，某市政府计划购买180套小户型二手住房，重新装修后作为廉租住房提供给住房困难的家庭．现有甲、乙两家公司都具备装修能力，政府派出相关人员分别到这两家公司了解情况，获得如下信息：信息一：甲公司单独完成这批装修任务比乙公司单独完成这批装修任务多15天；信息二：乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两家公司单独完成这批装修任务分别需要多少天？
【答案】甲公司单独完成任务需要45天，乙公司单独完成任务需要30天
【分析】设甲公司单独完成这批装修任务需要天，则乙公司单独完成任务需要天，根据乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍建立方程求出其解即可．
【解析】设甲公司单独完成这批装修任务需要天，则乙公司单独完成任务需要天，根据题意，得
，解得：．经检验：是所列方程的解，且符合题意．
乙公司单独完成任务需要的时间为：（天．
答：甲公司单独完成任务需要45天，乙公司单独完成任务需要30天．
【点睛】本题考查了工程问题的数量关系工作总量工作效率工作时间的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍建立方程是关键．
4．（2020·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．
（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷
顶；
（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
【答案】（1）2000；（2）该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
分析：（1）直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷顶，后来每名工人每天生产帐篷×（1+25%）顶，然后根据已知条件即可列出方程10-2-2=，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷．
【解析】（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，
依题意得，（10-2-2）××1.25×（x+50）=20000-2×2000，即16000x=15000（x+50），
1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解，
答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
考点：分式方程的应用．
5．（2020·晋州市第三中学月考）全国在抗击新冠肺炎疫情期间，甲乙两家公司共同参与一项建造有1800个床位的方舱医院的工程，已知甲乙两家公司，每小时建造床位的数量之比为3：2，并且甲公司单独完成此项工程，比乙公司单独完成此项工程要少用20小时．（1）分别求甲乙两家公司每小时改建床位的数量？
（2）甲乙两家公司合作完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司工作时间的1/2，求乙公司至少工作多少小时？
【答案】（1）甲公司每小时改建床位的数量是45个，乙公司公司每小时改建床位的数量是30个；（2）乙公司至少工作15小时．
【分析】（1）设甲公司每小时改建床位的数量是x个，则乙公司公司每小时改建床位的数量是y个，根据甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3：2；甲做的工作量+乙做的工作量=工作总量建立方程组求出其解即可；（2）设乙公司工作z小时，根据乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的，建立不等式求出其解即可．
【解析】解：（1）设甲公司每小时改建床位的数量是x个，则乙公司公司每小时改建床位的数量是y个，依题意有，解得：，经检验，是方程组的解且符合题意，
故甲公司每小时改建床位的数量是45个，乙公司公司每小时改建床位的数量是30个；
（2）设乙公司工作z小时，依题意有，解得：z≥15．故乙公司至少工作15小时．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、列分式方程和二元一次方程组解实际问题的运用，是一道工程问题的运用题，解答时根据甲的工作效率+乙的工作效率=合作一天的工作效率为等量关系建立方程是关键，第二问列出不等式是解题的关键．
2）行程问题
满分技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程
追击问题：（快－慢）×时间=距离
1．（2020·禹城市龙泽实验学校期末）2013年9月，北京到大连的高铁开通运营，高铁列车的运行时间比原动车组的运行时间还要快2小时，已知北京到大连的铁路长约为910千米，原动车组列车的平均速度为千米/时，高铁列车的平均速度比原动车组列车增加了52千米/时．依题意，下面所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别求出乘坐动车和高铁所用的时间，然后根据题意高铁列车的运行时间比原动车组的运行时间还要快2小时，列出方程即可．
【解析】解：乘坐动车所用的时间为：，乘坐高铁所用的时间为：，
则列方程为：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是分别求出乘坐动车和高铁所用的时间，找出等量关系列方程．
2．（2020·竹溪县实验中学其他）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米/小时，则所列方程正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】关键描述语为：“过了30分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间-乘车同学所用时间=小时，可以列出相应的方程．
【解析】由题意可得：，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
3．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度．
【答案】老王步行的速度0.05km/min．
【分析】设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，据题意列方程即可得到结论．
【解析】解：设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，
根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，
答：老王步行的速度0.05km/min．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
4．（2020·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．=
B．=
C．=
D．=
【答案】A
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解析】设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
5．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学初二期末）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程( )
A．＝15
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意得：﹣=．故选D．
3）销售问题
满分技巧：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价
利润率=
1．（2020·湖南澧县·月考）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的进价是每千克多少元；
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元.
【答案】（1）6元；（2）盈利388元.
【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果，第二次购水果，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案．（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计即可回答问题．
【解析】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得：，解得：x=6．经检验，x=6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
（2）第一次购水果1200÷6=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），
第一次盈利为200×（8﹣6）=400（元），
第二次盈利为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元），
∴两次共赚钱400﹣12=388（元）．
答：该老板两次卖水果总体上是盈利了，共赚了388元．
2．（2019·全国初一课时练习）某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用12000元购书若干本，并把该书按定价7元/本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本.
（1）求第一次购书的进价是多少元一本？第二次购进多少本书？
（2）若第二次购进书后，仍按原定价7元/本售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利100m元（n、m为正整数），求相应的n、m的值.
【答案】（1）第一次购书的进价为5元/本，且第二次买了2500本；（2）当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18.
【分析】（1）设第一次购书的进价为x元/本，根据“第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本”列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据题意列出关于m与n的方程，由m与n为正整数，且n的范围确定出m与n的值即可．
【解析】（1）设第一次购书的进价为x元/本，
根据题意得：，解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解，且符合题意，∴15000÷（5×1.2）=2500（本），
则第一次购书的进价为5元/本，且第二次买了2500本；
（2）第二次购书的进价为5×1.2=6（元），
根据题意得：2000×（7-6）+（2500-2000）×（-6）=100m，
整理得：7n=2m+20，即2m=7n-20，∴m=，
∵m，n为正整数，且1≤n≤9，∴当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
3．（2020·浙江长兴·初二开学考试）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？
(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）第一批购进书包的单价为80元（2）商店共盈利1350元
分析：（1）设第一批购进书包的单价为x元，则可以表示出第二批书包的单价为（x+4）元；
根据购进第一批和第二批书包的成本，可分别表示出购进第一批与第二批书包的数量；
利用等量关系“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答即可，注意分式方程要验根；
（2）用每批书的数量乘以每本书的利润，再把两批书的利润相加.
【解析】
(1)
设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得,
整理,得20(x+4)=21x,
解得x=80.
检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解.
答:第一批购进书包的单价为80元.
(2)
=300+1050=1350
答:商店共盈利1350元.
点睛：列分式方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系，列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案.本题第（1）问，即是根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答的.
4．（2020·重庆巴蜀中学初三期末）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.
（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
【答案】（1）购入种原料每千克的价格最高不超过10元；（2）这种产品的批发价为50元．
【分析】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x＋10）元，根据使每件产品的成本价不超过34元列出不等式求解即可；（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a＋30）元，根据“用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出分式方程即可.
【解析】（1）设种原料每千克的价格为元，则种原料每千克的价格为元，
根据题意得：，解得：．
答：购入种原料每千克的价格最高不超过10元．
（2）设这种产品的批发价为元，则零售价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为50元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.
5．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学初二期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【答案】（1）1.8元；2.5元
（2）2000个
【分析】（1）设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，根据用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍列出方程，解方程即可．
（2）先设B种品牌口罩购进m件，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据全部出售后所获利润不低于3000元列出不等式，求解即可．
【解析】（1）设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，依题意得：
解得x=1.8，经检验x=1.8是原方程的解，x+1.8=2.5（元），
答：A种品牌的口罩每个的进价为1.8元，B种品牌的口罩每个的进价为2.5元．
（2）设购进B种品牌的口罩m个，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据题意得，
（2-1.8）（6000-m）+（3-2.5）m≥1800，解得m≥2000，
∵m为整数，∴m的最小值为2000．
答：最少购进种B品牌的口罩2000个．
【点睛】考查了分式方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意，表示出A、B两种品牌的口罩每个进价，根据购进的口罩的数量关系列出分式方程．
4）方案问题
满分技巧：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。
1．（2020·江西寻乌·初二期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟
（1）由此估算这段路长约____千米；
（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
【答案】（1）3；（2）7.5
【分析】（1）利用路程=速度×时间可求出这条路的长度；（2）设原计划每a米种一棵树，则现设计每2a米种一棵树，根据需种树的棵数=路的长度÷树间距结合现设计的每一侧都减少400棵树，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】（1）这段路长约60（千米）．故答案为：3．
（2）设原计划每a米种一棵树，则现设计每2a米种一棵树，依题意，得：
由愿意可得，解方程得，
经检验，满足方程且符合题意．答：的值是．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．注意单位的统一．
2．（2019·安徽铜陵·初二期末）某项工程由甲乙两队分别单独完成，则甲队用时是乙队的1.5倍：若甲乙两队合作，则需12天完成，请问：（1）甲，乙两队单独完成各需多少天；（2）若施工方案是甲队先单独施工天，剩下工程甲乙两队合作完成，若甲队施工费用为每天1.5万元，乙队施工费为每天3.5万元求施工总费用（万元）关于施工时间（天）的函数关系式（3）在（2）的方案下，若施工期定为15~18天内完成（含15和18天），如何安排施工方案使费用最少，最少费用为多少万元？
【答案】（1）甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；（2）y=0.5x+60;（3）甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元
【分析】（1）设乙队单独完成需a天，则甲队单独完成需1.5a天，根据题意列出方程即可求解；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，根据题意得到w与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式；（3）根据施工期定为15~18天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值.
【解析】（1）设乙队单独完成需a天，则甲队单独完成需1.5a天，根据题意列：，
解得，a=20，经检验：a=20是所列方程的根，且符合题意，所以1.5a=30，
答：甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，依题意得，
解得，w=x+12∴y=1.5x+（1.5+3.5）（x+12）=-0.5x+60；
（3）由题可得15≤xx+12≤18，解得5≤x≤10，
∵y=-0.5x+60中k<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=10时，y最小=-0.5×10+60=55，
此时，甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元.
【点睛】此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键．
3．（2020·长沙市中雅培粹学校初二月考）雅礼集团某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息)
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：
③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：(1)学校规定的期限是多少天？(2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【答案】（1）12
（2）选择方案③最节省工程款，理由见解析
【分析】（1）设该工程的规定时间为x天，根据题意列出方程求解即可．（2）根据已知算出各方案的价钱，再根据题意进行选择．
【解析】（1）设该工程的规定时间为x天，则甲队需要天，乙队需要天完成，由题意得
解得经检验，是方程的根
答：学校规定的期限是12天．
（2）选择方案③最节省工程款
由于不耽误工程，故方案②舍去，只能选择方案①和方案③
方案①：总费用（万元）
方案③：总费用（万元）
∵∴选择方案③最节省工程款．
【点睛】本题考查了分式方程的工程问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
4．（2020·河南渑池·初一期末）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．
（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？
（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆
①请计算方案的费用；
②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
【答案】（1）45座的客车每辆每天的租金为200元，
60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）①方案1的费用为1200元，方案2的费用为1200元；②有，方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆
【分析】（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，根据题意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金=一天的租金为1600元；根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的费用；
②方案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用=1100元，即可得出结论．
【解析】解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，
则：2（x+100）+5x=1600，解得：x=200，∴x+100=300，
答：45座的客车每辆每天的租金为200元，
60座的客车每辆每天的租金为300元；
（2）设参会人员为y人，由题意得：，解得：y=240，
①方案1的费用：（240+30）÷45×200=1200（元），方案2的费用：240÷60×300=1200（元），
②有方案3：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下：
共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，
费用：4×200+300=1100（元）＜1200元，∴最终租车方案：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键．
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精品试卷·第
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专题08
分式方程与应用
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·广西兴宾·初二期中）下列各式中是分式方程的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的有理方程是分式方程，依据定义可得答案．
【解析】解：A是分式，不是分式方程，故错误，B是二元二次方程，不是分式方程，故错误，
C是分式方程，故正确，D是一元一次方程，故错误，故选C．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题关键．
2．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把分式方程去分母转化整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：4×2x=3（x-5），
去括号得：8x=3x-15，
移项、合并同类项得：5x=-15，
解得：x=-3，
经检验：x=-3是原分式方程的解，故选：D．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
3．（2020·晋州市第三中学月考）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【答案】B
【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得：＝；故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．（2020·晋州市第三中学月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值，如Max(2，4)=4，按照这个规定，方程Max(
，
)=1-
的解是(
)
A．x=4
B．x=5
C．x=4或x=5
D．无实数解
【答案】B
【分析】抓住已知条件：规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值．分情况讨论：当Max(，)=时；当Max(，)=时，分别建立关于x的方程，解方程求出x的值，检验可得方程的解．
【解析】解：当Max(，)=时，，
解之：x=4，经检验x=4时方程的解，此时，故不符合题意；
当Max(，)=时，，解之：x=5，经检验x=5时方程的解，此时，符合题意；
∴
方程Max(，)=1-
的解是x=5．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，以及分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
5．（2020·江苏盐城市·八年级期中）若关于x的分式方程=2有增根，则增根是( )
A．x=0
B．x=1
C．x=2
D．x=3
【答案】B
【分析】利用分式方程增根的定义直接得到答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程=2有增根∴x﹣1=0，即x=1，所以增根为x=1．故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根的含义，掌握分式方程的增根的含义是解题的关键．
6．（2020·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【解析】解：由得x=
∵分式方程无解
∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
7．（2021·江苏九年级专题练习）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出解，由解为正数确定出m的范围即可．
【详解】去分母得：m-1=2x-2，解得：x=，
由方程的解为正数，得到＞0，且≠1，解得：且，
故答案为：且
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，∴当a＝﹣1时，x＝-1；当a＝1时，x＝-2；当a＝2时，x＝-4；
当a＝4时，x＝4；当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；当a＝7时，x＝1；
故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2021·河北石家庄市·九年级一模）是方程的解，a的值为_______．
【答案】-5
【分析】将x=-1代入方程求出a的值即可．
【详解】解：将x=-1代入方程得
解得a=-5．故答案为：-5．
【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，正确理解分式方程的解得含义是解答本题的关键．
10．（2021·江苏扬州市·八年级期末）若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是_____．
【答案】且
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2021·江苏九年级专题练习）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab=．例如：52==.若4x=－3，=________．
【答案】
【分析】先根据新定义的运算得到分式方程，然后根据解分式方程的方法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
去分母得：，
移项并合并同类项得：，
解得：，经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是根据新定义的运算得到分式方程．
12．（2021·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
【答案】．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值，检验是否符合题意即可．
【详解】分式方程的最简公分母为x(x﹣2)，
去分母得：，
令，得或，
把代入得：整式方程无解，即分式方程无解；把代入得：，
综上，分式方程的增根为．故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的增根的确定方法，确定增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，检验是否符合题意，将不合题意的舍去．
13．（2020·湖北曾都·初二期末）若关于x的分式方程+
=
2m无解，则m的值为___________
【答案】或1
【分析】方程无解分两种情况：①方程的根是增根②去分母后的整式方程无解，去分母后分情况讨论即可.
【解析】①去分母得：x-4m=2m（x-4）若方程的根是增根，则增根为x=4
把x=4代入得：4-4m=0
解得：m=1
②去分母得：x-4m=2m（x-4）
整理得：（2m-1）x=4m
∵方程无解，故2m-1=0
解得：m=
∴m的值为或1
故答案为：或1
【点睛】本题考查的是分式方程的无解问题，注意无解的两种情况是解答的关键.
14．（2020·江苏苏州市·八年级期中）已知关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围_____________．
【答案】且
【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+20，求解即可得到答案．
【详解】解：
a+2=x+1
x=a+1，
∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+20，解得a<-1，且a-2，
故答案为：且．
【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．
15．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模）若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________．
【答案】0或3
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x-2），把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得，x-4=-kx，整理得，（1+k）x=4，所以，
∵分式方程有正整数解，k是整数，∴1+k=1或1+k=2或1+k=4，解得k=0或k=1或k=3，
检验：当k=0时，x=4，此时x-2≠0，符合题意；当k=1时，x=2，此时x-2=0，不合题意，舍去；
当k=3时，x=1，此时x-2≠0，符合题意；所以k=0或3．故答案为：0或3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义．
16．（2020·重庆南岸·一模）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是_____米．
【答案】1500
【分析】甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“刚好在事先预计的时间到达该小区”，结合函数图象列出方程，可以分别求得甲乙的速度和甲到达公司的时间，进而求得甲到小区时，乙距公司的路程．
【解析】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为：＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000××（12﹣9）＝1500（m），故答案为：1500．
【点睛】本题考查了函数图像的识别，分式方程，根据题目中的等量关系列出正确的方程是本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）无解；（2）x=1
【分析】根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可．
【详解】解：（1）
方程两边同时乘以，得
，
解得 ，
检验：当时，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程无解；
（2）
方程两边同时乘以，得
，
解得 x=1，
检验：当x=1时，，
∴分式方程的解是x=1．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的一般步骤是去分母化为整式方程，解整式方程，对整式方程的解进行检验，确定最简公分母是解题关键．
18．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度．
【答案】老王步行的速度0.05km/min．
【分析】设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，据题意列方程即可得到结论．
【解析】解：设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，
根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，
答：老王步行的速度0.05km/min．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
19．（2020·山西忻州·初二期末）阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：
（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是
；
（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；
（3）解方程
【答案】（1）x=2；（2）见解析；（3）无解
【分析】(1)由题意直接看出即可.(2)找到最简公分母,判断最简公分母的范围即可.(3)利用分式方程的运算方法解出即可.
【解析】（1）
（2）∵原分式方程的最简公分母为，而∴解这个分式方程不会产生增根.
（3）方程两边同乘，得
解得：
经检验：当时，所以，原分式方程无解.
【点睛】本题考查分式方程的增根,关键在于理解增根的意义.
20．（2020·山西期末）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至处时，与鹿所在的处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着追去，追了50步至处与鹿所在的位置处还差10步（点、、在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
【答案】如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【分析】先求出BC的长,
设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追步才能追上此鹿,根据单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，列方程求解即可.
【解析】解：由题意可知，步，步，步，且．
由勾股定理，得．
设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追步才能追上此鹿．
根据题意，列方程，得．解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【点睛】此题考查分式方程的应用，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验．
21．（2020·湖南澧县·月考）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
【答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品
【解析】解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
根据题意得，，解得x=40．
经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意．1.5x=1.5×40=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．
设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可．
22．（2020·广西初三其他）荔枝是某地的特色时令水果．荔枝一上市，水果店的老板用2400元购进一批荔枝，很快售完：老板又用3700元购进第二批荔枝，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批荔枝每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批荔枝，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批荔枝的销售利润不少于530元，剩余的荔枝每件售价至少打几折？
【答案】（1）180元；（2）至少打7折
【分析】(1)设第一批荔枝每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批荔枝所购件数是第一批的倍，列方程解答；(2)设剩余的仙桃每件售价y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于530元，可列不等式求解．
【解析】解：(1)设第一批荔枝每件进价x元，则，
解得
x＝180，
经检验，x＝180是原方程的根，
答：第一批荔枝每件进价为180元；
(2)设剩余的荔枝每件售价打y折，
由题意知：
解得
y≥7，
答：剩余的荔枝每件售价至少打7折．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
23．（2020·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：
超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
【答案】（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析
【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球个，在A超市可买篮球个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.
【解析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得，解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；
（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，
单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，
在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，
单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买100个，
根据A超市的方案可知在A超市一次购买：=44，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，
综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
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专题08
分式方程与应用
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·广西兴宾·初二期中）下列各式中是分式方程的是( )
A．
B．
C．
D．
2．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·晋州市第三中学月考）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
4．（2020·晋州市第三中学月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值，如Max(2，4)=4，按照这个规定，方程Max(
，
)=1-
的解是(
)
A．x=4
B．x=5
C．x=4或x=5
D．无实数解
5．（2020·江苏盐城市·八年级期中）若关于x的分式方程=2有增根，则增根是( )
A．x=0
B．x=1
C．x=2
D．x=3
6．（2020·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或或
7．（2021·江苏九年级专题练习）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
8．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7
B．11
C．12
D．13
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2021·河北石家庄市·九年级一模）是方程的解，a的值为_______．
10．（2021·江苏扬州市·八年级期末）若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是_____．
11．（2021·江苏九年级专题练习）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab=．例如：52==.若4x=－3，=________．
12．（2021·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
13．（2020·湖北曾都·初二期末）若关于x的分式方程+
=
2m无解，则m的值为___________
14．（2020·江苏苏州市·八年级期中）已知关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围_____________．
15．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模）若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________．
16．（2020·重庆南岸·一模）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是_____米．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）解分式方程：
（1）
（2）
18．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度．
19．（2020·山西忻州·初二期末）阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：
（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是
；
（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；
（3）解方程
20．（2020·山西期末）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至处时，与鹿所在的处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着追去，追了50步至处与鹿所在的位置处还差10步（点、、在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
21．（2020·湖南澧县·月考）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
22．（2020·广西初三其他）荔枝是某地的特色时令水果．荔枝一上市，水果店的老板用2400元购进一批荔枝，很快售完：老板又用3700元购进第二批荔枝，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批荔枝每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批荔枝，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批荔枝的销售利润不少于530元，剩余的荔枝每件售价至少打几折？
23．（2020·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：
超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
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专题08
分式方程与应用
知识点精讲
知识点1分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
1．（2020·无锡市第一女子中学八年级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
知识点2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
1．（2021·河北石家庄市·九年级一模）是方程的解，a的值为_______．
2．（2021·新兴县环城中学九年级期中）解分式方程时，去分母正确的是（
）
A．x（x-1）=1-2x-1
B．x（x-1）=1-（2x-1）
C．x（x-1）=x2-1-2x-1
D．x（x-1）=
x2-1-（2x-1）
3．（2021·江苏九年级专题练习）对于两个不相等的实数a?b，我们规定符号表示a?b中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为（ ）
A．1
B．
C．1或
D．或
4．（2021·江苏扬州市·八年级期末）（1）化简分式：；
（2）判断方程是否有解？_____（填“是”或“否”）
5．（2021·盐城市初级中学八年级期末）解方程：
（1）
（2）
知识点3
增根（无解）
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
1．（2021·浙江八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值为（
）
A．2
B．1
C．0
D．
2．（2020·山西忻州·初二期末）阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：
（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是
；
（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；
（3）解方程
3．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知关于的方程无解，则k的值为________．
4．（2021·江苏扬州市·八年级期末）若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是_____．
5．（2021·江西宜春市·八年级期末）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
6．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模）若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________．
知识点4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
1．（2020·湖北嘉鱼·期末）我县正准备实施的某项工程接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙工程队施工一天的工程费用分别为2万元和1.5万元，县招投标中心根据甲、乙两工程队的投标书测算，应有三种施工方案：
方案一：甲队单独做这项工程刚好如期完成；
方案二：乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天；
方案三：若甲、乙两队合做4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
根据以上方案提供的信息，在确保工期不耽误的情况下，你认为哪种方案最节省工程费用，通过计算说明理由．
2．（2020·贵州铜仁伟才学校初二月考）2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
3．（2020·海东市教育研究室初二期末）枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二批枇杷，所购箱数是第一批的倍，但进价比第一批每箱多了5元．（1）求第一批枇杷的每箱进价．（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？
4．（2020·舞钢市教育局普通教育研究室期末）“十一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往“红螺寺”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费，原参加游玩的同学为x人，则可得方程（
）
A．-=3
B．-=3;
C．-=3
D．-=3
5．（2020·山西期末）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至处时，与鹿所在的处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着追去，追了50步至处与鹿所在的位置处还差10步（点、、在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
重难点题型
考点1分式方程识别
1．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）下列方程中哪些是可以化为一元二次方程的分式方程（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国八年级课时练习）下列关于的方程中，是分式方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·全国九年级专题练习）在方程中，分式方程有______个．
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（
）A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
考点2解分式方程
满分技巧：分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
③解整式方程；④验根．
1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）解分式方程：．
2．（2020·江苏鼓楼·期末）解方程：
（1）；
（2）
3．（2020·江苏南通市·八年级月考）解方程：
（1）；
（2）
．
4．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）解分式方程：
（1）
（2）．
5．（2020·南通市启秀中学八年级月考）解方程：
（1）
（2）
考点3
分式方程含参问题（一）有增根
满分技巧：方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
1．（2021·江苏九年级专题练习）方程的增根为（
）
A．1
B．1和
C．
D．0
2．（2020·湖南澧县·月考）若解分式方程产生增根，则m的值为（
）
A．1
B．-4
C．-5
D．-3
3．（2020·江苏清江浦·淮安六中初二期中）若分式方程＝2+有增根，则a的值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
4．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____．
5．（2020·山东昌乐·初二期末）若解关于的方程时产生增根，那么的值为(
)
A．1
B．2
C．0
D．-1
考点4
分式方程含参问题（二）无解
满分技巧：当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
1．（2020·浙江杭州·初一期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2或﹣3
B．0或3
C．﹣3或3
D．﹣3或0
2．（2020·江苏洪泽·期末）若关于的方程无解，则__________．
3．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
4．（2020·江苏南通市·八年级月考）若关于x的分式方程无解，则m
=______．
5．（2020·南通市八一中学八年级月考）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值；
考点5分式方程含参问题（三）解为正或负数等
满分技巧：（1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围；
（2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围
1．（2021·江苏九年级专题练习）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24
B．15
C．12
D．7
2．（2020·江苏宿迁市·八年级期末）若关于x的方程＝的解为正数，则m的取值范围是_____．
3．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________．
4．（2020·扬州市梅岭中学八年级月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是_________
5．（2020·南通市八一中学八年级月考）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为___________．
考点6分式方程含参问题（四）整数解问题
1．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7
B．11
C．12
D．13
2．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模）若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________．
3．（2021·江苏九年级专题练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（
）
A．8
B．10
C．16
D．18
4.（2020?九龙坡区校级月考）已知关于x的分式方程1＝0有整数解，且关于x的不等式组的解集为x≤﹣1，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
考点7
列分式方程解应用题
1）工程问题
满分技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
1．（2020·晋州市第三中学月考）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2．（2020·长春吉大附中力旺实验中学月考）今年新冠肺炎疫情在全球肆虐，为降低病亡率，某工厂平均每天比原计划多生产10台呼吸机，现在生产120台呼吸机的时间与原计划生产90台呼吸机所需时间相同．求该工厂原来平均每天生产多少台呼吸机？
3．（2020·禹城市龙泽实验学校期末）列方程解应用题：为满足居民住房需求，某市政府计划购买180套小户型二手住房，重新装修后作为廉租住房提供给住房困难的家庭．现有甲、乙两家公司都具备装修能力，政府派出相关人员分别到这两家公司了解情况，获得如下信息：信息一：甲公司单独完成这批装修任务比乙公司单独完成这批装修任务多15天；信息二：乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两家公司单独完成这批装修任务分别需要多少天？
4．（2020·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．
（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷
顶；
（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
5．（2020·晋州市第三中学月考）全国在抗击新冠肺炎疫情期间，甲乙两家公司共同参与一项建造有1800个床位的方舱医院的工程，已知甲乙两家公司，每小时建造床位的数量之比为3：2，并且甲公司单独完成此项工程，比乙公司单独完成此项工程要少用20小时．（1）分别求甲乙两家公司每小时改建床位的数量？
（2）甲乙两家公司合作完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司工作时间的1/2，求乙公司至少工作多少小时？
2）行程问题
满分技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程
追击问题：（快－慢）×时间=距离
1．（2020·禹城市龙泽实验学校期末）2013年9月，北京到大连的高铁开通运营，高铁列车的运行时间比原动车组的运行时间还要快2小时，已知北京到大连的铁路长约为910千米，原动车组列车的平均速度为千米/时，高铁列车的平均速度比原动车组列车增加了52千米/时．依题意，下面所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·竹溪县实验中学其他）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米/小时，则所列方程正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度．
4．（2020·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．=
B．=
C．=
D．=
5．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学初二期末）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程( )
A．＝15
B．
C．
D．
3）销售问题
满分技巧：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价
利润率=
1．（2020·湖南澧县·月考）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的进价是每千克多少元；（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元.
2．（2019·全国初一课时练习）某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用12000元购书若干本，并把该书按定价7元/本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本.
（1）求第一次购书的进价是多少元一本？第二次购进多少本书？
（2）若第二次购进书后，仍按原定价7元/本售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利100m元（n、m为正整数），求相应的n、m的值.
3．（2020·浙江长兴·初二开学考试）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？
(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
4．（2020·重庆巴蜀中学初三期末）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.
（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
5．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学初二期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
4）方案问题
满分技巧：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。
1．（2020·江西寻乌·初二期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟
（1）由此估算这段路长约____千米；
（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
2．（2019·安徽铜陵·初二期末）某项工程由甲乙两队分别单独完成，则甲队用时是乙队的1.5倍：若甲乙两队合作，则需12天完成，请问：（1）甲，乙两队单独完成各需多少天；（2）若施工方案是甲队先单独施工天，剩下工程甲乙两队合作完成，若甲队施工费用为每天1.5万元，乙队施工费为每天3.5万元求施工总费用（万元）关于施工时间（天）的函数关系式（3）在（2）的方案下，若施工期定为15~18天内完成（含15和18天），如何安排施工方案使费用最少，最少费用为多少万元？
3．（2020·长沙市中雅培粹学校初二月考）雅礼集团某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息)
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：
③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：(1)学校规定的期限是多少天？(2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
4．（2020·河南渑池·初一期末）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？
（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆①请计算方案的费用；
②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
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精品试卷·第
2
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