21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件-人教版九年级数学上册（28张）

(共28张PPT)
21.2.4
解一元二次方程的
根与系数的关系
九年级上册
学习目标
1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数。
3、能根据方程求代数式的值。
学习重难点
重点
难点
掌握一元二次方程根与系数的关系，并会运用。
掌握一元二次方程根与系数的关系，并会运用。
思考
根与系数有什么关系？
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,
)的求根公式
是________________________________.
2、方程x(x+3)=0的根是_______________。
3、方程2(x+1)2=x+1的根是_________________。
x1=0,x2=-3
x1=-1,x2=
回顾
1.填表，观察、猜想
方程
x1,,
x2
x1,+
x2
x1.
x2
x2-2x+1=0
x2+3x-10=0
x2+5x
+4=0
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②
x2+px+q=0的两根x1,
x2用式子表示你发现的规律。
猜想
1.填表，观察、猜想
方程
x1,,
x2
x1,+
x2
x1.
x2
x2-2x+1=0
1,1
2
1
x2+3x-10=0
2,-5
-3
-10
x2+5x
+4=0
-1,-4
-5
4
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②
x2+px+q=0的两根x1,,
x2用式子表示你发现的规律。
规律
如果关于x的方程
的两根是x1,
x2,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
根与系数的关系
方
程
x1,,
x2
x1,+
x2
x1.
x2
2x2-3x-2=0
3x2-4x+1=0
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
②
ax2+bx+c=0的两根x1,,
x2用式子表示你发现的规律：
规律
一元二次方程根与系数关系的证明：
x1+x2=
+
=
=
-
x1x2=
●
=
=
=
证明
一元二次方程的根与系数的关系
：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1
,
x2
,
那么x1+x2=
,
x1x2=
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
韦达定理
1.据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积.
x2-6x-15＝0
针对训练
解：a=1，b=-6，c=
-15
∴
x1+x2=
=_____,
x1·x2
=
=_____
6
-15
2.据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积.
3x2＋7x-9＝0
针对训练
解：a=____，b=____，c=____
x1+x2=_____，
x1·x2=______
3
7
-9
-3
例1
已知3x2+2x-9=0的两根是x1，x2。求：
(1)
(2)
x12+x22
解：
由题意可知x1+x2=
,
x1·x2=-3
(1)
=
(2)∵
(x1＋x2)2＝
x12+x22
＋2x1x2
∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x1x2
例题
例2
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,
求它的另一个根及k的值。
解：
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得k=-2
由根与系数关系，得x1●2＝3k
即
2x1＝－6
∴x1＝－3
答：方程的另一个根是－3,
k的值是－2。
例题
1.若关于
x
的方程x2
－2x＋c＝0有一个根为－1，则另一根为(　　)
A．－1
B．－3
C．1
D．3
D
课堂练习
2.已知等腰三角形三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)
A．34　　　
B．30　　　C．30或34　　　
D．30或36
A
3.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(　　)
A．－1或　　
B．－1　　
C.　
　
D．不存在
C
课堂练习
4.已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值为________．
23
5.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
课堂练习
解：(1)将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得:1+a+a-2=0，
解得，a=；方程为x2+x=0，即2x2+x-3=0，
设另一根为x1，则1?x1=－x1=－
(2)∵△=a2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
1．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　)
A．3
B．1
C．－1
D．－3
B
拓展提高
2．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A．x2－3x＋2＝0
B．x2＋3x－2＝0
C．x2＋3x＋2＝0
D．x2－3x－2＝0
A
C
拓展提高
4.若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为(　　)
A．－13
B．12
C．14
D．15
B
5．若方程x2－2x－4＝0的两个实数根为α，β，则α2＋β2的值为(　　)
A．12
B．10
C．4
D．－4
A
5.
已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　)
A．7
B．11
C．12
D．16
D
拓展提高
6．关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，则k的值为(　　)
A．0或2
B．－2或2
C．－2
D．2
D
7．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
拓展提高
(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．
解：∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2k＋1＝3，
解得k＝1，
∴原方程为x2－3x＋2＝0，
∴x1＝1，x2＝2.
拓展提高
8．已知关于x的方程kx2－3x＋1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
拓展提高
(2)若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1＋x2＋x1x2＝4时，求k的值．
拓展提高
总结
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c的关系：
2.用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及未知系数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项
(2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积
求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数．
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
课后作业
再
见