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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第二单元
等式与不等式
第10课
一元二次方程的解集及其根与系数的关系课时同步练（解析）
一、基础巩固
1．下列一元二次方程的解集为空集的是( )
A．x2＋2x＋1＝0
B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0
D．x2－2x－1＝0
【答案】B
【解析】A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；
B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；
C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；
D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B.
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
【答案】D
【解析】A.2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C.x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．故选D.
3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是( )
A．只有一个元素
B．有两个元素
C．为空集
D．不能确定有几个元素
【答案】A
【解析】∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A.
4．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则＋的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
【答案】C
【解析】由题知α＋β＝－，αβ＝－3，
所以＋＝＝－.
5．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是( )
A．2
B．－1
C．2或－1
D．不存在
【答案】A
【解析】由题知
解得m>－1且m≠0.
因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＋＝＝＝4m，
所以m＝2或－1.
因为m>－1，所以m＝2.
6.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.
【答案】－3
【解析】由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.
7．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．
【答案】－1
【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.
8．一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
【答案】－7或
【解析】x2－2x－＝0，
移项得x2－2x＝，
配方得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝，
开方得x－1＝±，
解得x1＝，x2＝－.
①把x＝代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得2－(k＋2)＋＝0，
解得k＝.
②把x＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得2＋(k＋2)＋＝0，
解得k＝－7.
当k＝或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，
综上所述，k的值为－7或.
二、拓展提升
9．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0
D．x2－7x－12＝0
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－，x1x2＝即可判断A正确，故选A.
10．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
【答案】{－1,3}
【解析】把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.
∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．
11．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.
解得：y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.
(2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．
【答案】（1）x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3
；（2）x＋＝4
【解析】 (1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.
(2)设x＋＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得：y＝－1或y＝4，
即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4，
故x＋＝4.
12．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值．
【答案】（1）k＝－；（2）k＝－2或k＝－3或k＝－5
【解析】Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k(k≠0)，Δ≥0，k<0(因为k≠0)，
(1)存在，x1＋x2＝1，x1x2＝，由(2x1－x2)(x1－2x2)＝得：2(x1＋x2)2－9x1x2＝.
2－9×＝，所以k＝－.
(2)eq
\f(x＋x,x1x2)－2＝－2＝－4＝－4＝－.因为－的值为整数，
所以k＋1＝±1，k＋1＝±2，k＋1＝±4，
所以k＝0或k＝－2或k＝1或k＝－3或k＝3或k＝－5，
因为k<0，所以k＝－2或k＝－3或k＝－5.
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第二单元
等式与不等式
第10课
一元二次方程的解集及其根与系数的关系课时同步练（原题）
一、基础巩固
1．下列一元二次方程的解集为空集的是( )
A．x2＋2x＋1＝0
B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0
D．x2－2x－1＝0
B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；
C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；
D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B.
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是( )
A．只有一个元素
B．有两个元素
C．为空集
D．不能确定有几个元素
4．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则＋的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
5．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是( )
A．2
B．－1
C．2或－1
D．不存在
6.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.
7．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．
8．一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
二、拓展提升
9．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0
D．x2－7x－12＝0
10．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
11．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.
12．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值．
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