第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
【必备知识·自主学习】
导思
1.什么是空间向量？怎样表示空间向量？2．什么是共线向量？相等向量？相反向量？3．怎样进行空间向量的加、减和数乘运算？这些运算满足
哪些运算律？4．三个向量共面的条件是什么？
1.空间向量的概念
(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量：
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫做单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？
提示：没有区别．
3．向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
4．直线的方向向量
若非零向量a在直线l上，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
5．共面向量
(1)定义：
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)充要条件：
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
若对任意一点O和不共线的三点A，B，C，且＝x＋y＋z
，则x＋y＋z＝1是四点P，A，B，C共面的充要条件吗？为什么？
提示：是．因为P，A，B，C共面的充要条件是存在m，n使＝m＋n，即－＝m(－)＋n(－)?
＝(1－m－n)
＋m＋n.令x＝1－m－n，y＝m，z＝n.
则＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( )
(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( )
(3)
若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )
(4)空间中方向相反的两个向量是相反向量．( )
(5)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件．( )
提示：(1)√.相等向量，起点相同，终点必相同．
(2)×.向量有公共终点，但起点不同，就可能不是共线向量．
(3)×.空间的所有向量都是自由的，可以平行移动，空间中的任意两个向量一定共面．
(4)×.相反向量不仅要求方向相反，而且模长必须相等．
(5)√.首先A，B，C，D不共线，而＝，说明AB与CD平行且相等，于是四边形ABCD是平行四边形，反之亦成立，故为充要条件．
2．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】选C.与向量相等的向量有，，共3个．
3．空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.利用向量运算法则即可得出，＋－＝＋＋＝＋＝.
【关键能力·合作学习】
类型一 空间向量的概念(数学抽象)
1.给出以下结论：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD?A1B1C1D1中必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，下列四对向量：
①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．4
B．3
C．2
D．1
3．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】1.选B.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．
2．选C.对于①与，③与中的两向量，长度相等，方向相反，均为互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
3．选A.①中b＝0时，则a与c不一定共线；②中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；③中，当b＝0，a≠0时λ不存在，故①②③均错．
空间向量与平面向量的一致性
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．
【补偿训练】
如图，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量．
③试写出与向量相等的所有向量(除它自身之外).
④试写出向量的所有相反向量．
【解析】①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.
④向量的所有相反向量有，，，.
类型二 空间向量的线性运算(直观想象，数学运算)
【典例】在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝.
【思路导引】将式子左边的向量都用从A点出发的向量代替，最后转化为对角线上的向量．
【证明】因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以＝＋，＝＋，＝＋，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋).又因为＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝＋＝.
所以＋＋＝2.
运用法则进行向量的线性运算时注意的关键要素
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；
(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；
(3)平行四边形法则：“起点重合”；
(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则＋(＋)等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.＋(＋)＝＋＋＝＋＋＝.
2．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是( )
①－；②＋；
③－－；④．
A．①④
B．②③
C．③④
D．①②
【解析】选D.①－＝－＝；
②＋＝；
③－－＝－＝－；
④＝＋．
类型三 空间向量的共面(数学运算，逻辑推理)
角度1 向量共线
【典例】已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【思路导引】观察已知三个向量中a与b的系数，通过加减获得能够成倍数关系的向量．
【解析】选A.＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以＝3，又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．
将条件中向量改为＝a＋kb，其他不变，增加条件“且A，C，D三点共线”，则实数k＝________．
【解析】＝＋＋＝(a＋kb)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋(k＋4)b，
设＝λ，则3a＋(k＋4)b＝λ(7a－2b)，
所以解得k＝－.
答案：－
角度2
向量共面
【典例】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面．
【思路导引】可通过证明＝x＋y.
【证明】因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
证明空间向量共面的方法
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)，使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
1．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．
【解析】＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2，
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以解得k＝1.
答案：1
2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
【解析】设p＝xm＋yn，
即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
课堂检测·素养达标
1．如图所示，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
【解析】选D.根据题意可知，与，与为相反向量，与只是模相等，与是相等向量．
2．如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2，给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0.
其中正确结论的个数是( )
A．0
B．2
C．1
D．3
【解析】选C.因为－＋－＝＋＝＋＝0.故③正确，同理可得①②不正确．
3．在平行六面体ABCD?EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A．
B．
C．
D．1
【解析】选C.＝＋＋，则x＝1，
y＝－，z＝，则x＋y＋z＝.
4．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
【解析】因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，
所以(k－1)＋－k＝0.又λ＋m＋n＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.
答案：0
5．空间中把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．
【解析】单位向量的长度都相等，起点移到同一点，则终点在以单位向量的长度为半径的球面上．
答案：球面
PAGE1.1.2 空间向量的数量积运算
【必备知识·自主学习】
导思
1.什么是空间向量的夹角？什么是空间向量的数量积？2．空间向量的数量积运算有哪些性质？遵循哪些运算律？
1.空间向量的夹角
(1)夹角的定义：
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围：
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
零向量与其他向量之间有夹角吗？
提示：零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都共线，
即0∥a.
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(3)空间两向量的数量积的性质：
数量积运算满足结合律、消去律吗？
提示：数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·c
b＝c.
3．投影向量：在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈－a，－b〉相等．( )
(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )
(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( )
提示：(1)×.与互为相反向量，所以向量与的夹角和向量与的夹角互补．
(2)×.a·b＝0，a与b都可能是零向量，也可能是a与b都不是零向量，但a与b垂直．
(3)√.a与－a，b与－b分别互为相反向量，所以〈a，b〉与〈－a，－b〉相等．
(4)×.由a·b＝b·c，可得(a－c)·b＝0，所以a－c可能为零向量，但也可能a－c不是零向量，而是a－c与b垂直．
(5)×.a与b共线包括a与b同向和反向两种情况，当a与b同向时，a·b＝|a||b|，a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】选B.设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
【解析】选C.·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.
【关键能力·合作学习】
类型一 空间向量的数量积运算(数学运算)
1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12
B．8＋
C．4
D．13
2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)·；(2)·；(3)·．
【解析】1.选D.(2a－b)·a＝2a2－b·a
＝2|a|2－|a||b|·cos
120°＝2×4－2×5×＝13.
2．选A.由题意知p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.
3．如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
空间向量的数量积运算方法
1．已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
2．在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉求解．
【补偿训练】
1.下列命题中正确的有( )
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．
A．①③
B．②③
C．②
D．③
【解析】选D.①此命题不正确，因为p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos
〈p，q〉)2＝|p|2·
|q|2·cos2〈p，q〉，
所以当且仅当p∥q时p2·q2＝(p·q)2.
②此命题不正确，因为|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|
＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
所以当且仅当(p＋q)∥(p－q)时|p2－q2|＝|p＋q|·
|p－q|.
③此命题正确，因为a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·
(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，所以a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直．
2．如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
【解析】选B.2·＝－2a2cos
60°＝－a2，2·＝2·＝
2a2cos
60°＝a2，
2·＝·＝－a2，
2·＝·＝－·＝－a2.
类型二 用数量积证明空间垂直关系(逻辑推理)
【典例】如图，在空间四边形O?ABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
【思路导引】计算与的数量积．
【证明】因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB.又·＝
·(－)＝·－·
＝||·||cos
∠AOC－||·||cos
∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．
已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
【证明】连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
所以·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos
θ－|a|2·cos
θ－|a|2＋|a|2)＝0.
所以⊥，即OG⊥BC.
类型三 用数量积求角与距离(数学运算、直观想象)
角度1 用数量积求角
【典例】已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四边形ABB1A1和BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．
【思路导引】求异面直线BA1与AC所成的角，首先求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．
【解析】如图所示．因为＝＋，＝＋，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋1·.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2.所以·＝－a2.
又·＝·||cos
〈，〉，
所以cos
〈，〉＝＝－.
又因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝120°，又因为异面直线所成的角是锐角或直角，
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.
角度2 用数量积求距离
【典例】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
【思路导引】
【解析】因为∠ACD＝90°，所以·＝0，同理可得·＝0.因为AB与CD成60°角，所以〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos
〈，〉．
所以当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
1．利用向量求异面直线夹角的步骤
2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
1．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________．
【解析】因为＝－，所以·＝·－·
＝||·||·cos
〈，〉－||·||·cos
〈，〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝24－16.
所以cos
〈，〉＝＝＝，所以异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.
答案：
2．正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为( )
A．2
B．
C．
D．
【解析】选C.如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝90°，〈b，c〉＝90°.
又因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋c＋b，所以＝a2＋c2＋b2＋2×＝×4＋4＋×4＋2×＝1＋4＋1－1＝5.
所以||＝.即EF的长为.
【补偿训练】
如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．
【解析】(1)因为＝＋＋＝＋＋，所以＝＝
＝
＝＝.
(2)因为cos＝＝＝
＝
＝－.
所以异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
课堂检测·素养达标
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是( )
A．〈，〉
B．〈，〉
C．〈，〉
D．〈，〉
【解析】选B.〈，〉＝45°，〈，〉＝135°，
〈，〉＝90°，〈，〉＝180°.
2．下列结论中正确的是( )
A．(a·b)·c＝(b·c)·a
B．若a·b＝－|a||b|，则a∥b
C．若a，b，c为非零向量，且a·c＝b·c，则a∥b
D．若a2＝b2，则a＝b
【解析】选B.由a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉得cos
〈a，b〉＝＝－1.又因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°，所以a∥b，B正确．A，C，D显然错误．
3．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于( )
A．－2
B．－1
C．±1
D．2
【解析】选A.a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
4．(教材二次开发：练习改编)如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCD?A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则体对角线AC1的长度是( )
A．
B．2
C．
D．
【解析】选D.＝
＝＝.
5．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为______________
【解析】(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，
即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以cos
〈a，b〉＝＝，
所以〈a，b〉＝60°.
答案：60°
PAGE1.2 空间向量基本定理
必备知识·自主学习
1.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
【思考？】
零向量能不能作为一个基向量？为什么？
提示：不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【思考？】
空间向量的正交分解式是唯一的吗？
提示：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．所以如果选用不同的正交基底，同一向量的正交分解式也会不同．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )
(2)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．( )
(3)若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底．( )
(4)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( )
提示：(1)×.只要三个向量不共面，它们就能作为空间向量的一组基底．
(2)√.{a，b，c}为空间一个基底，就说明a，b，c不共面，所以－a，b，2c也不共面，故它们可以构成空间一个基底．
(3)×.只要a，b，c不共面，即使a⊥b，a，b，c仍然可以构成空间的一个基底．
(4)√.作为空间向量的一个基底的条件是不共面，所以非零向量a，b，c既然不能构成空间的基底，那么a，b，c必定是共面的．
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【解析】选C.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，只有C中的三个向量，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．
3．(教材二次开发：例题改编)在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．－a－b＋c
D．－a＋b＋c
【解析】选D.由于＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c.
关键能力·合作学习
类型一 空间向量基底的条件(数学抽象)
1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是( )
A．
B．
C．
D．或
2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，则{，，}________(填“能”或“不能”)作为空间的一个基底．
【解析】1.选C.因为＝a－b且a，b不共线，所以a，b，共面，所以与a，b不能构成一个空间基底．
2．选C.如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝．
由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．
3．设＝x＋y，则e1＋2e2－e3
＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
所以此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以，，不共面．所以{，，}能作为空间的一个基底．
答案：能
空间向量构成基底的基本思路与判断方法
1.基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
2．判断方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μ
c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
【补偿训练】
若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(O为空间中不同于M，A，B，C的一点)( )
A．＝＋＋
B．＝＋
C．＝＋＋
D．＝2－
【解析】选C.对于选项A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面，即，，共面；对于B，D选项，易知，，共面，故只有选项C中，，不共面．
类型二 用基底表示向量(直观想象)
【典例】如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)
；
(3)＋．
【思路导引】先利用分拆向量表示，再替换为指定向量．
【解析】(1)因为P是C1D1的中点，
所以＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为N是BC的中点，
所以＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)因为M是AA1的中点，
所以＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝＋
＝a＋b＋c.
用基底表示向量的方法
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解．如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法．如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘．将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．通常情况下尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．
如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】(1)因为P是CA′的中点，
所以＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c).
(2)因为M是CD′的中点，所以＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c).
(3)因为N是C′D′的中点，所以＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4)因为CQ∶QA′＝4∶1，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋＋
＝a＋b＋c.
类型三 几何体中的平行、垂直与夹角(数学运算、逻辑推理)
【角度1】证明平行
【典例】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
【思路导引】先证向量与共线，再说明不在同一直线上．
【证明】设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.
又RS与MN不是同一直线，所以MN∥RS.
【角度2】证明垂直
【典例】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.
【思路导引】用数量积证明A1G与平面DEF内的两条相交直线垂直．
【证明】设正方体的棱长为a，
因为·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·＝·＋·＝a2－a2＝0，
所以A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE.又DF∩DE＝D，
所以A1G⊥平面DEF.
【角度3】 求夹角
【典例】如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2.求cos
〈，〉的值．
【思路导引】按照夹角公式，需计算向量与的模长和数量积．
【解析】由已知得||＝||＝1，||＝||＝2，
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝90°，
所以·＝·＝·＝0.
因为＝－＝＋－，1＝＋，
所以2＝2＝(＋－)2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，
＝，
·＝(＋－)·(＋)＝2－2＝22－12＝3，
所以cos
〈，〉＝＝＝.
1．证明平行的方法
证明直线的方向向量共线，并说明不在同一条直线上，即可说明线线平行．
2．证明垂直的方法
由数量积的性质a⊥b?a·b＝0(a，b≠0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
3．求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
(2)先求a·b，再利用公式cos
〈a，b〉＝，求cos
〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
1．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
【解析】不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
||＝2，||＝，
所以cos
〈，〉＝
＝＝0，
所以〈，〉＝90°.
答案：90°
2．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
【证明】设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c，
所以·＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
所以⊥，所以A1O⊥BD.
同理可证⊥，所以A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG，
所以A1O⊥平面GBD.
课堂检测·素养达标
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.当三个非零向量a，b，c共面时不能作为基底，正推不成立；反过来，若{a，b，c}是一个基底，必有a，b，c都是非零向量，逆推成立，故选项B符合题意．
2．在正方体ABCD?A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y2＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1
B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝
D．x＝y＝z＝2
【解析】选A.＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理得x＝y＝z＝1.
3．(教材二次开发：练习改编)已知{a，b，c}是空间的一个基底，下列向量可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是________．(填序号).
①2a，
②－b，
③c，
④a＋c.
【解析】向量p与q都是用a和b表示的，所以只含a和b的向量式必定与p，q共面，要构成空间的另一个基底，必须含有向量c.
答案：③④
4．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________．
【解析】
2＝2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，所以＝(＋＋).
答案：(＋＋)
5．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________．
【解析】设AC的中点为F，则＝＋＝＋＝－×(＋)＋＝－(－2)＋(－)＝－－＋.
答案：－－＋
PAGE1．3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
必备知识·自主学习
1.空间直角坐标系
(1)单位正交基底：
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量i，j，k称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系：
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
【思考？】
什么是右手直角坐标系？
提示：右手直角坐标系是指让右手的拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向所建立的坐标系；高中阶段所用的空间直角坐标系都是右手直角坐标系．
2．空间向量的坐标表示
(1)点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，存在唯一有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．
(2)向量的坐标
给定向量a，若＝a，则a＝xi＋yj＋zk，
有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).
【思考？】
在给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？为什么？
提示：是．在给定的空间直角坐标系下，给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底．( )
(2)在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(0，b，c).( )
(3)点A(－1，2，1)在x轴上的射影是(－1，0，0).( )
(4)若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z).( )
提示：(1)×.单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．
(2)×.x轴上的点的坐标应是(a，0，0).
(3)√.由点A在x轴上的射影知y＝0，z＝0.
(4)×.只有当A点是坐标原点，向量的坐标为(x，y，z)时点P的坐标才是(x，y，z).
2．已知正方体OABC?O′A′B′C′的棱长为1，若以，，为基底，则向量的坐标是( )
A．(1，1，1)
B．(1，0，1)
C．(－1，－1，－1)
D．(－1，0，1)
【解析】选A.点B′的三个坐标都是1，所以向量的坐标是(1，1，1).
3．(教材二次开发：例题改编)在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是______．
【解析】＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，所以向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3，2，5).
答案：(3，2，5)
关键能力·合作学习
类型一 空间向量的坐标表示(直观想象)
【典例】在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标．
【思路导引】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以BC的中点D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把各向量分别用，，表示出来，再写出它们的坐标．
【解析】分别取BC，B1C1的中点D，D1，所以DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，因为AD＝，DC＝，所以＝＝2k，＝－－＋＝－i－j＋2k，＝－＋＝i－j＋2k，所以＝(0，0，2)，＝，＝.
用坐标表示空间向量的方法步骤
如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
【解析】因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.
因为＝＋＋＝－＋＋
＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3，
所以＝.
类型二 求点的坐标(直观想象)
【典例】
已知在棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求M点的坐标．
【思路导引】O为坐标原点，向量的坐标就是M点的坐标．
【解析】易知△BCD的中线长为×2＝，则OC＝.
所以OA＝＝＝，
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的交点为E，则OE＝BD＝，
所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＝－＋＝i－j＋k，所以＝.
所以M点的坐标为.
用向量求点的坐标的方法
建立空间直角坐标系后，通过向量的运算获得向量的坐标后，如果起点是坐标原点，那么向量的坐标就是终点的坐标．
如图所示，在三棱锥O?ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标．
【解析】令x，y，z轴方向上的单位向量分别为i，j，k，
因为＝＋＝(＋)＋
＝(＋)＋(－)＝＋＋
＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋k＝.
所以点P坐标为.
课堂检测·素养达标
1．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a＋b的坐标为( )
A．(2，－11，10)
B．(－2,
11，－10)
C．(－2,
11，10)
D．(2,
11，－10)
【解析】选A.a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＋b＝(2，－11，10).
2．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.由题图知B(1，1，0)，E，所以＝.
3．(教材二次开发：练习改编)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为________，的坐标为________．
【解析】由题图可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，
所以＝(1，0，0)，＝＋＝(0，0，1)＋(1，0，0)＝(1，0，1).
答案：(1，0，0) (1，0，1)
4．若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为______．
【解析】由向量的单位正交基底表示已知向量a的坐标为(2，－1，3).
答案：(2，－1，3)
5．在三棱锥P?ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
【解析】如图所示．
＝－＝(＋)－(＋)
＝－，故＝.
答案：
PAGE1.3.2 空间向量运算的坐标表示
新课程标准
学业水平要求
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示．
1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？
1.空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
2．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos
〈a，b〉＝＝.
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则一定有＝＝成立吗？
提示：不一定，只有当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
3．空间两点间的距离
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
P1P2＝|
|＝．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(－2，4，－2).( )
(2)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|.( )
(3)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b.( )
(4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则＝(－3，－3，－3).( )
(5)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．( )
提示：(1)√.b＝a＋b－a＝(－1，2，－1)
－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).
(2)√.＝＝，＝＝，所以＝.
(3)√.由a·b＝0，得a⊥b.
(4)×.由
A(1，2，3)，B(4，5，6)，得＝(4－1，5－2，6－3)＝
(3，3，3).
(5)×.若x1＝y1＝z1＝1，则＝＝，所以a不是单位向量．
2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( )
A．(16，0，4)
B．(8，－16，4)
C．(8，16，4)
D．(8，0，4)
【解析】选D.4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，所以4a＋2b＝(8，0，4).
3．已知a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，若a⊥b，则x等于
( )
A．－26
B．－10
C．2
D．10
【解析】选A.由于a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，且有a⊥b，
所以a·b＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x＝0，解得x＝－26.
4．(教材二次开发：例题改编)已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是________．
【解析】cos
〈，〉＝
＝＝－1，
所以〈，〉＝π.
答案：π
关键能力·合作学习
类型一 空间向量的坐标运算(数学运算)
1.若向量a＝，b＝，则2a－3b＝( )
A．
B．
C．
D．
2.若a＝，b＝，c＝，则a·的值为( )
A．
B．5
C．7
D．36
3．若向量a，b的坐标满足a＋b＝，a－b＝，则a·b等于( )
A．5
B．－5
C．7
D．－1
【解析】1.选C.因为a＝，b＝，
所以2a－3b＝2－3＝.
2．选B.b＋c＝＋＝，a·＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.
3．选B.因为a＋b＝，a－b＝，
两式相加得2a＝，解得a＝，b＝，所以a·b＝1×＋×1＋0×2＝－5.
空间向量坐标运算方法
一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
【补偿训练】
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).
求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b).
【解析】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2).
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6).
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)因为2a＝(4，－2，－4)，
所以(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)
＝－8.
类型二 用向量运算解决平行与垂直(数学运算、逻辑推理)
【典例】已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
【思路导引】(1)根据向量平行，设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，列出方程组，即可得出λ与m的值；
(2)由向量垂直以及模长公式得出λ＝－1，即可求出向量a.
【解析】(1)因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
所以解得所以λ＝，m＝3.
(2)因为|a|＝且a⊥c，所以
化简得解得λ＝－1.因此a＝(0，1，－2).
向量平行与垂直问题的两种题型
(1)平行与垂直的判断；
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；
②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
1．已知向量a＝，b＝，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A．
B．1
C．
D．
【解析】选A.因为a＝，b＝，
所以ka＋b＝，2a－b＝，
又因为ka＋b与2a－b互相垂直，所以·＝0，所以3k－3＋2k－4＝0，解得k＝.
2．设x，y∈R，向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，则＝( )
A．2
B．
C．3
D．4
【解析】选C.因为b∥c，所以2y＝－4×1，所以y＝－2，所以b＝，因为a⊥b，所以a·b＝x＋1×＋1＝0，所以x＝1，所以a＝，所以a＋b＝，
所以＝＝3.
类型三 用向量运算求夹角和距离(数学运算)
角度1 求夹角
【典例】已知向量a＝，则下列向量中与a成60°角的是( )
A．
B．
C．
D．
【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦值，进一步求角．
【解析】选B.对于A选项中的向量a1＝，cos
〈a，a1〉＝＝＝－，则〈a，a1〉＝120°；对于B选项中的向量a2＝，cos
〈a，a2〉＝＝＝，则〈a，a2〉＝60°；对于C选项中的向量a3＝，cos
〈a，a3〉＝＝＝－，则〈a，a3〉＝120°；对于D选项中的向量a4＝，此时a4＝－a，两向量的夹角为180°.
角度2 求距离
【典例】ABC?A1B1C1是正三棱柱，若AB＝1，AB1⊥BC1，则AA1＝( )
A．
B．
C．
D．
【思路导引】由题意画出图形，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，再由＝0列式求解a值，则答案可求．
【解析】选B.如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系．
设AA1＝a，则A，B1，B，C1，则＝，＝.
由AB1⊥BC1得＝－＋a2＝0，即a＝.所以AA1＝.
利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为夹角与距离问题．
1．在空间直角坐标系Oxyz中，O(0，0，0)，E(2，0，0)，F(0，2，0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足||＝||＝3，若cos
〈，〉＝，则·＝( )
A．9
B．7
C．5
D．3
【解析】选D.设C(x，y，z)，B(，，0)，
＝(x，y，z)，＝(x－，y－，z)，＝(－2，2，0)，由cos
〈，〉＝
＝＝，
整理可得x－y＝－①，由||＝||＝3得＝，化简得x＋y＝②，
由①②联立得x＝，y＝，
则·＝(x，y，z)·＝2y＝3.
2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．
【解析】设BC边的中点为D，则＝(＋)＝(－1，－2，2)，所以||＝＝3.
答案：3
3．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4).
(1)计算2a－3b和.
(2)求〈a，b〉．
【解析】(1)因为向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)，
所以2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1，1，－4)，
＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)，
所以＝＝3.
(2)cos
〈a，b〉＝＝＝.
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
备选类型 向量法解决存在性问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
【思路导引】根据图形特征建立坐标系，设出点G的坐标，利用到点P，B，C，D的距离都相等建立方程组，考察方程组的解的情况．
【解析】因为PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．连接GB，GC，GP，
设AB＝AP＝t，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则B(t，0，0)，P(0，0，t)，D(0，4－t，0).因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0).
所以＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t).由||＝||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，
即t＝3－m.①
由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
立体几何存在性问题的解法
存在性问题通常都是假设存在，即设出点的坐标，运用题目条件建立方程或不等式，有解说明存在，无解说明不存在，即要把立体几何的存在性转化为方程或不等式有解问题．
如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，在棱B1B上是否存在一点M，使得D1M⊥平面EFB1.若存在，求出该点；若不存在，说明理由．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，
设M(1，1，m).连接AC，则＝(－1，1，0).
而E，F分别为AB，BC的中点，
所以＝＝.
又因为＝，＝(1，1，m－1)，
而D1M⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF，
且D1M⊥B1E，即·＝0，且＝0.
所以
解得m＝，即M为B1B的中点．
课堂检测·素养达标
1．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝
－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
【解析】选A.因为c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，所以(c－a)·2b＝2－2x＝－2.所以x＝2.
2．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( )
A．a∥b，a∥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
【解析】选C.因为a·b＝(－2，－3，1)·(2，0，4)＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
又因为a＝(－2，－3，1)＝(－4，－6，2)＝c，所以a∥c.
3．(教材二次开发：习题改编)若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则＝________，＝________．
【解析】＝(1，－1，－1)，||＝＝.
答案：(1，－1，－1)
4．若向量a＝，b＝，则＝________．
【解析】由于向量a＝，b＝，
所以2a＋b＝.
故＝＝＝3.
答案：3
5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是________．
【解析】因为＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
cos
〈，〉＝＝＝－，所以〈，〉＝120°.
答案：120°
PAGE1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
空间中直线、平面的平行
新课程标准
学业水平要求
1.能用向量语言描述直线和平面．2．理解直线的方向向量与平面的法向量．3．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念．(数学抽象)2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．(直观想象)3．会用待定系数法求平面的法向量．(数学运算)4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
必备知识·自主学习
导思
1.什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？2．怎样用向量判断线线、线面、面面间的平行关系？
1．用向量表示直线的位置
2.直线的向量表示式
取空间中任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使＝＋ta.
若＝a，则＝＋t.
直线的方向向量如何确定？
提示：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量．
3．用向量表示平面的位置
(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定
(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定
4.空间平面ABC的向量表示式
取空间中任意一点O，得到点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.
如何确定平面的法向量？
提示：设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
5．空间中平行关系的向量表示
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
线线平行
l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2
线面平行
l1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0
面面平行
α∥β?n1∥n2
??λ∈R，使得n1＝λn2
若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
提示：可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( )
(2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( )
(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )
(4)直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行．( )
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要么相反．
(2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
(3)×.两直线的方向向量平行，只能说明两直线平行或者重合．
(4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平面内．
2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6)
B．(－1，1，3)
C．(3，1，1)
D．(－3，0，1)
【解析】选A.＝(1，1，3)，所以与共线的向量都可以充当直线l的方向向量．
3．(教材二次开发：例题改编)设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
【解析】因为α∥β，所以它们的法向量共线，从而＝＝，解得k＝4.
答案：4
关键能力·合作学习
类型一 求直线的方向向量和平面的法向量(数学运算)
【典例】如图，四棱锥P?ABCD中底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
【思路导引】由题得AB，AP，AD两两垂直，以A为原点建系，根据长度写与坐标，计算和它们都垂直的向量．
【解析】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则E，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).
本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
【解析】以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，即为直线PC的一个方向向量．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1).
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为(0，1，).
待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
(2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
1．(多选题)如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1为正方体，则( )
A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
【解析】选ABC.因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确；因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正确；
因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正确；
因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误．
2．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
【解析】(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c).
因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)，
所以
所以
令b＝2，则a＝－3，c＝2.
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2).
(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，
所以⊥n，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，
所以3x－2y－2z－1＝0.
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0.
类型二 利用空间向量证明线线平行(数学运算)
【典例】如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
用向量证线线平行的方法
不重合的两条直线的方向向量共线时，这两条直线就平行，所以要说明两直线平行，只需说明它们的方向向量共线，注意这些点不在同一直线上．
1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
【解析】选D.因为l1∥l2，所以a∥b，所以存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx，5＝λy，所以x＝6，y＝.
2．在长方体OAEB?O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．求证：PQ∥RS.
【证明】如图，建立空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0).
易求得P，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S，
于是＝，＝.
所以＝，
所以∥.
因为R?PQ，所以PQ∥RS.
类型三 利用空间向量证明线面平行、面面平行(数学运算，逻辑推理)
角度1 线面平行
【典例】在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
【思路导引】
【证明】方法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1).
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以⊥n.
所以MN∥平面A1BD.
方法二：＝－＝－＝(－)＝，所以∥，所以MN∥平面A1BD.
方法三：＝－＝－＝－
＝－＝－．
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD.
角度2 面面平行
【典例】若角度1的典例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
【思路导引】求平面A1BD的法向量和平面CB1D1的法向量，说明法向量共线，即可说明面面平行．
【解析】由角度1例题解析知，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，
则＝(0，－1，1)，＝(1，1，0)，
设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1，1，1)，又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1).
所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0；(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．用向量证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β?μ∥v.
1．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
【解析】选B.建系如图，设正方体的棱长为2，
则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，
所以M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以＝(－1，0，1).
平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)，
因为·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以⊥n，
又因为MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
2．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
【证明】因为EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
所以EF⊥AE，EF⊥BE.
又因为AE⊥EB，所以EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，
所以＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2).设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，
所以·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
因为AB?平面DEG，所以AB∥平面DEG.
【补偿训练】
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CG∥EF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由．
【解析】存在．如图，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，
则E，F，C(0，1，0)，假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF，则∥，由于点G在z轴上，设G(0，0，z)，
则＝，＝(0，－1，z).
因为∥，所以＝λ，
即(0，－1，z)＝λ.
所以解得
因为z＝∈[0，1]，所以点G在线段DD1上靠近点D1的三等分点，其坐标为.
课堂检测·素养达标
1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(－1，－1，－1)
B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1)
D．(1,
1，－1)
【解析】选A.＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1).
2．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1，1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( )
A．(1，1，1)
B．(－1，1，－1)
C．(－1，－1，－1)
D．(1，1，－1)
【解析】选B.因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B选项符合．
3．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个结论：
①a∥b?＝＝；②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；③a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选B.由＝＝?a∥b，反之不一定成立，故①不正确；若a1＝a2＝a3＝1，则|a|＝，故②不正确；③正确．
4．(教材二次开发：练习改编)已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，2)，＝(x，－3，6)，若DE∥平面ABC，则x＝________．
【解析】因为DE∥平面ABC，所以存在实数m，n，使＝m＋n，即(x，－3，6)＝m(1，5，－2)＋n(3，1，2)，
所以解得
答案：5
PAGE第2课时 空间中直线、平面的垂直
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用向量判断线线垂直？2．怎样用向量判断线面垂直？3．怎样用向量判断面面垂直？
空间中垂直关系的向量表示
线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β
?
u⊥v
?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面有怎样的位置关系？
提示：这两个平面是垂直关系.
直线l的方向向量与平面β的法向量共线，说明直线l垂直于平面β，又直线l在平面α内，所以平面α和平面β垂直．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( )
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．( )
(3)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( )
(4)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．( )
提示：(1)√.直线的方向向量与平面的法向量共线(方向相同或相反)时，直线与平面垂直．
(2)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面平行或者在平面内．
(3)√.两个平面的法向量垂直，这两个平面就垂直．
(4)×.当平面内两条直线的方向向量共线时，直线不一定和平面垂直．
2．(教材二次开发：例题改编)若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α斜交
【解析】选B.因为n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
所以n∥a，所以l⊥α.
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是________．
【解析】＝(1，－1，1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2.
答案：l1⊥l2
4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________．
【解析】u1·u2＝0，则α⊥β.
答案：α⊥β
关键能力·合作学习
类型一 向量法证线线垂直(数学运算、逻辑推理)
1．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．
B．1
C.
2
D．3
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D
D．AA1
3．如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
求证：EF⊥CD；
【解析】1.选C.由题意可得a⊥b，所以a·b＝0，
所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，所以m＝2.
2．选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E，B(1，1，0).
则＝(1，1，0)，＝，
所以·＝－＋0＝0，
所以⊥.所以DB⊥CE.
3．以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
E，P(0，0，a)，F，
所以＝，＝(0，a，0)，
因为·＝·(0，a，0)＝0，
所以EF⊥DC.
用向量判断两条直线是否垂直的方法
1．在两直线上分别取两点A，B与C，D，计算向量与的坐标，若·＝0，则两直线垂直，否则不垂直．
2．判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直．
【补偿训练】
已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
【证明】设AB中点为O，作OO1∥AA1.
以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A，B，
C，N，B1，
因为M为BC中点，
所以M.
所以＝，AB1＝(1，0，1)，
所以·AB1＝－＋0＋＝0.
所以⊥AB1，所以AB1⊥MN.
类型二 向量法证线面垂直(数学运算，逻辑推理)
【典例】如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
四步
内容
理解题意
条件：①正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2；②D为CC1的中点结论：AB1⊥平面A1BD
思路探求
方法一：通过证明AB1⊥BA1，AB1⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD方法二：证明AB1与平面A1BD的法向量平行．
书写表达
方法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，OO1，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).所以AB1＝(1，2，－)，BA1＝(－1，2，)，＝(－2，1，0).因为AB1·BA1＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.AB1·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.所以AB1⊥BA1，AB1⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.方法二：建系同方法一．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1，2，－)，又AB1＝(1，2，－)，所以n＝AB1，即AB1∥n.所以AB1⊥平面A1BD.
题后反思
向量数量积为0得到向量垂直后要说明直线垂直以及两直线相交，才能得到线面垂直．
1．坐标法证明线面垂直的两种思路
方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.
【证明】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形．
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
又E，F分别是AD，PC的中点，
所以E(0，，0)，F(1，，1).
所以＝(2，2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1，0，1).
所以·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.
所以⊥，⊥.
所以PC⊥BF，PC⊥EF.
又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.
类型三 向量法证面面垂直(数学运算，逻辑推理)
【典例】如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，
证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【思路导引】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.
【证明】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
则AA1＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，AC1＝(－2，2，1)，＝.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).
则
?
令x1＝1，得y1＝1.
所以n1＝(1，1，0).
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2).
则
?
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.
所以n2＝(1，－1，4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
所以n1⊥n2，
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
向量证明面面垂直的方法
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
1．在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，E.
方法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.
易知＝(0，0，1)，＝，
所以＝，所以OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z).
易知＝(－1，1，0)，＝，
所以
即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0).
因为AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1).
因为n1·n2＝0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
2．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【证明】如图，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，AA1＝(0，0，)，
因为·＝－2＋2＋0＝0，·AA1＝0＋0＋0＝0，
所以⊥，⊥AA1，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC?平面BCC1B1，
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
课堂检测·素养达标
1．已知平面α的法向量n＝(1，2，－2)，平面β的法向量m＝(－2，3，k)，若α⊥β，则k的值为( )
A．2
B．4
C．1
D．
【解析】选A.由题意，得m·n＝0，
所以－2＋6－2k＝0，得k＝2.
2．(教材二次开发：练习改编)设直线l1、l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．－2
B．2
C．6
D．10
【解析】选D.因为l1⊥l2，所以a·b＝0，
所以－2×3－2×2＋m＝0，所以m＝10.
3．已知空间三点A(－1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
【解析】设M(x，y，z)，因为＝(1，－1，0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，
由题意，得
所以x＝－，y＝，z＝1，
所以点M的坐标为.
答案：
4．如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．
【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则E，F，
所以＝，
由图易知，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，
因为＝－n，
所以∥n，所以EF⊥平面PBC.
答案：垂直
PAGE1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
必备知识·自主学习
导思
1.怎样求点到直线、点到平面的距离？2．怎样求平行直线、平行平面间的距离？3．怎样求异面直线所成的角、线面角及平面的夹角？
1.空间距离的向量求法
(1)点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，＝a，则点P到直线l的距离为：
PQ＝＝．
(2)点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，则平面外一点P到平面α的距离为：
PQ＝＝＝．
点线距、点面距、面面距之间有什么关系？
提示：若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．
2．空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角θ
设l1与l2的方向向量分别为a，b，则cos
θ＝|cos
〈a，b〉|＝
直线l与平面α所成的角θ
设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos
〈a，n〉|＝
平面α与平面β的夹角θ
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos
θ＝|cos
〈n1，n2〉|＝
直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
提示：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度．( )
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．( )
(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
(4)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos
〈n1，n2〉＝.( )
提示：(1)×.点A与其在平面α内的射影点的距离是点A到平面α的距离．
(2)√.直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等．
(3)×.两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补．
(4)×.二面角的平面角的余弦值与二面角的两半平面的法向量夹角的余弦值相等或互为相反数．
2．(教材二次开发：例题改编)已知两平面的法向量分别为u＝(0，1，0)，v＝(0，1，1)，则两平面的夹角为( )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．90°
【解析】选C.因为cos
〈u，v〉＝＝＝，
所以〈u，v〉＝45°，
所以二面角为45°或180°－45°＝135°.
3．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A．10
B．3
C．
D．
【解析】选D.点P到平面α的距离
d＝＝＝.
关键能力·合作学习
类型一 用空间向量求距离(数学运算，直观想象)
1．若三棱锥P?ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A．
B．
C．
D．
2．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD?A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，则点B到直线A′C的距离为________．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
则点D到平面PEF的距离为________；直线AC到平面PEF的距离为________．
【解析】1.选D.分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，
则d＝＝.
2．因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直线A′C的方向向量＝(1，2，－3).
又＝(0，2，0)，
所以在上的投影长为＝.
所以点B到直线A′C的距离
d＝
＝＝.
答案：
3．建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，＝，＝，＝(－1，0，1)，＝(0，0，1).
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
解得x＝y，令x＝y＝2，得n＝(2，2，3)，
因此，点D到平面PEF的距离为＝＝.
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，又EF?平面PEF，
所以AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为＝＝.
答案：
1．用向量法求点线距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长；
(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2．用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系；(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标；(3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两个不共线向量，平面α的法向量n)；(4)求距离d＝.
类型二 向量法求异面直线所成的角(数学运算，直观想象)
【典例】如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
四步
内容
理解题意
条件：①直三棱柱A1B1C1?ABC
②AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4③点D是BC的中点结论：异面直线A1B与C1D所成角的余弦值
思路探求
利用直三棱柱特征建立坐标系，由长度得到点和向量的坐标，应用公式计算．
书写表达
以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以A1B＝(2，0，－4)，C1D＝(1，－1，－4).因为cos
〈A1B，C1D〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
题后反思
当几何体适合建立空间直角坐标系时，一般建系，写点，写向量，代入公式计算，关键点是正确写出各点坐标．
求异面直线所成角的方法
运用向量法常有两种途径：
①基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a，b的方向向量，则cos
θ＝，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算.
②坐标法：
根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，
B(0，0，1)，＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1).
cos
〈〉＝＝＝.
类型三 向量法求线面角、平面的夹角(数学运算，直观想象)
角度1 向量法求线面角
【典例】已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
【思路导引】建立坐标系，求平面AMC1的法向量，计算法向量与向量的夹角的余弦，再转化为线面角的正弦．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，
M，C1，B(0，a，0)，
故＝，＝，
＝.
设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z).
则所以
令y＝2，则z＝－，x＝0.
所以n＝.
又BC1＝，
所以cos
〈，n〉＝＝＝－.
设BC1与平面AMC1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos
〈，n〉|＝.
角度2 向量法求平面的夹角
【典例】如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1?OB1?D的余弦值．
【思路导引】(1)证AC，BD都与OO1垂直；(2)建立空间直角坐标系，计算平面OC1B1的法向量，求平面BDD1B1的法向量与平面OC1B1的法向量夹角的余弦值．
【解析】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，
所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以OB＝，OC＝1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则m⊥，m⊥，
所以x＋2z＝0，y＋2z＝0，取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2，2，－)，
所以cos
〈m，n〉＝＝＝.
由图形可知二面角C1?OB1?D的大小为锐角，
所以二面角C1?OB1?D的余弦值为.
本例(2)条件不变，求二面角B?A1C?D的余弦值．
【解析】如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，
则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0).
所以＝(－，1，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，－1，0).
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
取x1＝，则y1＝z1＝3，故n1＝(，3，3).
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则则
取x2＝，则y2＝z2＝－3，故n2＝(，－3，－3).
所以cos
〈n1，n2〉＝＝－＝－.
由图形可知二面角B?A1C?D的大小为钝角，
所以二面角B?A1C?D的余弦值为－.
1．向量法求线面角的基本步骤
(1)分析图形关系，建立空间直角坐标系．
(2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n.
(3)求出夹角〈a，n〉．
(4)判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.
2．利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小．
用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.
(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos
θ＝.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
1．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以cos
〈，n〉＝＝－，
所以〈，n〉＝120°，
所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以PC与平面ABCD所成角为30°.
2．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC.点F为PC的中点，则二面角C?BF?D的正切值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.如图，连接OF，因为四边形ABCD为菱形，
所以O为AC的中点，AC⊥BD.因为F为PC的中点，
所以OF∥PA.因为PA⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD.
以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
设PA＝AD＝AC＝1，
则BD＝，所以B，F，C，D，
结合图形可知，＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝，可求得平面BCF的一个法向量n＝.
所以cos
〈n，〉＝，sin
〈n，〉＝，
所以tan
〈n，〉＝.
备选类型 高考中的立体几何(直观想象，数学运算，逻辑推理)
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B?PC?E的余弦值．
【思路导引】(1)要证明PA⊥平面PBC，只需证明PA⊥PB，PA⊥PC即可；
(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为n，平面PCE的法向量为m，利用公式cos
?m，n?＝计算即可得到答案．
【解析】(1)设DO＝a，由题设可得PO＝a，AO＝a，AB＝a，
PA＝PB＝PC＝a.
因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.
又PA2＋PC2＝AC2，从而PA⊥PC.
所以PA⊥平面PBC.
(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
由题设可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，C，
P.
所以＝，＝.
设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量，则，
即，可取m＝.
由(1)知＝是平面PCB的一个法向量，记n＝，则cos
〈n，m〉＝＝.
所以二面角B?PC?E的余弦值为.
高考中的立体几何问题解法
高考中的立体几何问题通常需要证明平行、垂直关系，求异面直线所成的角、直线与平面所成的角或者两个平面的夹角，一般平行、垂直关系使用几何的方法推理证明，各种角的计算则运用向量的方法，一般是在几何图形中建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，通过向量的夹角获得待求的各种角．
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D?AF?E与二面角C?BE?F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；
(2)求二面角E?BC?A的余弦值．
【解析】(1)由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)过点D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz.
由(1)知∠DFE为二面角D?AF?E的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，).
由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C?BE?F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2，0，).
所以＝(1，0，)，＝(0，4，0)，＝(－3，－4，)，＝(－4，0，0).
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，
则
即
所以可取n＝(3，0，－).
设m是平面ABCD的法向量，
则
同理可取m＝(0，，4)，
则cos
〈n，m〉＝＝－.
由图形知二面角E?BC?A的大小为钝角，故二面角E?BC?A的余弦值为－.
课堂检测·素养达标
1．已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(1，－1，1)，则平面α与β所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】选D.因为n1·n2＝0，
所以α⊥β，所以α与β所成的角为90°.
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.如图所示，直线l与平面α所成的角θ＝－＝.
3．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为( )
A．
B．－
C．
D．或－
【解析】选D.因为＝，
所以这个二面角的余弦值为或－.
4．(2020·中山高二检测)在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为________．
【解析】以D为坐标原点，建系如图，
则B(1，2，0)，C1(0，2，2)，A(1，0，0)，E(0，2，1)，
所以＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1).
则cos
〈，〉＝，
所以异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为.
答案：
PAGE阶段提升课第一课 空间向量与立体几何
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一
空间向量的运算
1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝( )
A．(0，3，－6)
B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6)
D．(6，6，－6)
【解析】选B.由b＝x－2a得x＝4a＋2b，
又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)，
所以x＝(0，6，－20).
2．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.－a＋b＋c
B．a＋b－c
C．a－b－c
D．－a＋b＋c
【解析】选A.因为点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，＝．
又ABCD?A1B1C1D1为平行六面体，且＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b，＝b－c，所以＝＋＋＝－＋＋＝
－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c.
3．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值.
【解析】(1)因为向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，所以解得
所以向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1).
(2)因为a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝，
所以a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝.
空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件
(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的．
(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y.
题组训练二
空间向量与线面位置关系
1．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，
D，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝，＝(－1，2，0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝－2，
则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).
假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，
因为也是平面A1BD的法向量，
所以n＝(2，1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直．
2.如图所示，
已知PA⊥平面ABCD，AB-CD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
【证明】(1)由题意得AB，AD，AP两两垂直．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b，
则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M，N.
所以＝，＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以＝＋，所以，，共面，
又因为MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a).
设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则所以
所以
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b).
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
所以令z2＝1，则n2＝(0，1，1).
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，
所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
利用空间向量证明空间中的位置关系
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．
(3)线面平行
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．
(4)线面垂直
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
题组训练三
空间向量与空间角
1．已知在正四面体A?BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E(0，，)，
所以＝，＝，
所以cos
〈，〉＝＝＝.
所以CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
2．如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为______．
【解析】如图所示，过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，
则∠CFO为二面角C?AB?D的平面角，所以cos
∠CFO＝.
设AB＝1，则CF＝，OF＝，OC＝，
所以O为正方形ABDE的中心．如图建立空间直角坐标系，
则E，A，M，N，
所以＝，＝，所以cos
〈，〉＝＝.
答案：
3．在三棱柱ABC?A1B1C1中，D是棱BC上的点(不包括端点)，记直线B1D与直线AC所成的角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成的角为θ2，二面角
C1?A1B1－D的平面角为θ3，则θ1，θ2，θ3的大小关系是________．
【解析】设三棱柱ABC?A1B1C1是棱长为2的正三棱柱，D是棱BC的中点，以A为原点，在平面ABC中，过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1，B1，C，D，A，＝，＝，＝，因为直线B1D与直线AC所成的角为θ1，
所以cos
θ1＝＝，
因为直线B1D与平面A1B1C1所成的角为θ2，平面A1B1C1的法向量n＝
，所以sin
θ2＝＝，
所以cos
θ2＝＝，
设平面A1B1D的法向量m＝，
则
取a＝，得m＝，
因为二面角C1?A1B1?D的平面角为θ3，
所以cos
θ3＝＝＝，
因为cos
θ2>cos
θ3>cos
θ1，所以θ2<θ3<θ1.
答案：θ2<θ3<θ1
用向量法求空间角应注意的问题
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos
〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．
(3)二面角：
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角与法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
题组训练四
空间向量与距离
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为直线l的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.＝(－2，0，－1)，||＝，·＝－，则点P到直线l的距离为＝＝.
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是________．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A(3，0，0)，A1(3，0，2)，B(3，4，0)，C1(0，4，2)，
所以＝(－3，4，0)，＝(0，4，－2).
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得令z＝2，
得n＝.又＝(0，0，2)，
所以点A到平面A1BC1的距离d＝＝＝.
易知平面A1BC1∥平面ACD1，
所以两平面之间的距离为.
答案：
向量法求距离的一般步骤
建立恰当的空间直角坐标系；写出(求出)相关点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的距离公式计算．所有的距离最后都可以归结为空间两点的距离和点到面的距离.
PAGE阶段提升课第一课 空间向量与立体几何
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 空间向量的运算
1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝( )
A．(0，3，－6)
B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6)
D．(6，6，－6)
【解析】选B.由b＝x－2a得x＝4a＋2b，
又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)，
所以x＝(0，6，－20).
2．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，AA1＝c，则＝( )
A.－a＋b＋c
B．a＋b－c
C．a－b－c
D．－a＋b＋c
【解析】选A.因为点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，A1N＝A1D．
又ABCD?A1B1C1D1为平行六面体，且＝a，＝b，AA1＝c，所以＝a＋b，A1D＝b－c，所以＝＋AA1＋A1N＝－＋AA1＋A1D＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c.
3．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值.
【解析】(1)因为向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，
所以解得
所以向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1).
(2)因为a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝，
所以a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝.
空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件
(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的．
(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y.
题组训练二 空间向量与线面位置关系
1．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，
D，P(0，2，0)，A1B＝(1，0，1)，A1D＝，B1P＝(－1，2，0)，DB1＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝－2，
则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).
假设DQ⊥平面A1BD，且B1Q＝λB1P＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝DB1＋B1Q＝，
因为也是平面A1BD的法向量，
所以n＝(2，1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直．
2.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.
【证明】(1)由题意得AB，AD，AP两两垂直．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b，
则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M，N.
所以＝，＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以＝＋，所以，，共面，
又因为MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a).
设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则所以
所以
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b).
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
所以令z2＝1，
则n2＝(0，1，1).
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
利用空间向量证明空间中的位置关系
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．
(3)线面平行
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．
(4)线面垂直
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
题组训练三 空间向量与空间角
1．已知在正四面体A?BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，
所以＝，＝，
所以cos
〈，〉＝＝＝.
所以CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
2．(2020·温州高二检测)如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为________．
【解析】如图所示，过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，
则∠CFO为二面角C?AB?D的平面角，所以cos
∠CFO＝.
设AB＝1，则CF＝，OF＝，OC＝，
所以O为正方形ABDE的中心．如图建立空间直角坐标系，
则E，A，M，N，
所以＝，＝，
所以cos
〈，〉＝＝.
答案：
3．在三棱柱ABC?A1B1C1中，D是棱BC上的点(不包括端点)，记直线B1D与直线AC所成的角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成的角为θ2，二面角C1?A1B1?D的平面角为θ3，则θ1，θ2，θ3的大小关系是________．
【解析】设三棱柱ABC?A1B1C1是棱长为2的正三棱柱，D是棱BC的中点，以A为原点，在平面ABC中，过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1，B1，C，D，A，＝，B1D＝，A1B1＝，
因为直线B1D与直线AC所成的角为θ1，
所以cos
θ1＝＝，
因为直线B1D与平面A1B1C1所成的角为θ2，
平面A1B1C1的法向量n＝，
所以sin
θ2＝＝，
所以cos
θ2＝＝，
设平面A1B1D的法向量m＝，
则
取a＝，得m＝，
因为二面角C1?A1B1?D的平面角为θ3，
所以cos
θ3＝＝＝，
因为cos
θ2>cos
θ3>cos
θ1，所以θ2<θ3<θ1.
答案：θ2<θ3<θ1
用向量法求空间角应注意的问题
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos
〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角与法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
题组训练四 空间向量与距离
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为直线l的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.＝(－2，0，－1)，||＝，·＝－，则点P到直线l的距离为＝＝.
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是________．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A(3，0，0)，A1(3，0，2)，B(3，4，0)，C1(0，4，2)，
所以A1C1＝(－3，4，0)，A1B＝(0，4，－2).
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得令z＝2，
得n＝.
又AA1＝(0，0，2)，
所以点A到平面A1BC1的距离d＝＝＝.
易知平面A1BC1∥平面ACD1，
所以两平面之间的距离为.
答案：
向量法求距离的一般步骤
建立恰当的空间直角坐标系；写出(求出)相关点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的距离公式计算．所有的距离最后都可以归结为空间两点的距离和点到面的距离．
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