中小学教育资源及组卷应用平台
（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第二单元
等式与不等式
第14课
均值不等式课时同步练（原题）
一、基础巩固
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t
B．s>t
C．s≤t
D．s2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤2
B．ab≤
C.≥
D.≤2
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D.a＞＞＞b
5．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
6．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为( )
A．
B．3
C．
D．1
7．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．
8．已知直角三角形两条直角边的和等于10
cm，求面积最大时斜边的长．
二、拓展提升
9．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2
B.≥
C.≥2
D．2－3x－≥2
10．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．
11．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；
④＋≥2.
其中恒成立的不等式是________．
12．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第二单元
等式与不等式
第14课
均值不等式课时同步练（解析）
一、基础巩固
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t
B．s>t
C．s≤t
D．s【答案】A
【解析】∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.
2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
【答案】D
【解析】a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由均值不等式可知D项正确．
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤2
B．ab≤
C.≥
D.≤2
【答案】D
【解析】由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2，故选D.
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D.a＞＞＞b
【答案】B
【解析】a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．
5．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
【答案】C
【解析】∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，
∴b＝2－a(0≤a≤2)，
∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.
∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；
a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4
＝2(a－1)2＋2.
∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C．
6．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为( )
A．
B．3
C．
D．1
【答案】C
【解析】∵x>0，y>0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·()2
＝·()2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
故选C．
7．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＝(＋)·(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.
8．已知直角三角形两条直角边的和等于10
cm，求面积最大时斜边的长．
【答案】5(cm)
【解析】设一条直角边长为x
cm，(0面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)
等号在x＝10－x即x＝5时成立，
∴面积最大时斜边长L＝＝＝5(cm)．
二、拓展提升
9．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2
B.≥
C.≥2
D．2－3x－≥2
【答案】B
【解析】A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，＝－，
当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．
10．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．
【答案】2
【解析】xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．
11．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；
④＋≥2.
其中恒成立的不等式是________．
【答案】①②
【解析】由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝
＝≥
＝＝2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．
12．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，
∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
