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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第二单元
等式与不等式
第15课
均值不等式的应用课时同步练（解析）
一、基础巩固
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
【答案】D
【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
2．已知x＜0，则y＝x＋－2有( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
【答案】C
【解析】∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3
B．－3
C．3－2
D．－1
【答案】C
【解析】∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【解析】x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当
即时等号成立，故x＋y的最小值为9.
5.
若关于x的不等式对任意的恒成立，则实数x的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为,所以
(当且仅当时等号成立），所以由题意，得，解得,故选C.
6.
若,则的最小值是（
）
A.
B.
C.4
D.2
【答案】A
【解析】，当且仅当时等号成立.
7.
某工厂第一年产量为,第二年增长率为,第三年的增长率为,这两年的平均增长率为,则(???)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】这两年的平均增长率为，，，，当且仅当，即时取等号.
8.
已知均为正实数,求证:
.
【答案】见解析
【解析】∵，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
∴，①
同理，②
.③
①+②+③，得
，当且仅当的时等号成立.
二、拓展提升
9.
若实数满足,则的最小值为（
）
A.
8
B.6
C.4
D.2
【答案】C
【解析】实数满足，则,当且仅当且时等号成立.故选C.
10.
设若，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】因为，且，
且，
，
当且仅当时取等号，
结合可解得且，
故所求最小值为9
故答案为：9
11.
若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
【答案】
【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.∴(x＋y)2≤1.
12.
在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
【答案】见解析
【解析】设＋＝1，a，b∈N
，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
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精品试卷·第
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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第二单元
等式与不等式
第15课
均值不等式的应用课时同步练（原题）
一、基础巩固
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
2．已知x＜0，则y＝x＋－2有( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3
B．－3
C．3－2
D．－1
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3
B．6
C．9
D．12
5.
若关于x的不等式对任意的恒成立，则实数x的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
若,则的最小值是（
）
A.
B.
C.4
D.2
7.
某工厂第一年产量为,第二年增长率为,第三年的增长率为,这两年的平均增长率为,则(???)
A.
B.
C.
D.
8.
已知均为正实数,求证:
.
二、拓展提升
9.
若实数满足,则的最小值为（
）
A.
8
B.6
C.4
D.2
10.
设若，则的最小值为______．
11.
若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
12.
在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
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