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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第三单元
函数
第19课
单调性的定义与证明课时同步练（原题）
一、基础巩固
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )
A．a≥ B．a≤
C．a>
D．a<
3．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )
A．b＝3 B．b≥3
C．b≤3 D．b≠3
5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是( )
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；
③y＝；④y＝[f(x)]2.
9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．
10．求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
二、拓展提升
1．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)2．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(0,2)
D．(0,2]
3．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
5．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第三单元
函数
第19课
单调性的定义与证明课时同步练（解析）
一、基础巩固
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
【答案】C
【解析】由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )
A．a≥ B．a≤
C．a>
D．a<
【答案】D
【解析】函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.
3．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
【答案】B
【解析】∵函数y＝在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝.
4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )
A．b＝3 B．b≥3
C．b≤3 D．b≠3
【答案】C
【解析】函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.
5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是( )
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
【答案】D
【解析】因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，
又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
【答案】4
【解析】因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，
又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.
8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；
③y＝；④y＝[f(x)]2.
【答案】②③
【解析】f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，均为递增函数，故选②③.
9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．
【答案】2＜x＜.
【解析】由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，解得2＜x＜.
10．求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
【答案】
最小值4，最大值5
【解析】设1≤x1∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
二、拓展提升
1．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)【答案】A
【解析】对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)2．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(0,2)
D．(0,2]
【答案】D
【解析】由题意知实数a满足解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0,2]．
3．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
【答案】，
【解析】函数f(x)＝2x2－3|x|＝
图像如图所示，f(x)的单调递减区间为
，.
4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
【答案】6
【解析】在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．
根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4,6)．
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.
5．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】（1）f(x)＝4x＋1；（2）
【解析】(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．
从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以
解得或(不合题意，舍去)．
所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.
(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图像的对称轴为直线x＝－.
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为.
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