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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第三单元
函数
第20课
函数的平均变化率课时同步练（解析）
一、基础巩固
1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
【答案】B
【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.
2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0
B．1
C．3
D．Δx
【答案】A
【解析】＝＝0.
3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt
D．12
【答案】C
【解析】＝＝12＋2Δt.
4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
【答案】C
【解析】根据平均变化率的定义，可知
＝＝a＝3，故选C.
5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则( )
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常数函数
【答案】A
【解析】①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.
6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．
【答案】3－Δx
【解析】＝
＝3－Δx.
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．
【答案】＜＜
【解析】＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，
∴＜＜.
8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．
【答案】6x0＋3Δx 12.3
【解析】函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，
函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．
【答案】增函数
【解析】设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝，
＝＝－.
∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴＝－＞0，
∴g(x)＝(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【答案】（1）增函数；（2）最大值，最小值
【解析】(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．
证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
所以＝＝.
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＝＞0，
所以f(x)＝在[3,5]上是增函数．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
二、拓展提升
11．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2
D．－Δx－3
【答案】D
【解析】∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx，故选D.
12.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．不确定
【答案】D
【解析】k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定．
13．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
【答案】－
【解析】∵Δy＝－
＝－＝＝，
∴＝＝，
即k＝＝－.
∴当Δx＝1时，k＝－＝－.
14．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
【答案】
【解析】由函数f(x)的图像知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
15．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）(－3，＋∞)
【解析】(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·，
∴＝＝.
∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，
∴＝＞0，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立?x2＋2x＋a＞0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，
故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞).
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第三单元
函数
第20课
函数的平均变化率课时同步练（原题）
一、基础巩固
1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0
B．1
C．3
D．Δx
3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt
D．12
4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则( )
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常数函数
6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．
8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．
9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
二、拓展提升
11．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2
D．－Δx－3
12.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．不确定
13．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
14．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
15．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
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