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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第三单元
函数
第22课
奇偶性的应用课时同步练（解析）
一、基础巩固
1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝－x2＋2x－3
B．f(x)＝－x2－2x－3
C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2－2x＋3
【答案】B
【解析】若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.
2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)
B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
【答案】C
【解析】∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.
3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．[1，＋∞)
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．
4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是( )
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
【答案】C
【解析】根据偶函数在[0,7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图像，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得|2x－1|6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【答案】＋1
【解析】∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝f(－x)＝＋1，
即x＜0时，f(x)＝＋1.
7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2
019，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
【答案】2
019
【解析】由于偶函数的图像关于y轴对称，
所以f(x)在对称区间内的最值相等．
又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2
019，
故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2
019.
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)按从小到大的排列是________．
【答案】f(－2)【解析】当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；
当m≠1时，由题意可知，其图像关于y轴对称，∴m＝0，
∴f(x)＝－x2＋2，
∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．
9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
【答案】
【解析】∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.
10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．
【答案】减函数
【解析】F(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝>0，即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．
二、拓展提升
11．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( )
A．y＝|x|
B．y＝1－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
【答案】A
【解析】选项B中，函数不具备奇偶性；选项C中，函数是奇函数；选项A，D中的函数是偶函数，但函数y＝－x2＋4在区间(0,1)上单调递减．故选A.
12．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )
A．最大值－
B．最大值
C．最小值－
D．最小值
【答案】B
【解析】法一(奇函数的图像特征)：当x<0时，
f(x)＝x2＋x＝2－，
所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
法二(直接法)：当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋，
所以f(x)有最大值.故选B.
13．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
【答案】2x＋3
【解析】当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，
又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，
∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．
【答案】{x|－33}
【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，f(x)>0，解得－315．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
(1)求b的值；
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
【答案】（1）b＝0
；（2）
【解析】(1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，
所以f(0)＝0，解得b＝0.
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，
因为f(m)＋f(m－1)>0，
所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，
所以m－1>－m，①
又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义．
所以②
解①②得所以m的取值范围为.
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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第三单元
函数
第22课
奇偶性的应用课时同步练（原题）
一、基础巩固
1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝－x2＋2x－3
B．f(x)＝－x2－2x－3
C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2－2x＋3
2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)
B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．[1，＋∞)
4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是( )
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2
019，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)按从小到大的排列是________．
9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．
二、拓展提升
11．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( )
A．y＝|x|
B．y＝1－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
12．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )
A．最大值－
B．最大值
C．最小值－
D．最小值
13．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．
15．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
(1)求b的值；
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
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