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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第三单元
函数
第23课
函数的零点及其与方程、不等式解集之间的关系（原题）
一、基础巩固
1．函数f(x)＝x2－5x－6的零点是( )
A．2,3
B．－2,3
C．6，－1
D．－6,1
2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是( )
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．[－4,4]
B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
5．二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为( )
A．－6
B．－2
C．2
D．6
6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
二、拓展提升
11．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为( )
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－1,2)
12.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(－2,2)
D．(－2,2]
13．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
14．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．
15．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
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（新人教A版2019版必修第一册）高一数学上学期课时同步练
第三单元
函数
第23课
函数的零点及其与方程、不等式解集之间的关系（解析）
一、基础巩固
1．函数f(x)＝x2－5x－6的零点是( )
A．2,3
B．－2,3
C．6，－1
D．－6,1
【答案】C
【解析】令x2－5x－6＝0，得x1＝6，x2＝－1.选C.
2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．
∵当x＞0时，有三个零点，∴当x＜0时，也有三个零点．又因为0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．
3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是( )
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
【答案】C
【解析】唯一的零点必须在区间(1,3)内，而不在[3,5)，所以函数f(x)在(2,5)内有零点是错误的，可能没有．
4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．[－4,4]
B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
【答案】A
【解析】由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0，所以－4≤a≤4.
5．二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为( )
A．－6
B．－2
C．2
D．6
【答案】C
【解析】由题意知方程ax2＋bx＋1＝0的实数根为－1和，且a＜0，
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝－1，所以ab＝2.故选C.
6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
【答案】－，－
【解析】依题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，所以有a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6，因此g(x)＝－6x2－5x－1，易求出其零点是－和－.
7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
【答案】(－1,0)
【解析】∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，
∴∴∴－18．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
【答案】3 0
【解析】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
【答案】
【解析】令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
依题意得或
即或
解得－10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
【答案】（1）f(x)＝
（2）(－1,1)
【解析】(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，
根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
∴a的取值范围是(－1,1)．
二、拓展提升
11．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为( )
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－1,2)
【答案】B
【解析】因为关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，
所以－1,2是ax2＋bx＋2＝0(a＜0)的两根．
所以所以a＝－1，b＝1.
所以不等式bx2－ax－2＞0即为x2＋x－2＞0，
所以x＜－2或x＞1，故选B.
12.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(－2,2)
D．(－2,2]
【答案】D
【解析】当a＝2时，－4＜0恒成立．
当a≠2时，∴－2＜a＜2.
综上，得－2＜a≤2.
13．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由已知解得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．
14．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1，
即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，
即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜.
15．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
【答案】（1）见解析；（2）f(x)＜m
【解析】(1)由题意知a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)·(x－2)＞0.
当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；
当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜，所以x－m＜0,1－an＋ax＞0，所以f(x)－m＜0，即f(x)＜m.
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