五年级下册数学教案- 最小公倍数

最小公倍数
【教学目标】
1．掌握最小公倍数的相关定理以及最小公倍数的求法。
2．熟练运用最小公倍数的定理求最小公倍数。
3．亲历求最小公倍数的探索过程，体验分析归纳得出求最小公倍数的公式、结论等，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】
重点：掌握最小公倍数的求法。
难点：如何准确运用最小公倍数的相关定理和结论进行实际应用。
【教学过程】
一、直接引入
师：今天这节课我们主要学习最小公倍数，这节课的主要内容有最小公倍数的定义、定理以及最小公倍数的求法，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解最小公倍数的相关内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习最小公倍数的定义，它的具体内容是：
如果整数既是的倍数，也是的倍数（即且同时成立），就称为的公倍数。两个非零整数的所有的正的公倍数中最小的一个，称为的最小公倍数。
类似地可以定义到多个整数的最小公倍数。
若干个非零整数的公倍数，是指这样的整数，它被每个整除，最小公倍数则是的所有的正的公倍数中最小的一个，记作。
我们通过一道例题来具体说明该定义。
例1：证明3，5的最小公倍数等于15。
解：设最小公倍数，则，，是正整数
又，即。但，因此，存在正整数使
于是
15是所有的公倍数中最小的，因此。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习证明下面的结论。
证明：互素的正整数的最小公倍数。
解析：设最小公倍数，则，，是正整数
又，即。但，因此，存在正整数使
于是
是所有的公倍数中最小的，因此。
上述结论可进一步得到：
如果正整数两两互素，则。
（3）接着，我们再来看下课本的例2。
例2：求12，15的最小公倍数。
解：
从例题中我们可以得出以下结论：
对于任意整数设，则由，知与的最小公倍数为。于是与的最小公倍数为，由此得到
对非零整数有
特别地，当时，
（4）它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例3：是整数且都不为0，求证：是的公倍数是的倍数。
证明：先证“”：显然的倍数都是的公倍数
再证“”：设是的公倍数，将除以得到商和余数，则
且
由及知，即，同理，
因此，是的公倍数。但，而是的最小公倍数，因此不能有，这迫使
也就是说，是的倍数
证毕
解题技巧：可以通过将正整数分解为质因数的乘积来求最小公倍数。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：求最小的正整数，使它除以2，3，4，5，6，7，8，9，10的余数分别等于1，2，3，4，5，6，7，8，9。
如果整数很大，将它们分解为质因数的乘积很困难，更有效的算法还是先用辗转相除法求，再利用公式求最小公倍数。
三、课堂总结
（一）这节课我们主要讲了哪些内容？
1．如果整数既是的倍数，也是的倍数（即且同时成立），就称为的公倍数。两个非零整数的所有的正的公倍数中最小的一个，称为的最小公倍数。
类似地可以定义到多个整数的最小公倍数。
若干个非零整数的公倍数，是指这样的整数，它被每个整除，最小公倍数则是的所有的正的公倍数中最小的一个，记作。
2．互素的正整数的最小公倍数。
3．如果正整数两两互素，则。
4．对于任意整数设，则由，知与的最小公倍数为。于是与的最小公倍数为，由此得到
对非零整数有
特别地，当时，。
（二）它们在解题中具体怎么应用？
四、习题检测
1．求最小公倍数：。
2．求所有的整数，它除以2，3，4，5，6，7，8，9，10的余数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9。
3．求所有的正整数，它除以3，7的余数都是2，再从这些正整数里面找出一个最小的数，使它除以5的余数是3。
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