课
题
10.5分式方程（2）
教
学目
标
知识目标
经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。
能力目标
了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性。
情感目标
经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。
教学重点
分式方程的检验方法
教学难点
增根产生的原因及应用
教具准备
课件等
教
师
教
学
过
程
一、预习导学1．解分式方程时为什么会产生增根？（简单地说，在将分式方程转化为整式方程时，扩大了末知数的取值范围。）2．如何检验整式方程的根为原方程的增根呢？（使最简公分母为零的末知数的值或使组成分式方程的某个分式的分母为零的末知数的值，为原方程的增根。）3.
当为何值时，分式方程
有增根？4.
当为何值时，分式方程
无解？【设计意图】：增根产生的原因、分式方程有增根与无解的关系等，对学生数学素养要求比较高，需要思维有深度有广度，而课堂的时间是有限的，利用课后时间来充分的思考与尝试解答，更利于课堂上合作交流的效果。]二、新知启习（一）学习目标1.熟练解答可化为一元一次方程的分式方程。2.了解解分式方程时产生增根的原因，会检验根的合理性。3.已知分式方程（含字母）解的情况，会求所含字母的取值（范围）。【设计意图】：明确学习内容，根据预习情况，让每一位同学做到听课时高效参与，张弛有度。（二）回顾与思考1.什么是分式方程？分母中含有未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的基本思想方法是什么？化归思想，即去分母化为熟悉的整式方程（一元一次方程）。3.解分式方程的一般步骤有哪些？一、去分母化为整式方程；二、解整式方程；三、检验整式方程的解是否是原分式方程的解，并下结论说明原方程解的情况。【设计意图】：熟练解答可化为一元一次方程的分式方程，是本节内容的重中之重。弄清解分式方程的基本思想与一般步骤，是准确完整解答的关键。（三）情境创设4.
解方程：展示学生解答中的典型错误。解：方程两边同乘3(x-2)，得
3(5x-4)=4x+10-3(x-2).
解得x=2.
把x=2代入原方程，分式
的分母都为0，没有意义.
【设计意图】：强化训练解分式方程，同时查找出现的典型错误并及时纠正，提高解方程的准确性。根据上节课的学习，大部分同学把x=2代入原方程左右两边检验时，分母是0无意义，为本节课的研讨创设情境----增根的出现。（四）探索活动（1）方程两边同乘以最简公分母
，得整式方程
，解这个整式方程得：
。【设计意图】：强化解答的核心步骤与方法，同时说明增根产生的根源就在前两步---去分母化为整式方程、解整式方程。凸显方程两边同乘的最简公分母可能是真正的根源。（2）在这里，x=2是原方程的根吗？为什么？说明：在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。增根：如果由变形后的方程求出的解不适合原方程，那么这个解就叫做原方程的增根．【设计意图】：了解增根的概念，由变形后的方程求出的解不适合原方程，让学生对方程两边同乘的最简公分母可能是产生增根的真正根源，有更深入的思考。（3）你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根？增根产生的原因是什么？观察思考：①2≠3，两边同乘以0，可得：2×0=3×0不等号变成等号，原因是什么？②
使等式x+2=x-1成立的未知数x的值是多少？
两边同乘以x，得：x（x+2）
=x（
x-1
）
去括号：x2+2x=x2-x,
移项合并同类项：3x=0,系数化为1，得：x=0。显然X=0不能是等式成立，是增根，产生此增根的原因是什么？以上两个问题的原因都是两边乘以0的式子形成的。解分式方程产生增根是第一步去分母时，方程两边同乘以最简公分母引起的；产生增根的原因是：我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式。事实上，在将分式方程转化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围。【设计意图】：通过观察思考，借助学生对不等式性质2（不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.）的理解（如果两边同乘以0，则不等式变成等式），对增根产生的根源有更进一步认识。同时对x+2=x-1的研究，也为后面研究分式方程无解埋下伏笔。（4）因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。你能用比较简洁的方法检验解分式方程产生的增根吗？方法：把求出的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值等于0，则求出的根是原方程的增根。【设计意图】：说明检验的合理性、科学性与必要性，明确检验的方法。三、例题引学：例1.解下列方程：
（1）＝
（2）－＝教师示范出简洁规范的解题过程。解：（1）方程两边同乘x(x+1)，得30(x+10)=20x
解这个方程，得x=-3
检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0，
x=-3是原方程的解.
（2）方程两边同乘(x+2)(x-2)，得(x-2)2-(x+2)2=16
解这个方程，得x=-2
检验：当x=-2时，
(x+2)(x-2)=0,因此x=-2是增根，所以原方程无解.
问题思考：代入方程左右两边的检验有价值吗，有必要吗？【设计意图】：熟练增根检验的方法，问题思考让学生明确代入方程左右两边的检验也是必不可少的（不必写出来，可再稿纸上进行），可以检查自己解答的准确性。四、课堂练习：课本P116练习 每组一题，比一比，赛一赛。【设计意图】：以本为本，让学生清楚本节课学习的内容在书本上哪一页，利于课后的学习延伸。每组一题，比一比，赛一赛，一为节约时间，更为激发斗志，活跃气氛。五、中考链接：1.当为何值时，分式方程
有增根？问题思考：（1）有增根，增根一定是什么？；（x=3）（2）增根不是原分式方程的根，但确是去分母后的整式方程的解，你认为解题步骤是什么？（教师板书解答过程）同步练习：解关于x的方程
时产生增根，则增根一定是
，常数m的值是
.2.当为何值时，分式方程
无解？问题思考：（1）你对方程无解是如何理解的？（2）除了因为产生增根，可能造成无解，还有其他可能吗？观察思考：解关于x的方程：ax=b
（a、b为常数）解：当a≠0时，方程有唯一的解x=
b/a
当a=0，b=0时，方程有无数个解；
当a=0，b≠0时，方程无解。
小结：分式方程无解，是因为去分母化成的整式方程无解或整式方程的解是原方程的增根。
3.若关于x的方程
的解为正数，则m的取值范围是（
）.A.m＜4;
B.m＞4;
C.m＞0;
D.m＜4且m≠1问题思考：（1）解为正数是什么意思？（x>0）（2）解题步骤是什么？（去分母化为整式方程，并解出整式方程，解中含有字母m）（3）根据x>0,可得关于字母m的不等式的解集，该解集就是m的取值范围吗？选择A吗？（4）观察D选项，你有什么发现？由第1题的解答，可知m=1时方程有增根，此时原方程无解。（5）为什么一定要把出现增根时的m的值舍去呢？（因为增根x=3也包含在解为正数的范围内）【设计意图】：通过研讨解答，让学生对增根在命题中的应用有更进一步的了解。同时掌握不同题型的解题步骤与方法。一、熟练掌握“有增根”的解题步骤：去分母化为整式方程，把增根代入整式方程，求得字母的值。二、了解有增根与无解的区别：有增根可能是无解的一个原因，另一个原因可能是去分母后的这是方程本身就无解，即ax=b,当a=0,b≠0时，使等式成立的x值不存在。三、根据解的范围，可得字母的范围，同时应考虑增根如果也在解得范围内，对应的字母的值应舍去。六、检测反馈1．解下列分式方程：（注意步骤要齐全）（1）-
=0．
（2）2.若方程会产生增根，试求k的值：七、课堂小结：1.
解分式方程的一般步骤是什么？解分式方程和我们前面学习的解一元一次方程有什么样的不同之处？又有什么样的联系？2.
谈谈你解分式方程的转化思想？3.
谈谈本节课你有什么样的收获？
板书设计
10.5分式方程（2）1.化归思想
分式方程---------------一元一次方程2.增根
使最简公分母等于0的根3.无解
（1）产生增根
（2）整式方程无解解方程：解：方程两边同乘以最简公分母3(x-2)，得
3(5x-4)=4x+10-3(x-2).
解整式方程，得x=2.
检验：把x=2代入3(x-2)=3x(2-2)=0.
因此
x=2是增根，所以原方程无解。
教学反思
一、两个关键，即去分母化为整式方程与解整式方程是最关键的两步，对大部分同学来讲，仍要加强解题训练，尤其是去分母漏乘、移项变号等问题，还要反复强化。二、两种检验，即增根检验与代入方程左右两边检验都不可少，尤其是代入方程左右两边检验，可以帮助学生自我检查。三、两个方面，中考链接3中，首先去分母化为整式方程，并解出整式方程（解中含有字母m），再由解为正数，即x>0,可求出字母m的范围；观察发现增根x=3恰好是正数，也要代入整式方程求出相应的字母m的值，并从m的范围中去除。
去分母
PAGE课
题
10.5
分式方程（1）
备课教师
教
学目
标
1、经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用2、知道分时方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
教学重点
将实际问题中的等量关系用分式方程表示。解分式方程。
教学难点
将实际问题的等量关系用分式方程表示。将分式方程转化为整式方程。
教具准备
课件多媒体等
教
师
教
学
过
程
设计说明
一语言引入分式概念及运算，继续学习分式有关知识。二、新课（一）情境创设：1、甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？（表格分析数量关系）设甲每天加工服装x件，可得方程：
2、一个两位数的各位数字是4，如果把各位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？（表格分析数量关系）设这个两位数的十位数字是x，可得方程：
3、某校学生到距离学校15km的山坡上植树，一部分学生骑自行车出发40min后，另一部分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达。已知汽车的速度是自行车的速度的3倍。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？（表格分析数量关系）设自行车的速度为xkm/h，可得方程：
也可以设时间为未知数（二）归纳概念：1、上面所得到的方程有什么共同特点？2、这些方程与整式方程有什么区别？结论：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。类比：数式分类，将方程进行分类。学生再举例（2个学生）3、概念辨析：【判断下列方程是否为分式方程】，，，（三）探索解法：4、四个方程中选择一个解＝，
选择解这个一元一次方程说出选择的理由。依据等式的两条性质，师生边回忆边解，共同解出这道题。5、类比：这个方程，解＝，
6、两个方程中选择一个解，说出选择的理由。五、归纳梳理。总结知识方法1、你怎样理解“分式方程模型”的作用？2、关于“解分式方程”重要思想是什么？教学目标达成1、实际问题列出方程，体会分式方程模型作用。
2、会解可化为一元一次方程的分式方程。
3、经历建模转化过程，感受知识与方法的内在联系
感受学习必要性用表格表示数量关系感受分式方程模型作用选择理由体会如何解分式方程整理解方程步骤及注意点
等式
方程
一元一次
二元一次
一元一次
二元一次
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