福建省南安市柳城县高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

2021年柳城中学高一下数学期中试题
一、单选题
1.设复数false（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若向量false，false，false与false共线，则实数k的值为（ ）
A.false B.false C.1 D.2
3.已知正三角形ABC的边长为false，那么false的直观图false的面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.在false中，false，false，false，则此三角形（ ）
A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定
5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为false的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则false（ ）
A.false B.false
C.false D.false
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ）
A.17斛 B.25斛 C.41斛 D.58斛
8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知falsefalse，false，false，false，则BC的长为（ ）
A.false B.5 C.false D.7
二、多项选择题
9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A.若复数false（i为虚数单位），则false
B.若复数z满足false，则false
C.若复数false，则z为纯虚数的充要条件是false
D.若复数z满足false，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
10.已知false，false是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A.若false，false，则false
B.若false，false，则false
C.若false，false，则false
D.若false，false，false，则false
11.下列结论正确的是（ ）
A.在false中，若false，则false
B.在锐角三角形ABC中，不等式false恒成立
C.在false中，若false，false，则false为等腰直角三角形
D.在false中，若false，false，三角形面积false，则三角形外接圆半径为false
12.在false中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ）
A.false
B.false
C.若false，则false是false在false的投影向量
D.若点P是线段AD上的动点，且满足false，则false的最大值为false
二、填空题
13.已知复数false（i为虚数单位），则false_________.
14.已知向量false，false夹角为false，false，false ，则false_________.
15.在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若false，且false，则false的值为_________.
16.已知一个高为false的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为false的等边三角形，则三棱锥的表面积为_________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_________.
四.解答题
17.己知向量false，false，false是同一平面内的三个向量，其中false
（Ⅰ）若false，且false，求向量false的坐标；
（Ⅱ）若false是单位向量，且false，求false与false的夹角false.
18.如图，在三棱锥false中，false ，false底面ABC.M，N分别为PB，PC的中点.
（1）求证：false平面ABC；
（2）求证：平面false平面PAC；
（3）若false，求三棱锥false的体积
19.在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知false.
（1）求角A的大小；
（2）若false，false求c的值.
20.已知复数false，false，且false，其中A、B、C为false的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边.
（1）求角B的大小；
（2）若false，求false的面积.
21.如图所示，在正方体false.
（1）求AC与false所成角的大小；
（2）求证：平面false平面false；
（3）若E，F分别为AB，AD的中点，求EF与平面false所成角的正切值.
22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足false.
（1）求证：false；
（2）已知false，false，false，false若false的最小值为false，求false的最大值.
2021年柳城中学高一下数学期中试题答案
1.【答案】A【分析】根据复数的乘法运算可得到结果.
【详解】复数false，对应的点坐标为false，在第一象限故选：A.
【点睛】在复平面上，点false和复数false一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义.复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化.由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了，属于基础题.
2.【答案】B
【分析】由题意结合平面向量线性运算的坐标表示可得false，false，再由平面向量共线的性质即可得解.
【详解】∵向量false，false，
∴false，false，
又false与false共线，∴false，解得false故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及平面向量共线的性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
3.【答案】D
【分析】作出原图和直观图，然后求面积.
【详解】如图，直观图false的底边false长度为原图形的底边长，高为原图形的高CD的一半乘以false，故其直观图面积为false.
【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积.熟记作图原则是关键，属于基础题.
4.【答案】
【分析】利用正弦定理列出关系式，把a，b，false的值代入求出false的值，即可做出判断.
【详解】∵在false中，false，false，false，
由正弦定理false得：false，
又∵false，∴此三角形有两解.故选：B.
【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的情况，解题关键是能够熟练掌握正弦定理，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
5.【答案】D
【分析】先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的表面积.
【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为false，
所以圆柱的侧面积为false.故选：D.
【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题，考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力，关键在于求出圆柱的底面圆的半径，属于中档题.
6.【答案】C
【分析】利用三角形相似推出false，再利用边的比例关系及平行四边形法则即可求解.
【详解】∵false，false，∴false
∴false，
∴false.故选：C.
【点睛】本题考查用基底表示向量、平面向量线性运算，属于基础题.
7.【答案】C
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，则false，解得false，
故米堆的体积为false，
∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴false，故选：C.
【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算，属于基础题.
8.【答案】A
【分析】在false中，由正弦定理求出false，再根据诱导公式求出false，最后在false中，由余弦定理计算可得：
【详解】解：在false中，由正弦定理可得false，即false，
所以false，又因为false，
所以false
在false中，由余弦定理可得false
即false
所以false，故选：A.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
9.【答案】AD
【分析】根据复数的运算及相关概念一一判断可得；
【详解】解：对于A：false，false，false，
所以false，
故A正确；
对于B：设false，false，所以false，若false，则false，则false，false或false，false或false，当false时false，故B错误；
复数false，则z为纯虚数的充要条件是false且false，故C错误；
若复数z满足false，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；
故选：AD.
【点睛】本题考考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.
10.【答案】ACD
【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论.
【详解】解：
若false，则false且false使得false，false，又false，则false，false，由线面垂直的判定定理得false，故A对；
若false，false如图，设false，平面false为平面false，false，设平面false为平面false，false，则false，故B错；
垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；
若false，false，则false，又false，则false，故D对；故选：ACD.
【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题.
11.【答案】ABC
【分析】对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B，利用余弦定理false，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到false，利用正弦定理边化角公式得到false，再化简即可判断选项C正确.对选项D，首先利用面积公式得到false，利用余弦定理得到false，再利用正弦定理false即可判断D错误.
对选项A，在false中，由false，故A正确.
对选项B，若false，则false，
又因为false，所以A为锐角，符合false为锐角三角形，故B正确.
对选项C，false，整理得：false.
因为false，所以false，即false.
所以false，即false，
false，
又false，又false，所以false.
故false，则false为等腰直角三角形，故C正确.
对选项D，false，解得false.
false，所以false.
又因为false，false，故D错误.故选：ABC
【点睛】主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属中档题.
12.【答案】BCD
【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确对选项C，首先根据已知得到AD为false的平分线，即false，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据A，P，D三点共线，设false，false，再根据已知得到false，从而得到false，即可判断选项D正确.
【详解】如图所示：
对选项A，false，故A错误.
对选项B，false
false
false，故B正确.
对选项C，false，false，false分别表示平行于false，false，false的单位向量，
由平面向量加法可知：false为false的平分线表示的向量.
因为false，所以AD为false的平分线，
又因为AD为BC的中线，所以false，如图所示：
false在false的投影为 false，
所以false是false在false的投影向量，故选项C正确.
对选项D，如图所示：
因为P在AD上，即A，P，D三点共线，设false，false.
又因为false，所以false.
因为false，则false，false.
令false，
当false时，false取得最大值为false.故选项D正确.故选：BCD
【点睛】主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属中档题.
13.【答案】false
【分析】首先化简false，求出z的共轭复数，再求模长即可.
【详解】false，
false，false.故答案为：false.
【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查复数的四则运算和共轭复数，属于简单题.
14.【答案】false
【分析】首先根据向量数量积的运算律计算false，再开根即可.
【详解】因为向量false，false，夹角为false，false，false
所以false，
所以false.故答案为：false.
【点睛】本题考查向量的数量积，涉及向量数量积的运算律、向量的模，属于基础题.
15.【答案】false
【分析】由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为false，false，求得false后代入运算即可得解.
【详解】∵false，∴false，
∴false，由false可得false，又false，∴false，
∴false.故答案为：false.
【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考査了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.
16.【答案】（1）false （2）false
【分析】画出图形，取BC的中点E，连接AE、PE，设false的中心为O，连接PO，由题意结合正三棱锥的几何特征可得false、false，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.
【详解】由题意，三棱锥false如图所示：
取BC的中点E，连接AE、PE，
由正三角形的性质可得false的中心O在线段AE上，
且false，
连接PO，则PO即为该三棱锥的高，即false，所以false，
又false，所以false，所以false，
又false，
所以三棱锥的表面积false；
所以该三棱锥的体积false，
当球与三棱锥false内切时，体积最大，设三棱锥false的内切球的半径为R，
则false，解得false，
则false.故答案为false；false.
【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.
17.【答案】（Ⅰ）false，或false；（Ⅱ）false.
（Ⅰ）设向量false的坐标为false运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量false的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为0，可求得false，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.
【详解】（Ⅰ）设false，由false，且false可得false，所以false或false，
故false，或false
（Ⅱ）因为false，且false，所以false，即false，
所以false，false，故false，false.
18.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）false.
【分析】（1）由题意可得false，再利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）由线面垂直的性质定理可得false，再由false，利用线面垂直的判定定理可得false平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证出.
（3）利用等体法：false
【详解】证明：（1）M，N分别为PB，PC的中点，所以false，false平面ABC，false平面ABC，所以false平面ABC；
（2）false底面ABC，false平面ABC，所以false，
因为false，所以false，又false，
所以false平面PAC，false平面ABC，所以平面false平面PAC；
（3）由（2）知，false ，false平面PAC，所以false平面PAC，false，
在三角形PAC中，false，false，false，
所以false.
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求三棱锥的体积，考查了考生的推理能力，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.
19.【答案】（1）false；（2）false.
【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得false，从而得A；
（2）由两角和的正弦公式和诱导公式求得false，再由正弦定理可得c.
【详解】解：（1）由正弦定理可得false，
由余弦定理得false，因为false，所以false；
（2）由（1）可知false，因为false，B为false的内角，所以false，
故false
false，
由正弦定理false得false.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，解题关键是用正弦定理进行边角转换.
20.【答案】（1）false；（2）false
【分析】（1）根据复数相等可得false，变形化简即可求出B；
（2）根据false，false，false，利用余弦定理可求出ac，代入三角形面积公式即可.
【详解】（1）∵false，∴false①，false②，
由①得false，即false，
∵false，∵false，∴false；
（2）∵false，由余弦定理得false，即false，④
由②得false⑤，
由④⑤得false，
∴false.
【点睛】本题主要考查了复数相等，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变形，属于中档题.
21.【答案】（1）false；（2）false
【分析】（1）由false是正方体，可得从而false与AC所成的角就是AC与false所成的角，根据三角形的几何性质即可求解.
（2）连接BD，所以false，所以EF与平面false所成角即等于BD与平面false所成角，即角false即为所求，根据边长关系，即可求得false正切值.
【详解】解：（1）如图所示，连接false，false ，由false是正方体，
易知false，从而false与AC所成的角就是AC与false所成的角，
∵false，∴false，
即false与AC所成的角为false.
（2）连接BD与AC交于点O，因为false，false，且false，
所以false平面false，所以平面false平面false，
（3）在正方体false中，∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴false，所以EF与平面false所成角即等于BD与平面false所成角，
连接false，所以false即为BO在平面false的射影所在的线段；false即为BO与平面false所成的角，设该正方体边长为2，得false，false，false，
所以EF与平面false所成角的正切值为false.
【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角、线面角的求法，解题的关键在于通过平移找到线线角、线面角，并根据几何性质求解，属中档题.
22.【详解】（1）由题意知A，B，C三点满足false，
可得false，所以false，即false
即false，则false
（2）由题意，函数false
false
因false，所以false
当false时，false取得最小值false，
当false时，当false时，false取得最小值false，
当false时，当false时，false取得最小值false，
综上所述，false ，可得函数false的最大值为1，即false的最大值为1.