18.3平行四边形 单元复习(2)--2020-2021学年人教版八年级数学下册专题复习提升训练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 18.3平行四边形 单元复习(2)--2020-2021学年人教版八年级数学下册专题复习提升训练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-08 07:22:07 | ||
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文档简介
专题复习提升训练卷18.3《平行四边形》单元训练(2)-20-21人教版八年级数学下册
一、选择题
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD
3、如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．2
4、如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．5
5、如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），
则平行四边形ABCO的周长等于（ ）
A． B． C．4 D．6+2
6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形 B．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
C．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形 D．若BD=CD，则四边形AEDF是正方形
7、如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，
则下列结论一定正确的是( )
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
8、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9、如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ）
A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5
10、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
二、填空题
11、如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，
则AB+BC的长为 ．
12、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
13、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，
则矩形ABCD的面积是 ．
14、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，
则EF的长为 ．
15、如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P.
若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD＝，
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
16、如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为 ．
17、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于
点Q，则PQ＝ ．
18、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
则EF的最小值为 ．
19、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
20、如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；
④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
21、在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．
22、如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
23、△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.
(1)如图1所示，当点D在线段BC上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
(2)如图2所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
24、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
（1）求证：EA是∠QED的平分线；
（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．
25、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接、．
（1）试猜想与的位置关系和数量关系： ， ．
（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
26、如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC＝90°，如图2所示：
①求证：∠ADO＝∠BCO；
②若∠EOD＝15°，AE＝1，求OC的长．
27、如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形．
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结、、，
①求证：；
②求的度数；
（3）若，，，是的中点，求的长．
专题复习提升训练卷18.3《平行四边形》单元训练(2)-20-21人教版八年级数学下册（答案）
一、选择题
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ B ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ C ）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD
3、如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（B ）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．2
4、如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ B ）
A． B． C．3 D．5
5、如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），
则平行四边形ABCO的周长等于（ D ）
A． B． C．4 D．6+2
6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形 B．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
C．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形 D．若BD=CD，则四边形AEDF是正方形
解：∵DE//AC，DF//AB，∴四边形AEDF是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，
又∵∠EAD=∠FDA，∴∠FAD=∠FDA，∴FA=FD，∴平行四边形AEDF是菱形，
故选项B正确，不符合题意；
∵AB⊥AC，∴平行四边形AEDF是矩形，故选项C正确，不符合题意；
若BD＝CD，则四边形AEDF不一定是正方形；选项D错误，符合题意．
故选D．
7、如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，
则下列结论一定正确的是( )
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质可得∠BAC ＝∠EAC, ∴∠ACD＝∠EAC，∴AE＝CE. 故选D
8、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ C ）
A． B． C． D．
9、如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ D ）
A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5
10、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
则PE+PF的值为（ C ）
A．4 B．2 C． D．2
二、填空题
11、如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，
则AB+BC的长为 14 ．
12、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°. ∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.
又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．
如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB， 又∵AE＝AF，∴AD＝AB.
13、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，
则矩形ABCD的面积是 4 ．
14、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，
则EF的长为 ．
15、如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P.
若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD＝，
其中正确结论的序号是( A )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
16、如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为 4 ．
17、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于
点Q，则PQ＝ ．
18、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
则EF的最小值为 3 ．
19、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
【解析】①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，
∴∠B＝180°－∠C＝60°，故①正确；
②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，
但是AE不一定等于AF，故②错误；
③若AE＝AF，则BC·AE＝CD·AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；
④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC·AE＝CD·AF，∴AE＝AF，故④正确；
故答案为①③④.
20、如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；
④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是 ①②③ ．
三、解答题
21、在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形为平行四边形，∴，，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可得，BE=DF，
∵，∴，
根据△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得：△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABD和△BCD的面积相等，
同理可得△BEC和△DFC的面积是△BCD面积的，
∴，，，的面积都等于面积的．
22、如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴．
又∵，∴．
（2）补充的条件是：．（答案不唯一）
证明：∵四边形是平行四边形，∴，．
∵，∴．∴四边形是平行四边形．
又∵，∴四边形是菱形．
23、△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.
(1)如图1所示，当点D在线段BC上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
(2)如图2所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
解：(1)四边形BCGE是平行四边形．
理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°.
又∵∠EAB＝∠EAD－∠BAD，∠DAC＝∠BAC－∠BAD，∴∠EAB＝∠DAC.
∴△AEB≌△ADC(SAS)．∴∠ABE＝∠C＝60°.
又∵∠BAC＝∠C＝60°，∴∠ABE＝∠BAC.，∴EB∥GC.
又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．
(2)当CD＝CB(∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°)时，四边形BCGE是菱形．
理由：由(1)得△AEB≌△ADC， ∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE＝120°.
又∵∠ABC＝∠ACB＝∠DCG＝60°，
∴∠EBC＝∠ABE－∠ABC＝120°－60°＝60°＝∠DCG. ∴BE∥CG.
又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．
又∵CD＝CB，∴BE＝CD.
∴BE＝BC，∴四边形BCGE是菱形．
24、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
（1）求证：EA是∠QED的平分线；
（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中，，∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠ABQ＝45°，
∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，∴EF＝．
25、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接、．
（1）试猜想与的位置关系和数量关系： ， ．
（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【解析】（1）答：；
证明：如图1中，延长交于点．
在正方形与正方形中，，，，
，，，
，，
，．
故答案为，．
（2）答：成立；
证明：如图2中，延长和相交于点．
在正方形和正方形中，
，，，
；，，，
又，，，
又，，，
， ．
26、如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC＝90°，如图2所示：
①求证：∠ADO＝∠BCO；
②若∠EOD＝15°，AE＝1，求OC的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，∴∠AEB＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）①证明：过O作ON∥BC交DC于N，如图2所示：
∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴AD∥ON∥BC，
∵O为BE的中点，∴N为DC的中点，ON⊥DC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADO＝∠BCO；
②解：过O作OM作BC于M，如图3所示：
∵四边形ABFE是平行四边形，AB＝AE，∠ABC＝90°，∴四边形ABFE是正方形，
∴EF＝BF＝AE＝1，∠BFE＝90°，∠AEB＝∠AEF＝45°，
∵O为BE的中点，∴OF＝BE＝OB，
∵OM⊥BC，∴BM＝FM，∴OM是△BEF的中位线，∴OM＝EF＝，
∵∠EOD＝15°，∴∠ADO＝∠AEB﹣∠EOD＝45°﹣15°＝30°，
由（2）得：∠BCO＝∠ADO＝30°，∴OC＝2OM＝1．
27、如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形．
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结、、，
①求证：；
②求的度数；
（3）若，，，是的中点，求的长．
【解析】（1）证明：平分，，
四边形是平行四边形，，，
，，，，
又四边形是平行四边形，四边形为菱形；
（2）①四边形是平行四边形，，，，
，，
由（1）知，四边形是菱形，，，
，，
，，
是的平分线，，
，，，
，，；
②，，，，
，是等边三角形，，，
，是等边三角形，；
（3）如图2中，连接，，
，四边形是平行四边形，四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，，四边形为正方形．
，，
为中点，，，
在和中，，，
，．
，是等腰直角三角形．
，，，．
一、选择题
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD
3、如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．2
4、如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．5
5、如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），
则平行四边形ABCO的周长等于（ ）
A． B． C．4 D．6+2
6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形 B．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
C．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形 D．若BD=CD，则四边形AEDF是正方形
7、如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，
则下列结论一定正确的是( )
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
8、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9、如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ）
A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5
10、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
二、填空题
11、如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，
则AB+BC的长为 ．
12、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
13、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，
则矩形ABCD的面积是 ．
14、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，
则EF的长为 ．
15、如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P.
若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD＝，
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
16、如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为 ．
17、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于
点Q，则PQ＝ ．
18、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
则EF的最小值为 ．
19、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
20、如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；
④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
21、在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．
22、如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
23、△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.
(1)如图1所示，当点D在线段BC上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
(2)如图2所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
24、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
（1）求证：EA是∠QED的平分线；
（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．
25、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接、．
（1）试猜想与的位置关系和数量关系： ， ．
（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
26、如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC＝90°，如图2所示：
①求证：∠ADO＝∠BCO；
②若∠EOD＝15°，AE＝1，求OC的长．
27、如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形．
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结、、，
①求证：；
②求的度数；
（3）若，，，是的中点，求的长．
专题复习提升训练卷18.3《平行四边形》单元训练(2)-20-21人教版八年级数学下册（答案）
一、选择题
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ B ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ C ）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD
3、如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（B ）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．2
4、如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ B ）
A． B． C．3 D．5
5、如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），
则平行四边形ABCO的周长等于（ D ）
A． B． C．4 D．6+2
6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形 B．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
C．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形 D．若BD=CD，则四边形AEDF是正方形
解：∵DE//AC，DF//AB，∴四边形AEDF是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，
又∵∠EAD=∠FDA，∴∠FAD=∠FDA，∴FA=FD，∴平行四边形AEDF是菱形，
故选项B正确，不符合题意；
∵AB⊥AC，∴平行四边形AEDF是矩形，故选项C正确，不符合题意；
若BD＝CD，则四边形AEDF不一定是正方形；选项D错误，符合题意．
故选D．
7、如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，
则下列结论一定正确的是( )
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质可得∠BAC ＝∠EAC, ∴∠ACD＝∠EAC，∴AE＝CE. 故选D
8、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ C ）
A． B． C． D．
9、如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ D ）
A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5
10、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
则PE+PF的值为（ C ）
A．4 B．2 C． D．2
二、填空题
11、如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，
则AB+BC的长为 14 ．
12、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°. ∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.
又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．
如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB， 又∵AE＝AF，∴AD＝AB.
13、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，
则矩形ABCD的面积是 4 ．
14、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，
则EF的长为 ．
15、如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P.
若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD＝，
其中正确结论的序号是( A )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
16、如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为 4 ．
17、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于
点Q，则PQ＝ ．
18、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
则EF的最小值为 3 ．
19、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
【解析】①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，
∴∠B＝180°－∠C＝60°，故①正确；
②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，
但是AE不一定等于AF，故②错误；
③若AE＝AF，则BC·AE＝CD·AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；
④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC·AE＝CD·AF，∴AE＝AF，故④正确；
故答案为①③④.
20、如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；
④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是 ①②③ ．
三、解答题
21、在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形为平行四边形，∴，，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可得，BE=DF，
∵，∴，
根据△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得：△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABD和△BCD的面积相等，
同理可得△BEC和△DFC的面积是△BCD面积的，
∴，，，的面积都等于面积的．
22、如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴．
又∵，∴．
（2）补充的条件是：．（答案不唯一）
证明：∵四边形是平行四边形，∴，．
∵，∴．∴四边形是平行四边形．
又∵，∴四边形是菱形．
23、△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.
(1)如图1所示，当点D在线段BC上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
(2)如图2所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
解：(1)四边形BCGE是平行四边形．
理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°.
又∵∠EAB＝∠EAD－∠BAD，∠DAC＝∠BAC－∠BAD，∴∠EAB＝∠DAC.
∴△AEB≌△ADC(SAS)．∴∠ABE＝∠C＝60°.
又∵∠BAC＝∠C＝60°，∴∠ABE＝∠BAC.，∴EB∥GC.
又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．
(2)当CD＝CB(∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°)时，四边形BCGE是菱形．
理由：由(1)得△AEB≌△ADC， ∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE＝120°.
又∵∠ABC＝∠ACB＝∠DCG＝60°，
∴∠EBC＝∠ABE－∠ABC＝120°－60°＝60°＝∠DCG. ∴BE∥CG.
又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．
又∵CD＝CB，∴BE＝CD.
∴BE＝BC，∴四边形BCGE是菱形．
24、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
（1）求证：EA是∠QED的平分线；
（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中，，∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠ABQ＝45°，
∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，∴EF＝．
25、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接、．
（1）试猜想与的位置关系和数量关系： ， ．
（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【解析】（1）答：；
证明：如图1中，延长交于点．
在正方形与正方形中，，，，
，，，
，，
，．
故答案为，．
（2）答：成立；
证明：如图2中，延长和相交于点．
在正方形和正方形中，
，，，
；，，，
又，，，
又，，，
， ．
26、如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC＝90°，如图2所示：
①求证：∠ADO＝∠BCO；
②若∠EOD＝15°，AE＝1，求OC的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，∴∠AEB＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）①证明：过O作ON∥BC交DC于N，如图2所示：
∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴AD∥ON∥BC，
∵O为BE的中点，∴N为DC的中点，ON⊥DC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADO＝∠BCO；
②解：过O作OM作BC于M，如图3所示：
∵四边形ABFE是平行四边形，AB＝AE，∠ABC＝90°，∴四边形ABFE是正方形，
∴EF＝BF＝AE＝1，∠BFE＝90°，∠AEB＝∠AEF＝45°，
∵O为BE的中点，∴OF＝BE＝OB，
∵OM⊥BC，∴BM＝FM，∴OM是△BEF的中位线，∴OM＝EF＝，
∵∠EOD＝15°，∴∠ADO＝∠AEB﹣∠EOD＝45°﹣15°＝30°，
由（2）得：∠BCO＝∠ADO＝30°，∴OC＝2OM＝1．
27、如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形．
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结、、，
①求证：；
②求的度数；
（3）若，，，是的中点，求的长．
【解析】（1）证明：平分，，
四边形是平行四边形，，，
，，，，
又四边形是平行四边形，四边形为菱形；
（2）①四边形是平行四边形，，，，
，，
由（1）知，四边形是菱形，，，
，，
，，
是的平分线，，
，，，
，，；
②，，，，
，是等边三角形，，，
，是等边三角形，；
（3）如图2中，连接，，
，四边形是平行四边形，四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，，四边形为正方形．
，，
为中点，，，
在和中，，，
，．
，是等腰直角三角形．
，，，．