云南省大理下关教育集团2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

下关教育集团2020-2021学年高一年级下学期期中考试
数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．下列结论不正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．若false，则false
C．若false，则false
D．若false，false，则false
3．已知复数false满足false，则复数false的虚部为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．一元二次方程false（false）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知false，false，false，则false，false，false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．如图，在正方体false中，false，false，false分别是false，false，false的中点，则下列命题正确的是（ ）
A．false B．false C．false平面falseD．false平面false
7．函数false的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．函数false的最小正周期为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．在false中，false，false，false，则直线false通过false的（ ）
A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心
10．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”掷铁饼者的肩宽约为false米，一只手臂长约为false米（两臂等长），“弓”所在圆的半径约为false米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（ ）
A．false米 B．false米 C．false米 D．false米
11．若向量false，false是不共线的两个向量，false与false共线，当false时，false的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．false D．false
12．已知函数是false上偶函数，且对于false都有false成立，当false，false，且false时，都有false．对于下列叙述；
①false；
②直线false是函数false的一条对称轴；
③函数false在区间false上为增函数；
④函数false在区间false上有四个零点．其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．②④ D．①②④
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知false是任意角，且满足false，则常数false的一个取值为______．
14．将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为______．
15．在山顶铁塔上false处测得地面上一点false的俯角false，在塔底false处测得点false的俯角false，已知铁塔false部分高32米，山高false______．
16．已知定义在false上的函数false满足false且false，函数false的表达式为false，则方程false在区间false上的所有实数根之和为______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分。
17．（本小题满分10分）向量false，false
（1）求向量false的模长；
（2）若向量false，且false，求实数false的值．
18．（本小题满分12分）若向量false，false，设函数false
（1）求false在false上的单调增区间；
（2）在角false为锐角的false中，角false、false、false的对边分别为false、false、false，false且false的面积为3，false，求false的值．
19．（本小题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为false），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为false，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为false，凤眼莲的覆盖面积false（单位：false）与月份false（单位：月）的关系有两个函数模型false（false，false）与false（false，false）可供选择。
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：false，false）．
20．（本小题满分12分）已知false内角false、false、false所对的边分别为false、false、false，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①false；②false；③false；并解答以下问题：
（1）若选______（填序号），求false的值；
（2）在（1）的条件下，若false，求false面积false的最大值．
21．（本小题满分12分）如图所示，已知false是false所在平面外一点，false，false分别是false，false的中点，平面false平面false．
（1）求证：false；
（2）false与平面false是否平行？试证明你的结论．
22．选做题（本小题满分12分，考生在下列两个题中选做一个题，注意，下关一中学生必须选做第2题）．
1．已知定义域为false的单调减函数false是奇函数，当false时，false．
（1）求false的值；
（2）求false的解析式；
（3）若存在false，使得不等式false成立，求实数false的取值范围．
2．已知集合false是满足下列条件的函数false全体：在定义域内存在实数false，使得false成立．
（1）判断幂函数false是否属于集合false？并说明理由；
（2）设false，false，
ⅰ）当false时，若false，求false的取值范围；
ⅱ）若对任意的false，都有false，求false的取值范围．
下关教育集团2020~2021学年高一年级下学期期中考试试题
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
A
C
A
C
D
C
A
D
【解析】
1．false，∴false，故选C．
2．由同乘法则知A，C对，由同加法则知B对，故选D．
3．因为false，所以false，所以复数false的虚部为false，故选B．
4．一元二次方程false（false）有一个正根和一个负根的充要条件是false，即false，而false的一个充分不必要条件是false，故选C．
5．false，false，∵false，∴false，false，则false，故选A．
6．如图1，
A：false和false是异面直线，故选项不正确；
B：false和false是异面直线，故选项不正确；
C：记false，∵在正方体false中，false，false分别是false，false的中点，∴false，false，∴false为平行四边形，∴false，∵false平面false，false平面false，∴false平面false，故选C．
7．false为奇函数，排除C，D，易知false，故选A．
8．由已知，false，∴最小正周期为false，故选C．
9．false，又false，false在false的平分线上，故选D．
10．
掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，即如图2中的false及弦false，取false的中点false，连接false．由题设可得false的弧长为false，而false，故false，故false的长度为false，故选C．
11．因为false与false共线，由平面向量共线定理可知false，所以false，所以false，因为false，所以false，当且仅当false，即false时，等号成立，故选A．
12．根据题意，对于①，在false中，令false可得，false，即false，又由函数false是false上偶函数，则false，则①正确；对于②，由①可得，false，又由false，则有false，即false是以6为周期的函数，又由函数false是false上的偶函数，即false的一条对称轴为false轴，即false，则直线false也是函数false的一条对称轴，②正确；对于③，由当false，都有false，可得false在false上为单调递增函数，又由函数false是false上的偶函数，则false在false上为递减函数，又由false是以6为周期的函数，则函数false在区间false上为递减函数，③错误；对于④，由①可得，false，又由false是以6为周期的函数，则false，false，即函数false在区间false上有四个零点，④正确；正确的命题为①②④，故选D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
题号
13
14
15
16
答案
false（答案不唯一，需满足false，false，比如false）
false
false
false
【解析】
14．几何体是一个高为1，底面半径为1的圆锥，false．
15．设false，则由三角形相似比得false，求得false．
16．法一：由题意，当false时，false，false；当false时，false，即false，解得false；当false时，false，false，无解；当false时，false，false，无解；当false时，false，false，无解；当false时，false，false，无解；当false时，false，false，则false，解得false；则false；当false时，false，可得所有根之和为false．
法二：函数false满足false则false关于点false对称，又因为false，故false关于点false对称，false也关于点false对称，如图3，
false过点false和false，false，false，由于点false不在false上，所有根之和为false．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）false，false．
（Ⅱ）false，且false，
∴false．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）false，
false
false
false，
令false（false），
得false（false），
∴false在false上的单调递增区间为false（false）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得false，
∴false，
因为false，所有false，
从而false，
∴false，
又∵false，
∴false，又false，
∴false
false
false，
∴false．
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数false（false，false）与false（false，false）在false上都是递增函数，随着false的增加，函数false（false，false）的值增加的越来越快，而函数false的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型false（false，false）符合要求．
根据题意可知当false时，false；
当false时，false，
∴false解得false
故该函数模型的解析式为false，false，false．
（Ⅱ）当false时，false，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是false，
由false，得false，
∴false，
∵false，∴false，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）若选①，因为false，
由正弦定理有false，
即false，
所以false，
在false中，false，
所以false．
若选②，∵false，
∴false，
∵在false中，false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false或false（舍），
∴false．
若选③，因为false，由正弦定理有false，
因为在false中，false，
所以false，
又false，false为锐角，
解得false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，false，
由false，false为锐角，得false，
∴由余弦定理可知，false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false，当且仅当false时等号成立，
∴false面积false，
所以false面积false的最大值为false．
21．（本小题满分12分）
法一：（Ⅰ）证明：因为false，false平面false，false平面false，
所以false平面false，
又因为平面false平面false，所以false．
（Ⅱ）解：平行．
如图4，取false的中点false，连接false，
可以证得false，且false，
可知四边形false为平行四边形，
∴false．
又false平面false，false平面false，
所以false平面false．
法二：（Ⅰ）证明：由于false，
false平面false，false平面false，
∴false平面false．
又因为平面false平面false，
所以false，故false．
（Ⅱ）解：平行．
如图5，设false是false的中点，连接false，false，
则false，false，
而false，所以平面false平面false，
而false平面false，
所以false平面false．
22．（选做题，本小题共12分，请从以下两题中任选一题作答，下关一中考生须选22题第2题作答）
1．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为定义域为false的函数false是奇函数，
所以false．
（Ⅱ）因为当false时，false，所以false，
又因为函数false是奇函数，所以false，所以false，
综上，false
（Ⅲ）由false，得false，
因为false是奇函数，所以false，
又false在false上是减函数，所以false，
即false对任意false恒成立，
令false，则false，
由false，解得false，
故实数false的取值范围为false．
2．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）false，理由如下：令false，
则false，即false，
解得false，false，均满足定义域false，
当false时，false．
（Ⅱ）（ⅰ）当false时，false，
∵false，∴false∴false，
由题知false在false上有解，
∴false，
∴false（false），令false，则false，
∴false，即false，
∴false，false，
从而，原问题等价于false或false，
∴false或false，
又false在false上恒成立，
∴false，∴false．
（ⅱ）由（ⅰ）知：对任意false，false在false上有解，
∴false，
即false（false），令false，则false，
则false在false上有解，
令false，false，
则false即false
由false，可得false
令false，
则false
∴false
∴false．