重庆外国语学校
高2022届2020—2021学年(下)
6月月考
数学试题
（满分150分，120分钟完成）
1、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
请将正确答案的代号填涂在答题卡上.)
1.
已知集合，则集合的真子集的个数为
A．3
B．4
C．7
D．8
2．若，则一定有
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，当时，实数的值为
A．
B．
C．
D．
4．下列说法错误的是
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”的否定是”
C．“是"”的必要不充分条件
D．“或是"”的充要条件
5．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：
①函数在区间上单调递减；
②若，则；
③函数在上有3个极值点；
④若，则．
其中正确命题的序号是（
）
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
6．
函数在处有极小值，且极小值为，则
A．
B．
C．
D．或
7．
当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然
严峻、复杂.某地区安排五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且两人安排在同一个地区，两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为
A．86种
B．64种
C．42种
D．30种
8．
若存在两个正实数使得等式成立，则实数的范围是
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为
A．
B．
C．的共轭复数为
D．的虚部为1
10．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是
A．2至3月份的支出的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
B．利润最高的月份是3月份和10月份
C．第三季度平均月收入为5000元
D．支出最高值与支出最低值的比是
11．在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断正确的是
A．若平面，则为的中点
B．平面平面
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．若，则
12．设函数，若有4个零点，则的可能取值有
A．1
B．2
C．3
D．4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．二项式的展开式中常数项为
．
14．函数的图象在点处的切线方程为
．
15．设抛物线的焦点为，点为上一点，若，则直线的倾斜角为
．
16．已知是定义在上的函数，是的导函数，且，则不等式的解集是
．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中，18、19、20、21、22题各12分，17题10分，把解答过程写在答题卡相应位置上)
17．已知等差数列中,
,
,数列中,
,其前项和满足．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设,求数列的前项和．
18．已知向量.
（1）求的最大值；
（2）在中，是角的对边，若且，求的周长的最大值.
19．作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020－2021年度棉花产量约595万吨，总需求量约780万吨，年度缺口约185万吨.其中，新疆棉产量520万吨，占国内产量比重约87%，占国内消费比重约67%.新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求.评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）.
纤维长度
A地（根数）
4
9
2
17
8
B地（根数）
2
1
2
20
15
（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”(的观测值精确到0.001)
.
A地
B地
总计
长纤维
短纤维
总计
附：（1）
（2）临界值表；
0．10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（2）
现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为ξ，
求ξ的分布列和数学期望.
20．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
21．已知分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是第一象限内该椭圆上的一点,且满足,求点的坐标；
（2）设过定点的直线与椭圆交与不同的两点,且为锐角，求直线斜率的平方的取值范围.
22．
设函数
（1），讨论函数的单调性；
（2）
若，且当时，不等式恒成立，其中
试求的最大值.
试卷第1页，总3页
试卷第5页，总5页重庆外国语学校高2022届2020—2021学年(下)
6月月考
数学参考答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
A
C
B
A
D
D
AD
BC
ABD
BCD
填空题
13:
;
14:
;
15:
;
16:
解答题
17：（1）
的最大值为
由
得
∴周长的最大值为6
18：(I)
①
②
①-②得,
为等比数列,
解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
A地
B地
总计
长纤维
25
35
60
短纤维
15
5
20
总计
40
40
80
根据列联表中的数据，可得，
因为，
所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”；
（2）由题意可知，抽取的80根棉花纤维中“短纤维”有20根，A地15根，B地5根，从中任意抽取2根做进一步研究，则Ｂ地“短纤维”的根数的可能取值为：0，1，2，
，，，
故的分布列为：
0
1
2
所以
；
20.（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐
标系，则有，，，，
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，
假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
∵平面的一个法向量为，
∴，得.
即，∴或，∴或.
20:（1）
∴,设
，又∵
联立解得∴
（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，
由
又为锐角，∴，
∵
∴
22.解 (1)，，
①当a+1=0即a=-1时，恒成立，所以h(x)在单调递增
②当a+1<0即a<-1时，，令
所以在上，在上
因此上单调递减
③当a+1>0即a>-1时，令
(I)当时，，所以恒成立，因此h(x)在递增
(II)当时，，所以在上，在上
因此上单调递
k(x－2)＋2－2x－x2x－x2＋2－x，
∵x>2，∴k<.令F(x)＝(x>2)，则F′(x)＝.
令m(x)＝x－4－2ln
x(x>2)，则m′(x)＝1－>0，∴m(x)在(2，＋∞)上单调递增.
又m(8)＝4－2ln
8<4－2ln
e2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln
10>6－2ln
e3＝6－6＝0，
∴函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，即x0－4－2ln
x0＝0.
∴当2x0时，m(x)>0，即F′(x)>0，
∴F(x)min＝F(x0)＝＝＝，
∴k<，∵x0∈(8，10)，∴∈(4，5)，又k∈N，∴k的最大值为4.
