人教版九年级上册同步练习21.1　一元二次方程（Word版含答案）

21.1　一元二次方程
知识点
1　对一元二次方程的定义的理解
1.下列5个方程:①2x+1=0;②y2+x=1;③x2-1=0;④x2+=1;⑤x2+5x=(x+3)(x-3).其中是一元二次方程的是　　　　(填序号).?
2.若方程ax2+2x=bx2-1是关于x的一元二次方程,则a,b的值可以是
(　　)
A.1,1
B.,
C.-3,3
D.-3,-3
3.已知关于x的方程(m+2)x|m|+2x-1=0.
(1)当m为何值时,原方程是一元一次方程?
(2)当m为何值时,原方程是一元二次方程?
知识点
2　对一元二次方程的各项系数的判断
4.将下列方程化为一般形式后,常数项为0的方程是
(　　)
A.(x+3)(x-4)=8
B.(x+2)(x-2)=4
C.(2x-5)(3x+4)=-20
D.x(x+5)=2(x+4)
5.将方程2x2+5=(x-2)(x+5)化为一般形式为　　　　　　,二次项系数为　　　　,一次项系数为　　　　,常数项为　　　　.?
命题点
3　一元二次方程的根的应用
6.[2019·兰州]
若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根,则2a+4b的值为
(　　)
A.-2
B.-3
C.-1
D.-6
7.已知x=1是方程x2+mx+n=0的一个根,则代数式m2+2mn+n2的值为
(　　)
A.-1
B.1
C.-2
D.2
8.已知a,b,c满足a+c=b,4a+c=2b,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况为(　　)
A.x1=1,x2=2
B.x1=-1,x2=-2
C.方程的解与a,b的取值有关
D.方程的解与a,b,c的取值有关
9.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程ax2+bx+c=0满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“美好”方程.如果一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程,那么mn的值为
(　　)
A.2
B.0
C.-2
D.3
10.若m是一元二次方程x2+3x-1=0的一个实数根,则2021-m2-3m的值是
(　　)
A.2019
B.2020
C.2021
D.2022
11.根据下表中的数据写出方程x2+3x-4=0的一个根为　　　　.?
x
0
1
2
3
4
x2+3x-4
-4
0
6
14
24
12.根据一元二次方程根的定义,解答下列问题:
一个三角形两边的长分别为3
cm和7
cm,第三边的长为a
cm,且整数a满足a2-10a+21=0,求这个三角形的周长.
解:由题意可得4∵a是整数,
∴a可取5,6,7,8,9.(第二步)
当a=5时,a2-10a+21=52-10×5+21≠0,故a=5不是方程的根.
同理可知a=6,a=8,a=9都不是方程的根,只有a=7是方程的根.(第三步)
∴这个三角形的周长是3+7+7=17(cm).
上述过程中,第一步的根据是　　　　　　　　　　　　　　　　,第三步应用了　　　　　　的数学思想,确定a的值的根据是　　　　　　　.?
命题点
4　从实际问题中抽象出一元二次方程
13.[2019·赤峰]
某品牌手机三月份销售400万部,四月份、五月份销售量连续增长,五月份销售量达到900万部,求月平均增长率.设月平均增长率为x,根据题意列方程为
(　　)
A.400(1+x2)=900
B.400(1+2x)=900
C.900(1-x)2=400
D.400(1+x)2=900
14.[2019·新疆]
在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场,设有x个队参赛,根据题意,可列方程为
(　　)
A.x(x-1)=36
B.x(x+1)=36
C.x(x-1)=36
D.x(x+1)=36
15.某学校为美化校园,准备在长35
m,宽20
m的矩形场地上修建若干条宽度相同的道路(均与矩形场地的边平行),余下部分为草坪,并请全校学生参与方案设计.现有甲、乙、丙3名同学各设计了一种方案,图纸分别如图21-1-1①②③所示(阴影部分为草坪).
请求出每种方案中的道路的宽度(只列方程不求解).
(1)甲同学的设计图纸为图①,设计草坪的总面积为400
m2;
(2)乙同学的设计图纸为图②,设计草坪的总面积为600
m2;
(3)丙同学的设计图纸为图③,设计草坪的总面积为540
m2.
图21-1-1
能力拓展提升
16.若关于x的方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0(a≠-1)只有一个相同的根,则a的值是
(　　)
A.0
B.4
C.2
D.3
17.若关于x的方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0(a≠b)只有一个相同的根,则a,b的关系是　　　　　　　.?
18.在解决数学问题时,我们经常要回到基本定义与基本方法去思考.试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题:
已知a是关于x的方程x2-(2k+1)x+4=0和3x2-(6k-1)x+8=0的公共解,求a和k的值.
典题讲评与答案详析
1.③　2.C
3.解:(1)由题意,得当m=0时,原方程转化为2x+1=0,是一元一次方程(经验证,此时x≠0);当m+2=0,即m=-2时,(m+2)x|m|+2x-1=0转化为2x-1=0,是一元一次方程;当|m|=1,且m+2+2≠0,即m=±1时,(m+2)x|m|+2x-1=0是一元一次方程.综上所述,当m=0,-2,-1或1时,原方程是一元一次方程.
(2)由题意,得当|m|=2,且m+2≠0,即m=2时,方程(m+2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程.
4.C　[解析]
选项A中的方程化为一般形式为x2-x-20=0,选项B中的方程化为一般形式为x2-8=0,选项C中的方程化为一般形式为6x2-7x=0,选项D中的方程化为一般形式为x2+3x-8=0.
5.x2-3x+15=0　1　-3　15
6.A
7.B　[解析]
把x=1代入x2+mx+n=0,得1+m+n=0,所以m+n=-1,所以m2+2mn+n2=(m+n)2=1.
8.B　[解析]
∵a+c=b,∴a-b+c=0,即x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根.∵4a+c=2b,∴4a-2b+c=0,即x=-2是方程ax2+bx+c=0的一个根.故选B.
9.B　[解析]
根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2+m+n=0,2-m+n=0,解得m=0,n=-2,所以mn=0.
10.B　[解析]
∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的一个实数根,
∴m2+3m=1,
∴2021-m2-3m=2021-(m2+3m)=2021-1=2020.故选B.
11.x=1
12.三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边　分类讨论　方程根的定义
13.D　14.A
15.解:(1)设道路的宽为x
m.
根据题意,得(35-2x)(20-2x)=400.
(2)设道路的宽为y
m.
根据题意,得(35-y)(20-y)=600.
(3)设道路的宽为z
m.
根据题意,得(35-2z)(20-z)=540.
16.C　[解析]
设两个方程相同的根为x=m.
根据题意,得
m2+am+1=0①,m2-m-a=0②,
①-②,得m(a+1)+1+a=0.
∵a≠-1,∴a+1≠0,
∴两边同除以(a+1),得m=-1,
∴(-1)2+a·(-1)+1=0,解得a=2.
17.a+b=-1　[解析]
设两个方程相同的根为x=m.
根据题意,得m2+am+b=0①,m2+bm+a=0②.①-②,得m(a-b)-(a-b)=0.
∵a≠b,∴a-b≠0,
∴两边同除以(a-b),得m=1,
∴12+a+b=0,∴a+b=-1.
18.解:根据题意,得a2-(2k+1)a+4=0①,
3a2-(6k-1)a+8=0②.
①×3,得3a2-(6k+3)a+12=0③,
②-③,得4a-4=0,解得a=1.
把a=1代入①,得1-(2k+1)×1+4=0,
解得k=2.