8.6.3.1 平面与平面垂直的判定-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

8.6.3.1 平面与平面垂直的判定-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
设a?l?β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则(????)
A. a与b可能垂直，但不可能平行 B. a与b可能垂直，也可能平行
C. a与b不可能垂直，但可能平行 D. a与b不可能垂直，也不可能平行
在如图的正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角D1?AB?D的大小是(????)
A. 45° B. 30°
C. 60° D. 90°
设m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是(????)
A. l1⊥m，l1⊥n B. m⊥l1，m⊥l2
C. m⊥l1，n⊥l2 D. m//n，l1⊥n
若正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于(????)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(????)
A. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B. 平面PAB与平面PBC不垂直、与平面PAD垂直
C. 平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，若二面角C?AB?C1的大小为60?，则点C到平面C1AB的距离为(? ? ? ? )
A. 1 B. 12
C. 34 D. 32
在四面体A?BCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD=90°，二面角A?BD?C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED=?(????)
A. 45° B. 90° C. 60° D. 30°
如图直角梯形ABCD，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=23.则(? ?)
A. 平面PED⊥平面EBCD
B. PC⊥ED
C. 二面角P?DC?B的大小为π4
D. PC与平面PED所成角的正切值为2
在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，且DC=BC，AD=AB，M为BD的中点，则平面EFGH与平面ACM(????)
A. 相交但不垂直 B. 相交且垂直
C. 可能不相交 D. 交线与HE不垂直
如图，已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD与圆柱的底面垂直，则必有(????)
A. 平面ABC⊥平面BCD
B. 平面BCD⊥平面ACD
C. 平面ABD⊥平面ACD
D. 平面BCD⊥平面ABD
(多选题)如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是(????)
AE⊥CE B. BE⊥DE
C. DE⊥平面CEB
D. 平面ADE⊥平面BCE
二．填空题
正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为__________．
设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l?α，m?β.给出下列三个论断；
①l⊥m；②l⊥β；③α⊥β.以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：______.(用论断序号和推出符号“?”作答)
自空间内一点分别向70°二面角的两个半平面引垂线，这两条直线所成角的大小是____．
等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C?BM?A的大小为______．
如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面四边形为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90?，二面角B?PA?C的大小等于??????????．
三．解答题
如图所示，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点?已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．
求证：(1)直线PA//平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC．
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB?//?CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．
(1)求证：平面ABE⊥平面BEF；
(2)设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的平面角θ∈π4,π3，求a的取值范围．
如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上与A，C不重合的动点，PO⊥平面ABC．
(1)当点B在什么位置时，平面OBP⊥平面PAC？并证明．
(2)请判断，当点B在⊙O上运动时，会不会使得BC⊥AP？若存在这样的点B，请确定点B的位置；若不存在，请说明理由．
如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为45°？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，是基础题．
利用空间中线线间的位置求解．解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
【解答】
解：∵α?l?β是二面角，直线a在平面α内，
直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，
∴当a//l，且b//l时，由平行公理得a//b，即a，b可能平行，故A与D错误；
当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，
若二面角不是直二面角，则a，b可以垂直，且满足条件，故B正确，C不正确；
∴a与b有可能垂直，也有可能平行．
故选C．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二面角的大小的求法，是基础题，由AB⊥AD，AB⊥AD1，知∠D1AD是二面角的平面角，由此能求出二面角D1?AB?D的大小．
【解答】
解：∵AB⊥平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，
∴AB⊥AD，AB⊥AD1，
∴∠D1AD是二面角D1?AB?D的平面角，
由正方体易知∠D1AD=45°? ，
所以二面角D1?AB?D的大小45°? ，
故选A．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了立体几何中面面垂直的判定定理，考查了面面垂直与线线垂直之间的转化关系．属于考查定理内容的基本题．
正确应用面面垂直的判定定理是解决本题的关键．将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
【解答】
解：由m⊥l1，m⊥l2，及已知条件可以得出m⊥β，
又m?α得出α⊥β，
反之，α⊥β未必有m⊥l1，m⊥l2，
故m⊥l1，m⊥l2是α⊥β的充分不必要条件，
其余选项均推不出α⊥β．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二面角，属于中档题，由题意得出底面边长与侧面的高的比值，找出二面角的平面角，求出平面角的余弦值，即可求出二面角的大小．
【解答】
解：作出该四棱锥，如图所示．设正四棱锥的底面边长为a，侧面的高为h，∵S底=a2，S侧=4×12a?=2a?，S底S侧=12，∴a22a?=12，即a?=1．
作SO⊥平面ABCD，O为垂足，则O为正方形ABCD的中心．取BC的中点E，连接SE，OE，易得SE⊥BC，OE⊥BC，
∴∠SEO为侧面与底面所成的角．
∵cos∠SEO=OESE=a2?=12，
∴∠SEO=60°，
故选C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用线面垂直的性质证明面面垂直．
证明面面垂直必须有一个平面内一条直线与另一个平面内两条相交直线都垂直．
【解答】
解：∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥BC，PA⊥BC，AB?PA=A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥面PAB，
∵BC?面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC；
∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，
∴AD⊥AB，PA⊥AD，AB?PA=A，PA，AB?平面PAB，
∴AD⊥面PAB，
∵AD?面PAD，
∴平面PAB⊥平面PAD．
故选A．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
设点C到平面C1AB的距离为h，根据等体积法VC?ABC1=VC1?ABC，建立等量关系，求出h即可．
【解答】
解：取AB的中点O，连接OC和OC1，则AB⊥OC，AB⊥OC1，
根据二面角的定义，∠COC1=60°，
由题意得OC=32，
所以CC1=32，OC1=3，AC1=BC1=132．
设C到平面C1AB的距离为h，
易知三棱锥C?ABC1的体积与三棱锥C1?ABC的体积相等，
即13×12×1×3×?=13×12×1×32×32，
解得?=34，
故点C到平面C1AB的距离为34．
故选C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二面角、线线位置关系，属于基础题.设AB=BC=CD=AD=a，取BD的中点F，连接AF，CF．
由题意可得AF=CF=22a，∠AFC=90°，得AC=a，可知△ACD为正三角形，，E是CD的中点，所以AE⊥CD．
【解答】
解：如图所示，设AB=BC=CD=AD=a，取BD的中点F，连接AF，CF．
由题意可得AF=CF=22a，∠AFC=90°．
在Rt△AFC中，可得AC=AF2+CF2=a，∴△ACD为正三角形．
∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，
∴∠AED=90°．
故选B．
8.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查空间中线面垂直，线面角及二面角，属于中档题．
通过PE⊥DE，PE⊥EC，得到PE⊥平面EBCD，即可得出平面PED⊥平面EBCD，B项运用反证法，再分别找出∠PDE为二面角P?DC?B的平面角，∠CPD为PC与平面PED所成角的平面角进行判断．
【解答】
解：连接EC，如图所示：
折后，PE⊥DE，
在△PEC中，PE=2，EC=22，PC=23，
则PE2+EC2=PC2，故PE⊥EC，
∵EC∩DE=E，∴PE⊥平面EBCD，
∵PE?平面PED，
∴平面PED⊥平面EBCD，故A项正确；
假设PC⊥ED，由于ED⊥PE，PC∩PE=P，
得ED⊥平面PEC，又EC?平面PEC，
即ED⊥EC，这与∠DEC=45°相矛盾，故B项错；
由于CD⊥平面PDE，DP、DE?平面PDE，
∴PD⊥CD，DE⊥CD，
则∠PDE为二面角P?DC?B的平面角，
而∠PDE=∠DAE=45°，故C项正确；
由于CD⊥平面PDE，则∠CPD为PC与平面PED所成角的平面角，
tan∠CPD=CDPD=222=22，故D项错误．
故选AC．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了空间中平面与平面的位置关系，考查了空间想象能力，属于基础题．
由题意，利用面面垂直的判定定理，即可得出答案．
【解答】
解：因为DC=BC，AD=AB.则AM⊥BD，CM⊥BD．
∴BD⊥平面ACM，又EH//BD，∴EH⊥平面ACM，
∴平面EFGH⊥平面ACM．
故选B．
10.【答案】B
【解析】解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，
所以AD⊥BC，因为AC∩AD=A，
所以BC⊥平面ACD，因为BC?平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACD．
故选：B．
画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可．
本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的结构特征的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了线面、面面垂直的判定，考查线面垂直的性质的应用，属于中档题．
由条件可证得AE⊥EB和AE⊥BC，因而AE⊥平面BCE，于是AE⊥CE；同理可证得B也正确；先得到∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角，显然∠ADE≠90°，即可判定C错误．根据面面垂直的判定定理可证得D正确．
【解答】
解：由AB是底面圆的直径，则，即AE⊥EB．
∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴BC⊥底面AEB．
又BC?平面BCE，AE?平面BCE，所以AE⊥BC．
因为EB?BC=B，EB，BC?平面BCE，
所以AE⊥平面BCE．
而CE?平面BCE，所以AE⊥CE.同理可得：BE⊥DE.故AB正确；
对于C：∵AD?//?BC，∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角，显然∠ADE≠90°，∴DE⊥平面CEB不正确，即C错误．故C错误；
因为AE⊥平面BCE，AE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE.故D正确．
故选ABD．
12.【答案】2π3
【解析】
【分析】
?本题考查二面角的求法，属于基础题．
由题意和正六棱柱的性质，以及二面角的定义易得答案．
【解答】
解：∵正六棱柱(底面是正六边形的直棱柱)，
∴相邻两个侧面所成的二面角的为∠ABC
∴∠ABC=2π3
故所求二面角的大小为2π3??．
13.【答案】②?①③
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理推导出②?①③．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
【解答】
解：l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l?α，m?β．
∵①l⊥m；?②l⊥β；③α⊥β．
∴由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理得：
②?①③．
故答案为：②?①③．
14.【答案】70°
【解析】
【分析】
本题考查对二面角的理解及其求法，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于基础题．
作出图形，由图形容易得出答案．
【解答】
解：作出示意图，如图所示，由图可得，自空间内一点分别向70°二面角的两个半平面引垂线，
这两条直线所成角的大小是70°．
故答案为：70°．
15.【答案】90°
【解析】解：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=BC=1，M为AC中点，
∴AM=CM=BM=22，AM⊥BM，CM⊥BM，
所以沿BM把它折成二面角后，∠AMC就是二面角的平面角．
在△AMC中，∵AM=CM=22，AC=1，
由余弦定理，知cos∠AMC=12+12?12×12=0，
∴∠AMC=90°．
故答案为：90°．
在等腰直角三角形ABC中，由AB=BC=1，M为AC中点，知AM=CM=BM=22，AM⊥BM，CM⊥BM，所以沿BM把它折成二面角后，∠AMC就是二面角的平面角，由此能求出二面角C?BM?A的大小．
本题考查二面角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意折叠问题的合理转化，注意培养空间想象能力．
16.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
【解析】
【分析】
本题考查面面垂直的条件的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC.由此得到当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD．
【解答】
解：连接AC，因为底面各边都相等，则四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC．
由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，
因为AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD．
而PC?平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD．
故答案为DM⊥PC(或BM⊥PC)．
17.【答案】90?
【解析】
【分析】
本题考查二面角的求法，属基础题．
依题意，根据二面角平面角的定义知∠BAC是二面角B?PA?C的平面角，即可求得结果．
【解答】
解：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∴∠BAC是二面角B?PA?C的平面角，
又∠BAC=90?．
则二面角B?PA?C的平面角是90?．
故答案为90?．
18.【答案】解：(1)证明：因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE//PA．
又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF，
所以直线PA//平面DEF．
(2)证明：因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，
所以DE//PA，DE=12PA=3，EF=12BC=4．
又因为DF=5，
所以DF2=DE2+EF2．
所以∠DEF=90?
即DE⊥EF．
又PA⊥AC，DE//PA，
所以DE⊥AC．
因为AC∩EF=E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC．
又DE?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC．
【解析】本题考查了空间中的平行与垂直问题，属于中等题．
(1)由D、E为PC、AC的中点，得出DE//PA，从而得出PA//平面DEF；
(2)要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
19.【答案】(1)证明：∵AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，
∴ABFD为矩形，AB⊥BF，
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB//CD，
∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，BF，EF?平面BEF，
∴AB⊥平面BEF，又AB?面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF.?
(2)解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，
又PD//EF，AB//CD，
∴AB⊥PD，
又AB⊥AD，PD∩AD=D，PD，AD?面PAD，
所以AB⊥面PAD，PA?面PAD，
所以AB⊥PA，
以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，
B(1,0，0)，D(0,2，0)，P(0,0，a)，C(2,2，0)，E(1,1，a2)，，
BD=?1,2,0,BE=0,1,a2，
设平面EBD法向量n2=(x,y，z)，
则有：BD·n2=0BE·n2=0即：?x+2y=0y+a2z=0,
令x=2a，则y=a，z=?2，
所以n2=(2a,a，?2)，
又平面BCD的一个法向量n1=(0,0，1)，平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[π4,π3]
所以cosθ=25a2+4∈[12,22]，
可得a∈[255,2155].
【解析】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面积的计算，考查学生空间想象能力，属于中档题．
(1)由题意，推出AB⊥平面BEF，即可证明平面ABE⊥平面BEF；
(2)以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角，根据二面角的范围求出a的范围．
20.【答案】解：(1)当OB⊥AC时，平面OBP⊥平面PAC，
下面是证明过程：
∵OP⊥平面ABC，OP?平面ACP，∴平面ACP⊥平面ABC，
∵OB⊥AC，平面APC∩平面ABC=AC，∴OB⊥平面PAC，
∵OB?平面OBP，∴平面OBP⊥平面PAC．
(2)假设存在点B，使得BC⊥AP，
∵点B是EO上的动点，∴BC⊥AB，
又BC⊥AP，AB、AP?平面PAB，AB∩AP=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BP?平面PAB，BC⊥BP，
设OB=R，
在Rt△POC中，有PC=R2+OP2，在Rt△OPB中，有PB=R2+OP2，
可得BP=PC，故∠PBC为锐角，这与BC⊥BP矛盾，
故不存点B使得BC⊥AP．
【解析】(1)当OB⊥AC时，由OP⊥平面ABC，得平面ACP⊥平面ABC，由OB⊥AC，得OB⊥平面PAC，从而平面OBP⊥平面PAC．
(2)假设存在点B，使得BC⊥AP，推导出BC⊥AB，BC⊥平面PAB，BC⊥BP，推导出BP=PC，故∠PBC为锐角，这与BC⊥BP矛盾，从而不存点B使得BC⊥AP
本题考查线面垂直的与证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】(1)证明：如图，连接D1A，D1B.
∵在长方形A1ADD1中，AD=AA1=1，
∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1．
又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1=A，
AB?平面ABD1，D1A?平面ABD1，
∴A1D⊥平面ABD1．
∵D1E?平面ABD1，∴A1D⊥D1E.
(2)解：如图，过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.
∵D1D⊥平面ABCD，EC?平面ABCD，∴D1D⊥EC．
又DF∩D1D=D，∴EC⊥平面D1DF．
∵D1F?平面D1DF，∴EC⊥D1F，
∴∠DFD1为二面角D1?EC?D的平面角，
∴∠DFD1=45?，
又∠D1DF=90?，D1D=1，∴DF=1．
在Rt△DFC中，∵DC=2，∴∠DCF=30?，
∴∠ECB=60?．
在Rt△EBC中，∵BC=1，∴EB=3，AE=2?3．
【解析】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
(1)该题的关键是做辅助线结合线面垂直的判定与性质证明即可；
(2)找出(或作出)平面角，再把平面角放在三角形中求解．