8.6.3.2 平面与平面垂直的性质-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

8.6.3.2 平面与平面垂直的性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
如图所示，已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为(????)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
给出下列四种说法：
①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中正确说法的序号是? (??? )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H一定在(????)
A. 直线AC上 B. 直线AB上
C. 直线BC上 D. △ABC的内部
如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为(? ? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知平面α⊥平面β，且α∩β=l，a?α，b?β，则“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的(????)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
如图所示，在长方体ABCD???A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是?????? (????)
A. BD1//B1C B. A1D1//平面AB1C
C. BD1⊥AC
D. BD1⊥平面AB1C
如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B'，则AB：A'B'=(????)
A. 2：1 B. 3：1
C. 3：2 D. 4：3
在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，则BD与CC1? (??? )
A. 平行 B. 共面 C. 垂直 D. 不垂直
已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是(? ? ? )
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
已知三棱锥A?BCD中，AB=AC=BD=CD，AB⊥AC，BD⊥CD，且三棱锥A?BCD的外接球的表面积为32π，则当平面ABC⊥平面BCD时，三棱锥A?BCD的表面积等于(????)
A. 16+83 B. 32+163 C. 8+83 D. 16+163
(多选题)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD?//BC，且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②).在折起的过程中，下列说法中正确的是(????)
AC//平面BEF
B. B，C，E，F四点不可能共面
C. 若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD
D. 平面BCE与平面BEF可能垂直
二.填空题
直线a和b在正方体ABCD?A1B1C1D1的两个不同平面内，使a//b成立的条件是??????????.(只填序号即可)
?①a和b垂直于正方体的一个面;
?②a和b在正方体两个相对的面内，且共面;
?③a和b平行于同一条棱;
?④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=DE，AD=6，则EF=________．
已知三棱锥P?ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=PA=3，AC=1，则三棱锥P?ABC的侧面积______．
如图所示，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C'的位置，且点C'在平面ABD上的射影O恰在AB上．若EF⊥平面AC'D，且DC'=2DE，BF=λFD，则λ的值为________．
二.解答题
如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F．
(1)求证：EF//平面PBC；
(2)求证：BD⊥PC．
如图所示，在斜三棱柱A1B1C1?ABC中，AB=AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC．
(1)求证：AD⊥CC1．
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM=MA1，求证：平面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)若平面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1成立吗？请说明理由．
如图，四面体P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=BC=1，AC=2．
(1)证明BC⊥平面PAB；
(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面与平面垂直的性质，以及直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
作AE⊥BD，交BD于E，根据平面与平面垂直的性质定理可知AE⊥面BCD，再根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，从而得到△ABC为直角三角形．
【解答】
解：过A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面DBC，
∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，
∴DA⊥BC，又DA∩AE=A，
∴BC⊥平面DAB，
∴BC⊥AB，
∴△ABC为直角三角形．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．
【解答】
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确。
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确。
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线。不正确。
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。正确。
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：∵在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC
又∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B
∴AC⊥平面ABC1，
则C1作C1H⊥底面ABC，
故C?1H?平面ABC1，
故点H一定在直线AB上
故选B
由已知中斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面ABC1，故AC⊥平面ABC1内的任一直线，则当过C1作C1H⊥底面ABC时，垂足为H，C1H?平面ABC1，进而可以判断出H点的位置．
本题考查的知识点是棱柱的结构特征，线面垂直的判定定理和性质定理，其中熟练掌握线面垂直的性质定理和判定定理，并熟练掌握它们之间的相互转化是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查面面垂直的判定，属于一般题．
【解答】
解：由题意直线AB⊥平面BCD，直线CD⊥平面ABD，
所以面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，??
共有3对．
故选C．
5.【答案】C
【解析】解：由α⊥βα∩β=la?αb?βa⊥b?a⊥l或b⊥l，
由α⊥βα∩β=la?αb?βa⊥l或b⊥l?a⊥b，
故“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的充要条件，
故选：C．
根据线面垂直，面面垂直的性质，判定判断即可．
本题考查了线面垂直，面面垂直的性质，判定，考查充分必要条件，是一道基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可证AC⊥平面BDD1，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥BD1．
【解答】解：连接BD.在长方体ABCD???A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD．
又AC⊥DD1，BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1．
∵BD1?平面BDD1，∴AC⊥BD1．
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB'=π4，
在Rt△BAB'中有AB'=22a，同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA'=π6，
所以A'A=12a，因此在Rt△AA'B'中A'B'=(22a)2?(12a)2=12a，
所以AB：A'B'=a：12a=2：1，
故选：A．
设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．
本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质，首先根据已知条件画出图形，在四边形ABCD中，根据AB=BC，AD=CD即可得到BD⊥AC，进而得到BD⊥平面AA1C1C，接下来根据上面的分析，结合线面垂直的性质即可得到BD与CC1的位置关系．
【解答】
解：如图，在四边形ABCD中，∵AB=BC，AD=CD，∴BD⊥AC，
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面AA1C1C，
又CC1?平面AA1C1C，
∴BD⊥CC1，
故选C．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，考查推理能力，属于中档题．
利用线面垂直面面垂直的判定定理与性质定理逐一判断选项，即可得到答案．
【解答】
解：①设α∩β=l，a?α，b?β，b⊥l，则a⊥b，
故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；
②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，
则它垂直于α内的任意直线，为真命题；
③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；
④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题．
答案C．
10.【答案】A
【解析】解：如图，
取BC中点O，连接OA，OD，
由AB=AC=BD=CD，AB⊥AC，BD⊥CD，
可得OA=OB=OC=OD，即O为三棱锥A?BCD的外接球的球心，
半径为OA．
由三棱锥A?BCD的外接球的表面积为4π?OA2=32π，得OA=22．
则当平面ABC⊥平面BCD时，S△ABC=S△BCD=12×4×4=8；
S△ABD=S△ACD=12×4×23=43．
∴三棱锥A?BCD的表面积S=2×8+2×43=16+83．
故选：A．
由题意画出图形，求出三棱锥A?BCD的外接球的半径，进一步得到各棱长，则三棱锥A?BCD的表面积可求．
本题考查多面体及其外接球的表面积，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查线面平行、面面垂直的判定定理，属于中档题．
由线面平行、面面垂直的判定定理，进行判断即可．
【解答】
解：取AC的中点为O，取BE的中点为M，连结MO，
则MO//DE,MO=12DE，则MO//AF，MO=AF，得四边形AOMF为平行四边形，
即AC//FM，FM?平面BEF，AC不在面BEF内，
∴AC//平面BEF，故A正确；
∵直线BF与CE为异面直线，
∴B、C、E、F四点不可能共面，故B正确；
在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD、CF?平面CDF且交于点F，
∴EF⊥平面CDF，又∵CD?平面CDF，
∴CD⊥EF，又因为AD//BC，∠BCE=90°，
∴CD⊥AD，
∵EF和AD必交于一点且在平面ADEF内，
∴CD⊥平面ADEF，∵CD?平面ABCD，
∴平面ADEF⊥平面ABCD，故C正确；
延长AF至G使得AF=FG，连结BG、EG，
易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，
若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故D错误．
故选ABＣ.
12.【答案】?①?②?③
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的性质定理、面面平行的性质定理、平行公理以及空间两条直线的位置关系，属于基础题．
对于?①，利用线面垂直的性质即可判断为正确；
对于?②，利用面面平行的性质即可判断为正确；
对于?③，应用平行公理即可判断为正确；
对于?④，a，b可能平行、异面和垂直三种情况，?④错误．
【解答】
解：对于?①，利用线面垂直的性质可知?①正确；对于?②，由于a，b共面，利用面面平行的性质即可判断a//b，故?②正确；对于?③，应用平行公理可知?③正确；对于?④，当a和b在正方体的两个平行面内，且与正方体的同一条棱垂直时，a，b可能平行、异面和垂直三种情况，故?④错误．
故答案为：?①?②?③
13.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查的是直线与平面垂直关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与平面垂直的性质;经审题，根据直线和平面垂直的性质定理知AF//DE，结合已知条件可判断出四边形AFED的形状;四边形AFED为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到本题答案．
【解答】
解：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF//DE，又∵AF=DE，∴四边形AFED是平行四边形，
∴EF=AD=6，
故答案为6．
14.【答案】532
【解析】解：如图所示，
三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；
又AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC；
∴三棱锥P?ABC的各个面都是直角三角形；
又BC=PA=3，AC=1，
∴三棱锥P?ABC的侧面积为
S侧面积=S△PAB+S△PAC+S△PBC
=12×3×(3)2+12+12×3×1+12×3×(3)2+12
=532．
故答案为：532．
根据题意画出图形，证明三棱锥P?ABC的各个面都是直角三角形，再求三棱锥的侧面面积．
本题考查了三棱锥的结构特征与空间中的垂直关系应用问题，是基础题．
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查了线面垂直的判定，注意空间思维能力的培养．
证明BC'⊥平面AC'D，结合EF⊥平面AC'D，由线面垂直的性质得到EF?//?BC'，即可求得λ的值．
【解答】
解：∵点C'在平面ABD上的射影O在AB上，∴C'O⊥平面ABD．
∵DA?平面ABD，∴C'O⊥DA.又∵AD⊥AB，AB∩C'O=O，
∴DA⊥平面ABC'.
又BC'?平面ABC'，∴DA⊥BC'.
又∵BC'⊥C'D，DA∩C'D=D，∴BC'⊥平面AC'D．
又∵EF⊥平面AC'D，∴EF?//?BC'.∵DC'=2DE，即E为C'D的中点，∴F为BD的中点，
∴BF=FD，即λ=1．
16.【答案】证明：(1)∵菱形对角线AC与BD相交于点E，
∴AC与BD互相平分，即AE=CE，BE=DE
又∵线段PD的中点为F，
∴EF为△PBD的中位线，
∴EF//PB
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
∴EF//平面PBC
(2)∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
菱形ABCD中，AC⊥BD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，且PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
【解析】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定与性质．
(1)根据E，F为PD，DB的中点判断出EF为△PBD的中位线可知EF//PB，进而根据EF?平面PBC，推断出EF平行于PB所在的平面PBC;
(2)先判断出BD⊥平面PAC，进而根据线面垂直的性质判断出BD⊥PC．
17.【答案】证明(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C=BC，AD?底面ABC，∴AD⊥侧面BB1C1C.? 又CC1?侧面BB1C1C，∴AD⊥CC1．
(2)证明：如图，延长B1A1，与BM的延长线交于点N，连接C1N，则C1N?平面MBC1,∵AM=MA1，∴NA1=A1B1,∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥B1C1,∵侧面BB1C1C⊥底面ABC，∴侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，又侧面BB1C1C∩底面A1B1C1=B1C1，C1N?底面A1B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C，又C1N?平面MBC1，∴平面MBC1⊥侧面BB1C1C
(3)成立，理由如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE，又平面MBC1⊥侧面BB1C1C，平面MBC1∩平面BB1C1C=BC1，根据面面垂直的性质定理，可得ME⊥侧面BB1C1C，又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME//?AD，∴M，E，D，A四点共面，∵MA?//侧面BB1C1C，MA?平面AMED，平面AMED∩平面BB1C1C=DE，∴AM?//?DE，∴四边形AMED是平行四边形，又AM?//?CC1，∴DE?//?CC1.∵D是BC的中点，∴DE=12CC1，∴AM=12CC1=12AA1，∴AM=MA1．
【解析】
【分析】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，恰当的添加辅助线是解题的关键．
(1)先证明底面ABC⊥平面BB1C1C，可知AD⊥平面BB1C1C，从而可证AD⊥CC1；?
(2)延长B1A1与BM 交于点N ，连接C1N，证明C1N⊥侧面BB1C1C.即可证明截面MBC1⊥侧面BB1C1C；?
(3)在图中，过M 作ME⊥BC1于点E ，由截面MBC1⊥侧面BB1C1C，可证四边形AMED 是平行四边形，有AM=DE，可证DE//CC1，即可证明AM=MA1．
18.【答案】证明：(1)由题设知AB=BC=1，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
解：(2)点D为PC的中点，且PD=32，使得AC⊥BD．
理由如下：
在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
在平面PAC内，过点E作DE//PA，交PC于点D，连结BD，
由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，∴DE⊥AC，
∴AC⊥平面DBE，
∵BD?平面DBE，∴AC⊥BD，
在△ABC中，AB=BC=1，点E为AC的中点，则点D为PC的中点，
在Rt△APC中，AP=1，AC=2，∴PC=3，
∴PD=32．
【解析】(1)推导出AB⊥BC，PA⊥BC，PA⊥AB，由此能证明BC⊥平面PAB．
(2)过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点E作DE//PA，交PC于点D，连结BD，推导出PA⊥AC，DE⊥AC，从而AC⊥平面DBE，进而AC⊥BD，由此能求出点D为PC的中点，且PD=32，使得AC⊥BD．
本题考查线面垂直的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．