2020-2021学年高一数学期末专题复习---复数

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2020-2021学年高一数学期末专题复习---复数
1：复数的概念
1）概念：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)
2）虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或
对于复数的定义要注意以下几点：
①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘
②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式
（2）分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数?b＝0
a＋bi为虚数?b≠0
a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
1．已知复数，若z是纯虚数，则实数a等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．若复数，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（ ）
A． B．
C． D．或
4．设复数（为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则一定有
B．若复数满足，则一定有
C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆
6．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．已知复数z满足，则（i为虚数单位）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．复数（i为虚数单位）的模是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
9．复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知复数，则在复平面内，对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．已知为实数，是否存在实数使得复数和满足关系？若存在，求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由．
12．设，已知，，，求的值.
13．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.
14．实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
15．实数分别取什么数值时，复数满足下列条件：
（1）纯虚数；
（2）对应的点在第一象限内．
2复数的三角表示式以及相关概念
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式
1．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．复数等于（ ）
A． B．
C． D．
3．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．， B． C． D．
4．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①② D．①③
5．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（ ）.
A． B．1 C． D．
6．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（ ）
A． B． C． D．
8．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
9．（ ）
A． B． C． D．
10．（ ）
A． B． C． D．
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
12．已知是实数，是非零复数，且满足，.
（1）求；
（2）设，若，求的值.
13．把下列复数的代数形式化成三角形式.
（1）； （2）.
14．把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）； （2）.
.15．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
3复数的四则运算
（1）复数的加、减法则
加法法则：
设=，=是任意两个复数，
那么他们的和（）+（）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
减法法则：
设=a+bi，=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则-=（）-（）=（a-c）+（b-d）i.
（2）复数的乘、除法则
乘法法则：
设=，=，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（）（）=ac+bci+adi+bd=（）+（）
除法法则：
（）÷（）=+i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
（3）复数乘、除运算的三角表示
乘法
=（cos+isin）·（cos+isin）
=（cos+isin）（cos+isin）
=[(coscos-sinsin)]
=[cos（+）+isin（+）
则
(cos+isin)·(cos+isin)
=[cos(+)+isin(+)]
除法
设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为
(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，
规律方法
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)除法法则：模相除，辐角相减．
(3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
1．已知为虚数单位，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．，为其共轭复数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
3．设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知a为实数，i为虚数单位，若是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．设复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
9．（ ）
A． B． C． D．
10．若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数z满足，复数z的共轭复数为
（1）求
（2）若复数满足，求的最小值和最大值．
12．设复数，其中i为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求实数a的值；
（2）若，求复数的模．
13．已知复数，i为虚数单位．
（1）当z是纯虚数时，求m的值；
（2）当时，求．
14．从①与复数相等，②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：若复数， ．求方程的根．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．(1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值；
(2)已知复数，，，求．
综合能力测试
一、单选题
1．若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则在复数平面的点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A． B．10 C． D．8
4．若复数满足(是虚数单位)，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．若在复平面内，复数所对应的点为，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
6．若复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
7．在复平面内，是原点，四边形是平行四边形，且三点对应的复数分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数（其中i为虚数单位），下列说法正确的是
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．
C． D．为实数
10．对任意，，，下列结论成立的是（ ）
A．当m，时，有
B．当，时，若，则且
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
D．的充要条件是
11．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为
12．已知复数，下列结论正确的是
A．“”是“为纯虚数”的充分不必要条件
B．“”是“为纯虚数”的必要不充分条件
C．“”是“为实数”的充要条件
D．“”是“为实数”的充分不必要条件
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．________．
14．若是关于x的实系数方程的一根，则________．
15．已知i为虚数单位，复数的实部与虚部相等，则实数_______．
16．设有下面四个命题：
①若复数满足，则；
②若复数满足，则是虚数；
③若复数满足，则；
④若复数?满足，则；
其中是真命题的有___________(填写所有真命题的编号).
四、解答题
17．已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数.
（1）求的值；
（2）求.
18．已知复数，当实数m为何值时，
（1）z为实数；
（2）z为虚数.
19．已知为坐标原点，向量、分别对应复数、，且，.若是实数.
（1）求实数的值；
（2）求以、为邻边的平行四边形的面积.
20．已知复数，（，是虚数单位）．
（1）若在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
21．已知为实数，复数.
（1）当为何值时，复数的模最小？
（2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值.
22．莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家.岁时入读巴塞尔大学，岁大学毕业，岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数单位；以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）试将复数写成（、，是虚数单位）的形式；
（2）试求复数的模.
1复数的的概念
一、选择题
1．已知复数，若z是纯虚数，则实数a等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【详解】
若z是纯虚数，则，解得.
故选：B.
2．若复数，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】
复数的虚部是．
故选：B．
3．若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【详解】
复数表示的点为
由题设知，解得
故选：C
4．设复数（为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】
解：因为复数在复平面内对应的点为，
所以复数在复平面内z对应的点位于第一象限，
故选：A
5．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则一定有
B．若复数满足，则一定有
C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆
【答案】AD
【详解】
若复数满足，则是实数，所以，故A正确
取，满足，但不能比较大小，故B错误
若复数，则z为纯虚数的充要条件是，，故C错误
若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆，故D正确
故选：AD
6．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【详解】
设，由可得，
，其表示圆上的动点到定点的距离，显然最小值为.
故选：B.
7．已知复数z满足，则（i为虚数单位）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为，所以对应的点在以原点为圆心，2，3为半径的圆环内，如图，记对应的点为，则，，
，由图可得：，，
所以的取值范围是．
故选：D．
8．复数（i为虚数单位）的模是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】
，
故选：C．
9．复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】
复数的虚部为: 2
故选：A
10．已知复数，则在复平面内，对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】
在复平面内，对应的点为在第四象限.
故选：D
二、解答题
11．已知为实数，是否存在实数使得复数和满足关系？若存在，求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，或．
【详解】
，可得，
解得或．
故满足关系的实数存在，且或．
12．设，已知，，，求的值.
【答案】
【详解】
同理，
所以，
故，.
13．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.
【答案】3
【详解】
由题意，不等式两边复数可比较大小，即两个复数均为实数，其虚部为零，故，
∴，∴m＝3.
14．实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
【答案】（1）m＝6；（2）m≠﹣3且m≠6；（3）m＝1或m．
【详解】
解：（1）若复数是实数，则，
即，得m＝6；
（2）如复数是虚数，则，
即，则m≠﹣3且m≠6；
（3）如复数是纯虚数，则，
则，
即m＝1或m．
15．实数分别取什么数值时，复数满足下列条件：
（1）纯虚数；
（2）对应的点在第一象限内．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）若为纯虚数，则，解得．
（2）对应的点为在第一象限，则，解得．
2复数的三角表示
1．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
,,
所以复数在第二象限，设幅角为，
故选：C
2．复数等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：，故，
=，故，
所以
.
故选：B.
3．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题可知，
则，
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.
故选：B.
4．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①② D．①③
【答案】A
【详解】
因为，故，故①正确.
，
所以，，故③正确，④错误.
而.
故②正确，
故选：A．
5．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（ ）.
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得，，
所以，
故选：C
6．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：.
7．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C.
8．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C.
9．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
10．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
二、解答题
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）；
（2），
.
（3），
.
12．已知是实数，是非零复数，且满足，.
（1）求；
（2）设，若，求的值.
【答案】（1）（2）
【详解】
（1），可设，
将其代入，
化简可得，
∴，解得，
∴.
（2）
.
∵，∴，
化简得.
∵，
∴，
即.
13．把下列复数的代数形式化成三角形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【详解】
（1）.
因为与对应的点在第四象限，
所以，
所以.
（2）.
因为与对应的点在第四象限，
所以，
所以.
14．把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【详解】
（1）.
（2）.15．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
【答案】,
【详解】
由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
3复数的四则运算
1．已知为虚数单位，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，
故选：B
2．，为其共轭复数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
【答案】B
【详解】
因为，所以，
所以，
故选：B.
3．设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
4．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】
所以其对应的点为，在第一象限
故选：A
5．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】
解：，
由复数的几何意义得，复数对应的点为，
复数对应的点位于第一象限，
故选：A.
6．已知a为实数，i为虚数单位，若是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】
，它是纯虚数，则，．
故选：B．
7．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】
，因此，复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
8．设复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
.
故选：D.
9．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
10．若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题得，
因为为纯虚数，
则，所以.
故选：C
11．已知复数z满足，复数z的共轭复数为
（1）求
（2）若复数满足，求的最小值和最大值．
【答案】（1）；（2）最大值，最小值.
【详解】
（1）因为，所以，
所以；
（2）因为，所以在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
所以表示圆上的点到原点的距离，
所以，
所以.
12．设复数，其中i为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求实数a的值；
（2）若，求复数的模．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）由题意，它为纯虚数，
则，解得；
（2）若，则，所以．
13．已知复数，i为虚数单位．
（1）当z是纯虚数时，求m的值；
（2）当时，求．
【答案】（1）0；（2）．
【详解】
（1）由题意，解得；
（2）由题意．
14．从①与复数相等，②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：若复数， ．求方程的根．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【详解】
（1）选择条件①：根据复数相等的充要条件，有，解得，
∴方程的根为
（2）选择条件②：根据共轭复数的定义，有，解得，
∴方程的根为
（3）选择条件③：由题意，，解得，
∴方程的根为
15．(1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值；
(2)已知复数，，，求．
(1)12；(2).
(1)因为是方程的一个根，
∴
∴，而
∴
∴，∴
(2)∵，，
∴，
∴
综合能力测试
1．D
【分析】
设，代入已知等式，化简后，利用复数相等的条件得到关于a,b的方程组，求解即得.
【详解】
设，则，
即，
由两复数相等的充要条件得，，
解得，，
所以.
故选:D.
2．B
【分析】
利用虚数单位的幂的周期性和复数除法运算法则化简后即可得到结论.
【详解】
,
对应的点的坐标为,是第二象限的点，
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的除法运算和虚数单位的幂的周期性，一般的k=0,1,2,3).
3．A
【分析】
根据已知条件求得复数，然后利用复数的乘法运算即可.
【详解】
所对应的点关于虚轴对称，,
,
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义和复数的乘法运算，属基础题.关于虚轴对称的两点对应的复数虚部相同，实部互为相反数.
4．C
【分析】
先利用复数的四则运算求出复数，表示出，即可判断.
【详解】
由，得，所以，所以，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算、共轭复数及复数的几何意义，属于基础题.
5．C
【分析】
化简复数，进而可得的共轭复数．
【详解】
依题意，，则，则，故选：C．
6．B
【分析】
利用复数的乘法运算化简，可得的虚部．
【详解】
，则的虚部为
故选：B
7．D
【分析】
利用复数的几何意义，结合复数的加法和乘法运算，可得答案．
【详解】
根据复数加法的几何意义，
得，
则，
故选：D
8．D
【分析】
利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【详解】
∵ ，
∴ 对应的复数为：，
∴点对应的复数为．
故选D．
【点睛】
本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．CD
【分析】
利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断；复数的模判断；复数的乘法判断；复数的解法与除法，判断．
【详解】
复数（其中为虚数单位），
复数在复平面上对应的点不可能落在第二象限，所以不正确；
，所以不正确；
．所以正确；
为实数，所以正确；
故选：CD
10．AC
【分析】
根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取，进行判断；D中的必要不充分条件是.
【详解】
解：由复数乘法的运算律知，A正确；
取，；，满足，但且不成立，B错误；
由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；
由能推出，但推不出，
因此的必要不充分条件是，D错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.
11．BD
【分析】
把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.
【详解】
解：，
，A错误；
，B正确；
z的共轭复数为，C错误；
z的虚部为，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.
12．BC
【分析】
设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.
【详解】
设，则，
则，若，则，，若，则不为纯虚数，
所以，“”是“为纯虚数”必要不充分条件；
若，即，可得，则为实数，“”是“为实数”的充要条件；
，为虚数或实数，“”是“为实数”的必要不充分条件.
故选：BC.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.
13．
【分析】
利用复数的运算法则化简后即得答案.
【详解】
原式=,
故答案为：.
14．0
【分析】
将方程的根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案.
【详解】
由已知得,整理得,
得到
故答案为：0.
【点睛】
本题考查复数的运算和复数相等的条件，关键是将方程的根代入方程进行运算化简.
15．
【分析】
化简复数为，利用复数的实部与虚部相等，即可求出．
【详解】
因为，
由题意知，解得．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
16．②③
【分析】
设()，分别计算出和并列出方程，求出满足的条件，可判断①不正确，②③正确；设()，()，计算出，可得，通过举反例判断出④不正确．
【详解】
①，，，则①是假命题，
设()，则，则或，
当?时为纯虚数，当?时为纯实数，
②一个数的平方小于，则这个数一定是虚数，而且还是纯虚数，则②是真命题，
设()，则，则且，
则时可取，则时不可取，
则，，，为纯虚数，
③，则，又恒成立，∴，∴，则③是真命题，
设()，则，
则且，则，
④?，，，则④是假命题，
设()，()，
则，
则，解有很多种可能，当且时符合条件，
此时?，?，不一定成立，
故答案为：②③.
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）将代入中，可得，利用复数的模长公式求解即可；
（2）由以及，可得出和，代入可得．
【详解】
（1）由题意知，，
；
（2）；
，
又，
则是以为首项，为公差的等差数列，
，
故．
18．(1) ;(2) 且.
【分析】
根据复数的分类，若为实数则，即可求参数的值；若为虚数则，即可求参数的值.
【详解】
(1)当z为实数时，则解得，所以当时，z为实数.
(2) 当z为虚数时，则解得且，所以当且时，z为虚数.
【点睛】
本题主要考查复数的分类，属于基础题.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）求出和，由复数是实数，可求得实数的值；
（2）求出和，利用平面向量的数量积求出，进一步求出，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.
【详解】
（1）由题意可得，
，则，
由于复数是实数，则，解得；
（2）由（1）可得，，则点，，
因此，以、为邻边的平行四边形的面积为.
【点睛】
本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）;（2）.
【分析】
（1）作差后，根据复数的几何意义得到的实部和虚部都大于零，得到关于的不等式组，求解即得；
（2）先求得题中方程的根，然后根据复数相等的充要条件得到的值.
【详解】
解：（1），
因为在复平面上对应点落在第一象限，
所以，
由得,即,解得；
由,解得或.
∴不等式组的解集为:,
的取值范围是;
（2）方程的根只有一个2，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的相等，涉及不等式组的求解，二次方程的根，属基础题.
21．（1）；（2）当，时，取最小值.
【分析】
（1）求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可得出结论；
（2）可得出，将点的坐标代入函数的图象，可得出，可得出，展开后利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出对应的、的值.
【详解】
（1），当且仅当时，复数的模最小，为；
（2）当复数的模最小时，.
又点位于函数的图象上，所以.
又，则，，
所以，
当且仅当时等号成立.
又，所以，.
所以，的最小值为，此时，.
【点睛】
本题考查复数模的最值的计算，同时也考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据欧拉公式可将复数表示为一般形式；
（2）根据欧拉公式将复数表示为一般形式，利用复数的模长公式可求得该复数的模.
【详解】
（1）根据欧拉公式可得；
（2）由题意可知，因此，.
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