2020-2021学年高一数学期末专题复习---立体几何
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高一数学期末专题复习---立体几何 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 15.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-07 21:23:05 | ||
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文档简介
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2020-2021学年高一数学期末专题复习---立体几何
一 、空间几何体
（一） 空间几何体的类型
1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征
1 、棱柱的结构特征
1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类
棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体
性质：
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1.3 棱柱的面积和体积公式
（是底周长，是高）
S直棱柱表面 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底 ·h
2 、棱锥的结构特征
2.1 棱锥的定义
（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征
Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）
体积：（为底面积，为高）
正四面体：
对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。
对棱间的距离为（正方体的边长）
正四面体的高（）
正四面体的体积为（）
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）
3 、棱台的结构特征
3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
3.2 正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征
4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2 圆柱的性质
（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
4.4 圆柱的面积和体积公式
S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)
S圆柱全 = 2π r h + 2π r2
V圆柱 = S底h = πr2h
5、圆锥的结构特征
5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
5.2 圆锥的结构特征
（1） 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
（2）轴截面是等腰三角形；
（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l2 = r2 + h2
5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2 圆台的结构特征
⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6.3 圆台的面积和体积公式
S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)
S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高)
7 球的结构特征
7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2
★7-3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4 球的面积和体积公式
S球面 = 4 π R2 (R为球半径)
V球 = 4/3 π R3
1．棱长为1的正四面体内有一个内切球为中点，N为中点，连接交球O于两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．胡夫金字塔是底面为正方形的棱锥，四个侧面都是相同的等腰三角形，研究发现，在实际生活中，可将该金字塔底面周长除以2倍的塔高得到的数值当作圆周率使用．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为（ ）
A． B．
C． D．
3．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“温”在正方体中的对面是（ ）
A．州 B．十 C．校 D．合
5．如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
7．下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
8．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
9．下面给出的命题中，正确的个数是（ ）
①一个棱柱至少有5个面
②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列说法不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体
C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体
二立体图形的直观图
空间几何体的三视图和直观图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则：
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
直观图：斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）画法要写好
用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（ ）
A．正方形的直观图为平行四边形 B．菱形的直观图是菱形
C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
5．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
6．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
7．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
8．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A．6 B．3
C．3 D．3
10．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1＋
C．1＋ D．2＋
11．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
12．已知等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，求等边三角形ABC的面积．
13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
14．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
15．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
三简单几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积 ：
圆锥的表面积：
圆台的表面积：
球的表面积：
扇形的面积公式（其中表示弧长，表示半径，表示弧度）
空间几何体的体积
柱体的体积 ：
锥体的体积 ：
台体的体积 ：
球体的体积：
1．伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A． B． C． D．
2．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为（ ）
A．12 B．16 C． D．
4．如图是某几何体的三视图，主视图和左视图是底边长和高均为的等腰三角形，俯视图是半径为的圆，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2.则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．三棱锥中平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．棱长为a的正四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，那么该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
四点、直线、平面之间的关系
立体几何网络图：
（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ；
平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
（4）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；
1．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体中，、分别是正方形与的中心，直线与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面
4．设有直线m、n和平面、，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（ ）
A． B．
C． D．
6．空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
7．在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是（ ）
A．铺的很平的一张纸是一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．三点确定一个平面 D．梯形可以确定一个平面
9．下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④平行于同一个平面的两个平面平行
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
10．已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
五直线、平面的平行
1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（4）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线面平行的判断：
（1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
判定定理：
性质定理：
★判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：，则∥α (用于判断)；
⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
3面面平行的判断：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
1．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
4．如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱始终与水面EFGH平行；
④当时，是定值．其中正确说法的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
6．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能确定
7．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
8．平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．内的任何直线都与平行
C．直线在平面内，直线在平面内，且，
D．直线，直线
9．不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，，
10．?是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是（ ）
A．?都平行于直线?
B．内有三个不共线的点到的距离相等
C．?是内的两条直线且，
D．?是两条异面直线且，，，
二、解答题
11．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由．
12．如图，长方体中，，P是棱上的动点．
（1）若E，F分别是的中点，证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
13．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于且点P棱的中点，点Q在棱上．
（1）试在棱上找一点D，使得平面，并加以证明；
（2）求四棱锥的体积．
14．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
15．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．
六直线、平面的垂直
1线线垂直的判断：
（1）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（2）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
判定定理：
性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
（2）垂直于同一平面的两直线平行。
即：
★判断或证明线面垂直的方法
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
3三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面
α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
4面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：
性质定理：
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
（2）
（3）
（4）
1.已知空间中两平面 ，两直线 ，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
2.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则（ ??）
A.?若m∥α，n//α，则m//n????????????????????????????????????B.?若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C.?若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n?????????????????????????D.?若m∥n，n?α，则m//α
3.已知 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充要条件?????????????B.?充分不必要条件?????????????C.?必要不充分条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
4.已知 是正方体 的中心O关于平面 的对称点，则下列说法中错误的是（??? ）
A.? 平面 ???????????????????????????????B.?平面 平面
C.? 平面 ??????????????????????????????????D.? ， ， ， ， ， 六点在同一球面上
5.在正方体 中，设 为线段 的中点，则下列说法正确的是（??? ）
A.???????????B.? 平面 ??????????C.???????????D.? 平面
6.三棱锥 的各棱长都相等， 分别是 的中点，下列四个结论中不成立的是（??? ）
A.? 平面 ??????????????????????????????????????????????B.? 平面
C.?平面 平面 ???????????????????????????????????D.?平面 平面
7.在空间中，设 是不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是 （??? ）
A.?若 ，则 ????????????????????????????????????B.?若 ，则
C.?若 ，则 ???????????????????????????????D.?若 ，则
8.设m，n是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（??? ）
① ?? ② ?? ③ ??? ④
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
9.如图，三棱锥 的底面 在平面 内，所有棱均相等， 是棱 的中点，若三棱锥 绕棱 旋转，设直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围为（??? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，（??? ）
A.?若 ， ，则 ??????????????????????????????B.?若 ， ，则
C.?若 ， ， ，则 ????????????D.?若 ， ， ，则
11.如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆 （ 为圆心）过点 ，且 ， 底面 ， 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的侧面积．
12.如图，四边形 是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段 是该半圆柱的一条母线，点 为线 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，且点 到平面 的距离为1，求线段 的长．
13.如图，在 中， 为 的中点， 分别在边 上，满足 ， 交 于 .现将 沿 翻折至 ，得四棱锥 .
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，且 在平面 内的射影在 的内部，求 的长.
14.如图，三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，四边形 是菱形， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
15.如图，在直三棱柱 中， 在棱 上.
（1）若 为 的中点，求证:平面 平面 ；
（2）若 为 上的一动点，当三棱锥 的体积为 ，求 .
综合练习
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知空间互不重合的三条直线，，.则“，，在同一平面内”是“，， 两两平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．长方体的8个顶点在同一球面上，且，则球面面积为（ ）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制丈尺，斛立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米（ ）
A．斛 B．斛 C．斛 D．斛
8．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则∥
B．若，，，则
C．若，∥，∥，则∥
D．若，，，则
10．如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（ ）
A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
11．在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是
A．EF与AD所成角的正切值为 B．EF与AD所成角的正切值为
C．AB与面ACD所成角的余弦值为 D．AB与面ACD所成角的余弦值为
12．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是
A．若时，平面平面
B．若时，直线与平面所成的角的正弦值为
C．若直线和异面时，点不可能为底面的中心
D．若平面平面，且点为底面的中心时，
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知圆锥的体积为.其底面半径和母线长的比为.该圆锥内半轻最大的球的表面积为___________
14．某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为，则该模具的体积为_____
15．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面
①，，则；②，，，则；
③，，，则；④若，，，则.
上述四个命题中，正确命题的序号是__________.
16．如图①，矩形的边，直角三角形的边，，沿把三角形折起，构成四棱锥，使得在平面内的射影落在线段上，如图②，则这个四棱锥的体积的最大值为__________．
四、解答题
17．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：．
18．已知三棱锥的侧棱，.且.
（1）证明：；
（2）求点M到平面的距离.
19．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，平面为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
20．已知直角，，，，，分别为，的中点，将沿折起至，使点到直线的距离为.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小.
21．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点为的中点，且，点在上，且.
（1）求证://平面
（2）若平面平面，且，求三棱锥的体积.
22．如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
一空间几何体
1．棱长为1的正四面体内有一个内切球为中点，N为中点，连接交球O于两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如左图，设的中心为，则平面.
因为正四面体的棱长为1，
所以，，，
故正四面体的体积，
正四面体的表面积，
设正四面体的内切球半径为，则由得.
因为是的中点，所以，.
考察正四面体过三点的截面图（如右图），
则，
过点向作垂线，垂足为，则△△，
所以，因此，
故.
故选：A.
2．胡夫金字塔是底面为正方形的棱锥，四个侧面都是相同的等腰三角形，研究发现，在实际生活中，可将该金字塔底面周长除以2倍的塔高得到的数值当作圆周率使用．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以
该金字塔的侧棱长为
所以需要灯带的总长度约为
故选: D
3．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图所示：
因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，
即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．
故选：B．
4．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“温”在正方体中的对面是（ ）
A．州 B．十 C．校 D．合
【答案】C
【详解】
把展开图还原为正方体，
则上面是十，下面是合，左面是州，右面是综，前面是校，后面是温，
所以“温”在正方体中的对面是“校”
故选：C
5．如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】
如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，不妨设是中点（是正四棱锥的斜高），则的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，
正四棱锥中，，，则，，是等边三角形，则分别为的中点，，
由正四棱锥性质知四边形是正方形，所以外接圆半径为．
故选：C．
6．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
【答案】B
【详解】
（1）①⑤相对，②④相对，③⑥相对，故（1）错误；
（2）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（2）正确；
（3）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（3）正确；
（4）①⑥相对，②⑤相对，③④相对，故（4）错误.
故选：B.
7．下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
【答案】C
【详解】
直四棱柱的底面不一定是长方形，因此不一定是长方体，A错；
两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；
平行六面体一定是棱柱，D错．
故选：C．
8．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【答案】C
【详解】
螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
故选：C
9．下面给出的命题中，正确的个数是（ ）
①一个棱柱至少有5个面
②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
根据棱柱的特征可得，一个棱柱的底面至少有三条边，所以至少有5个面；即①正确；
由平行六面体的概念和性质，可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；即②正确；
根据正棱锥的特征可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；即③正确；
根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，即④错；
因此正确的个数有3个.
故选：C.
10．下列说法不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体
C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体
【答案】D
【详解】
解：根据棱柱、棱锥、棱台的定义，选项A、B、C正确；
对选项D：只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，所以四棱柱是长方体不正确；
故选：D.
2立体图形的直观图
1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：画出相应的平面直角坐标系，
在轴上取，在轴上取，作轴，并且，
然后连接，，则平行四边形为原图形，
，
原图形的面积为．
故选：C．
2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
直观图正方形的边长
原图形为平行四边形，其中，高
即图形的周长
故选：A
3．如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图所示，
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为，
所以原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为，
所以它的面积是．
故选：A
4．用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（ ）
A．正方形的直观图为平行四边形 B．菱形的直观图是菱形
C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】A
【详解】
由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚，
A：正方形的直观图为平行四边形，正确；
B：菱形的直观图是平行四边形，错误；
C：梯形的直观图仍然是梯形，错误；
D：正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°，其不为等腰三角形，错误.
故选：A.
5．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
【答案】D
【详解】
根据的形状可知的形状如下图：
由图可知，最长的线段为，
故选：D.
6．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】C
【详解】
如图所示，实线表示直观图，.
,
,
∴直观图的面积为,
故选：C.
7．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在直观图中，，，
由斜二侧画法知，在中，，，且；
所以．
故选：B.
8．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以的底．
腰，在中为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
故选:D．
9．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A．6 B．3
C．3 D．3
【答案】A
【详解】
过点C′作C′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，则∠C′D′B′＝45°.
∵在Rt△B′C′D′中，B′C′＝3，∴C′D′＝3 .所以△ABC的边AB上的高CD＝2C′D′＝6 .
故选：A.
10．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1＋
C．1＋ D．2＋
【答案】D
【详解】
由题图可知，原平面图形为直角梯形，其上底长为1，下底长为1＋2×1×cos 45°＝1＋，高为2，∴其面积为S＝＝2＋.
故选：D.
11．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为.
【详解】
（1）平面四边形的平面图如下图所示：
由直观图可知菱形的高为：，
所以面积为；
（2）旋转而成的几何体如下图所示：
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
12．已知等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，求等边三角形ABC的面积．
【答案】.
【详解】
如图所示，按照斜二测画法的规则，把图(1)中的等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′还原为图(2)中的等边三角形ABC，
设AB＝x，则B′C′＝x，等边三角形ABC的高为x，
所以△A′B′C′的高为，
所以△A′B′C′的面积为，
解得x＝1，
所以△ABC的面积为.
13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
【答案】答案见解析
【详解】
（1）如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3cm.
（3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3cm.
（4）成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
14．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
【答案】 .
【详解】
作出圆锥的一个轴截面，如图所示：其中为母线，为底面直径，
是正方体的棱，是正方体的上、下底面的对角线，
设正方体的棱长为，则，
由，可得 ，解得，
即此正方体的棱长为.
15．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
【答案】2∶1.
【详解】
将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则所以
即h1∶h2＝2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
3简单几何体的表面积与体积
1．伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设球的半径为，则圆锥的底面半径为，高为，圆柱底面半径为，高为，
圆锥体积：，球的体积 ，圆柱的体积 ，
即圆锥、球、圆柱的体积比为
故选：A
2．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设正方体的棱长为，
则，解得，
所以正方体的内切球的半径为，
其体积为.
故选：A
3．已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】D
【详解】
因为圆柱底面半径为2，母线长为3，
所以其侧面积为.
故选：D.
4．如图是某几何体的三视图，主视图和左视图是底边长和高均为的等腰三角形，俯视图是半径为的圆，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由三视图还原原几何体如下图所示，
由三视图中的数据可知，该几何体是圆锥，且圆锥的底面圆的半径为，高为，
所以，圆锥的母线长为，
因此，圆锥的侧面积为.
故选：B.
5．所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，设为正三角形的中心，连接，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，
连接，设正四面体的棱长为，则，
故．
设外接球的半径为，则，
故，解得，
故内切球的半径为，所以，
故内切球与外接球的体积之比为，
故选：A．
6．某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设圆锥底面的半径为，母线长为，则侧面展开图的面积为，则
又因为圆心角为，所以，解得 ，所以圆锥的高为
故圆锥的体积为
故选：B
7．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2.则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，
底面周长是：，
侧面积是：，
底面积是：，
圆锥的全面积为．
故选：．
8．三棱锥中平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以的外接圆的半径3，其外接圆的圆心为其斜边的中点，
三棱锥中，平面ABC，
所以，作平面，并且取，
所以点是三棱锥的外接球的球心，
连结，则有，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故选：C.
9．棱长为a的正四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为正四面体是各面都是全等的等边三角形，
又该正四面体的棱长为，
所以该正四面体的表面积为.
故选：D.
10．某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，那么该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
当俯视图是A时，正方体的体积是1；
当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是S＝π×（）2，高为1，则体积是；
当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是V1×1×1，
当俯视图是D时，该几何是由答案C对应的图形加其他组成而成，其体积是V不成立．
故选：C．
4点、直线、平面之间的位置关系
1．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
点P在直线m上可表示为，m在平面内.
故选：B.
2．在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
连接，在正方体中，
由，分别为，的中点，则
所以，所以（或其补角）为异面直线与所成角
设正方体的棱长为2，则,
所以在中，
故选：B
3．如图，在正方体中，、分别是正方形与的中心，直线与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面
【答案】C
【详解】
连接、、、，则、分别为、的中点，
由图可知，，且、平面，
若与共面，则在平面内，事实上，点不在平面内，
因此，直线与异面.
故选：C.
4．设有直线m、n和平面、，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【详解】
若，，则可以平行、相交或异面，故A错误
若，，，，与相交，则，故B错误
若，，则或，故C错误
若，，则，故D正确
故选：D
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
对于A：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于B：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于C：
根据正方体结构特点可知：既不相交也不平行，故不共面；
对于D：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：相交，故共面；
故选：C.
6．空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【详解】
一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
7．在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取的中点，连接，
如图所示，为的中点，，
故即为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，
则在中，，
故，
故选：B.
8．下列命题正确的是（ ）
A．铺的很平的一张纸是一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．三点确定一个平面 D．梯形可以确定一个平面
【答案】D
【详解】
A：平面是一个无限延展的面，而一张纸只是平面图形，错误；
B：若四个顶点不共面，四边形不是平面图形，错误；
C：三点共线时有无数个平面，错误；
D：梯形是一个平面图形，故可以确定一个平面，正确.
故选：D.
9．下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④平行于同一个平面的两个平面平行
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】C
【详解】
①由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；
②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；
③平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故③错误；
④根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确.
故选：C.
10．已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设正四面体的棱长为，如图，取的中点，连接，
因为点为棱的中点，所以∥，，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
因为正四面体的棱长为，所以，
所以，
故选：A
五直线、平面的平行
1．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【详解】
对于A，若，，则与相交，平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则与平行或异面，故B错误；
对于C，m有可能在平面内，故C错误；
对于D，根据直线与平面平行的判定定理可知D是正确的.
故选：D
2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】
A.直线也可能相交或者异面；
B.若在平面内则不成立；
C.直线也可能异面；
D.因为 ，所以，且，故.
故选：D
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】A
【详解】
如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱是BB1和DD1，共有2条.
故选：A.
4．如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，设， 可得面面，
∵平面，根据线面平行的性质可得，
∵为的中点，∴为中点，∴．
故选：D．
5．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱始终与水面EFGH平行；
④当时，是定值．其中正确说法的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【详解】
①由棱柱的特征知：平面平行平面，故正确；
②因为四边形是矩形，的长度变化，长度不变，所以面积是改变的，故错误；
③因为，平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH，故正确；
④因为水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以时，是定值．故正确．
故选：C．
6．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能确定
【答案】B
【详解】
如图所示，由三角形中位线的性质可得,.
所以四边形EFGH是平行四边形，
因为，
所以 .
故选：B.
7．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
【答案】B
【详解】
由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
8．平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．内的任何直线都与平行
C．直线在平面内，直线在平面内，且，
D．直线，直线
【答案】B
【详解】
若内有无穷多条直线与平行，则平面与平面相交或平行，故不正确；
若内的任何直线都与平行，则，故B正确；
若直线在平面内，直线在平面内，且，，则平面与平面相交或平行，故C不正确；
若直线，直线，则平面与平面相交或平行，故D不正确.
故选：B
9．不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，，
【答案】C
【详解】
由不同的直线和，不同的平面，，，知：
若，，，则与相交或平行，故不正确；
若，，则与相交或平行，故B不正确；
若，，，则由平面平行的判定定理知，故C正确；
若，，，则与相交或平行，故D不正确.
故选：C.
10．?是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是（ ）
A．?都平行于直线?
B．内有三个不共线的点到的距离相等
C．?是内的两条直线且，
D．?是两条异面直线且，，，
【答案】D
【详解】
对于A，当，时，不能推出；
对于B，当，且在内，在交线的一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出；
对于C，当与平行时，不能推出；
对于D，，是两条异面直线，且，，，，
内存在两条相交直线与平面平行，
根据面面平行的判定，可得，
故选：D.
11．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点G，使得平面，且.
【详解】
（1）证明：连接交于，再连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点，
所以在中，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）存在点G，使得平面.
与的交点记为.
当为的中点时，
可知，
所以，
M，N分别是线段的中点，
所以，
又，且平面，平面，
所以平面平面，又平面，
所以当为的中点时，即时，平面.
12．如图，长方体中，，P是棱上的动点．
（1）若E，F分别是的中点，证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）6；
【详解】
（1）E，F分别是的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）作于，则为三棱锥的高，且，
；
13．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于且点P棱的中点，点Q在棱上．
（1）试在棱上找一点D，使得平面，并加以证明；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）D为的中点，证明见解析；（2）
【详解】
（1）D为的中点时，平面.
证明如下：
平面，平面，平面平面，
，平面，平面，所以平面，
又D为的中点，是平行四边形，，
又平面，平面，面，
又与在平面内相交，面面，
又面，平面；
（2）连接，四棱锥可视为三棱锥和组合而成，
三棱锥可视为，底面积，高为，
设，
体积为．
三棱锥与等高，体积比为底面积之比，
设，
则，故，
因此，，即为所求．
14．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.
【详解】
（1）因为平面，平面，平面平面，所以；
（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：
因为、分别是、的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面.
又因为，所以，平面平面
15．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．
【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．
【详解】
直线的位置关系是平行直线或异面直线；
理由如下：由，直线分别在平面，内，
可知直线没有公共点．
因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，
这与是平面，平行矛盾．
因此直线不相交，它们是平行直线或异面直线．
六直线、平面的垂直
1.已知空间中两平面 ，两直线 ，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】若 不垂直时， 无法得到 ，充分性不成立；
当 时， ， ，由线面垂直性质知 ，必要性成立；
则“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B.
2.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则（ ??）
A.?若m∥α，n//α，则m//n????????????????????????????????????B.?若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C.?若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n?????????????????????????D.?若m∥n，n?α，则m//α
【答案】 C
【解析】解：对于A，若 则 或m,n相交或m,n异面，故A错误；
对于B，若 ， 则或 ， 故B错误；
对于C，若 ， 则又 ， 则m⊥n，所以C正确；
对于D，若 ， 则或 ， 故D错误.
故答案为：C.
3.已知 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充要条件?????????????B.?充分不必要条件?????????????C.?必要不充分条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】解：若 ，根据线面垂直的性质可得 ，反之不一定成立．
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：B．
4.已知 是正方体 的中心O关于平面 的对称点，则下列说法中错误的是（??? ）
A.? 平面 ???????????????????????????????B.?平面 平面
C.? 平面 ??????????????????????????????????D.? ， ， ， ， ， 六点在同一球面上
【答案】 D
【解析】对于A，如图：因为 为正方体的中心， 与 关于平面 对称，所以 ，
且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
?
对于B，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，则 ，所以 ，
由 ，得 ，取 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以平面 平面 ，B符合题意；
对于C，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ， ，
， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 平面 ，C符合题意；
对于D，假设 ， ， ， ， ， 六点在同一球面上，根据 为正方体的中心， 与 关于平面 对称可知该球的球心为 的中点，设为 ，
设正方体的棱长为 ，则 ，但是 ， ，不满足 ，
所以假设不成立，故 ， ， ， ， ， 六点不在同一球面上，D不正确.
故答案为：D
5.在正方体 中，设 为线段 的中点，则下列说法正确的是（??? ）
A.???????????B.? 平面 ??????????C.???????????D.? 平面
【答案】 C
【解析】如图：在正方体 中，
对于A，假设 ，因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，而 ，所以 ，显然不正确，所以假设不成立，A不正确；
对于B，假设 平面 ，因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，显然不正确，所以假设不成立，B不正确；
对于C，因为 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，所以 ，C符合题意；
对于D，假设 平面 ，因为 ， ，且 ，所以 平面 ，所以 ，显然不成立，所以假设不成立，D不正确.
故答案为：C
6.三棱锥 的各棱长都相等， 分别是 的中点，下列四个结论中不成立的是（??? ）
A.? 平面 ??????????????????????????????????????????????B.? 平面
C.?平面 平面 ???????????????????????????????????D.?平面 平面
【答案】 C
【解析】对于A中，因为 分别是 的中点，可得 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意；
对于B中，因为 ，所以 ，
同理可得 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又由 ，所以 平面 ，所以B符合题意；
对于D中，由 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ，所以D符合题意；
综上可得A、B、D都正确，所以C不正确.
故答案为：C.
7.在空间中，设 是不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是 （??? ）
A.?若 ，则 ????????????????????????????????????B.?若 ，则
C.?若 ，则 ???????????????????????????????D.?若 ，则
【答案】 D
【解析】对于A，若 ，可得 或 ，A不符合题意；
对于B，若 ，可得 或 ，B不符合题意；
对于C，若 ，则 ，或 ，或 与 相交，C不符合题意；
对于D，若 ，则 ，正确.
故答案为：D.
8.设m，n是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（??? ）
① ?? ② ?? ③ ??? ④
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
【答案】 C
【解析】对①，若 ，则 和 可能相交，平行或在平面内，故①错误；
对②，若 ，则由面面垂直的判定定理可得 ，故②正确；
对③，若 ，则由线面垂直的性质可得 ，故③正确；
对④，若 ，则 和 平行或异面，故④错误.
故答案为：C.
9.如图，三棱锥 的底面 在平面 内，所有棱均相等， 是棱 的中点，若三棱锥 绕棱 旋转，设直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围为（??? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】 A
【解析】取 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：
?
、 分别为 、 的中点，所以 ，
设正四面体 的棱长为 ，则 ， ，
由余弦定理可得 ，
当三棱锥 绕棱 旋转时，直线 与平面 所成的角为 ，
让正四面体 相对静止，让平面 绕着直线 转动，则平面 的垂线也绕着 旋转，
设过直线 的平面 满足 ，
，问题也等价于平面 绕着直线 旋转，
当 时， 取得最小值 ，此时， 取得最大值 ；
当 时，设点 到平面 的距离为 ，可得 ，
当 取最大值时， 取最大值，此时，平面 平面 ，
由于 ，取 的中点 ，连接 ，可得 ，
平面 平面 ，平面 ， 平面 ， ，
此时， ，所以， 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围是 。
故答案为：A。
10.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，（??? ）
A.?若 ， ，则 ??????????????????????????????B.?若 ， ，则
C.?若 ， ， ，则 ????????????D.?若 ， ， ，则
【答案】 D
【解析】对于A，如下图长方体中， ， ，则 ，错误；
?
对于B， 如下图长方体中， ， ，则 不与 垂直，错误；
对于C，如下图长方体中， ， ， ，则 不与 垂直，错误；
对于D， 若 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，正确.
故答案为：D.
二、解答题
11.如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆 （ 为圆心）过点 ，且 ， 底面 ， 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的侧面积．
【答案】 （1）证明：由题意知点 为圆 上一点，则 .
由 底面 ，知 .又 ，因此 平面 ，
则 ，又 ，则 .
因为 ， 为 的中点，所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由（1）知 平面 ，所以 ，
， ，
因此， .
因为 ， ， 分别为 ， 的中点，所以 .
设 边的高为 ，则 ， .
又因为 ， ，所以 .
由 ，可得 ，
得 .
故四棱锥 的侧面积 .
12.如图，四边形 是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段 是该半圆柱的一条母线，点 为线 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，且点 到平面 的距离为1，求线段 的长．
【答案】 （1）证明：由题意可知 平面 ， 平面 ??? ∴
∵ 所对 为半圆直径??? ∴ ??? ∴
和 是平面 内两条相交直线??? ∴ 平面
平面 ??? ∴
（2）解：设 ，
因为 ，且 ??? 所以 ，
设 ，
在等腰直角三角形 中，取BC的中点E,连结AE,则 ，
取BC1的中点为P，连结DP，∵ ，∴ ，又 为 的中点，
∴ ,∴ ，即 的高为
∴ ，
∵ ， 且 ,∴ 平面 ，
∵ 平面 ，且 ? 即 到平面 的距离为1，而
由 ，即
解得： ，即 .
13.如图，在 中， 为 的中点， 分别在边 上，满足 ， 交 于 .现将 沿 翻折至 ，得四棱锥 .
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，且 在平面 内的射影在 的内部，求 的长.
【答案】 （1）由题意知4BP=3PC，则 ， 所以AP是∠BAC的角平分线，且A,M,P三点共线，
又AD=2， ， 则AD=AE，所以点M是DE的中点，则DE⊥AM，即DE⊥A1M，DE⊥MP，A1M∩MP=M，所以DE⊥平面A1MP；
（2）解： 如图，
连接AA1 ， 由DE⊥平面A1MP易知平面AA1P⊥平面A1MP，且交线为AP，
所以 ??在平面??内的射影H在 MP上，∠A1PH即为 直线??与平面??所成角，则tan∠A1PH ，
由余弦定理得
又在等腰三角形DAE中， ， 解得DE=1，则 ，
又cos∠ABC=cos∠ABP，则由余弦定理得 ， 即 ， 解得 ，
则在△AA1P中，……①
又由tan∠A1PH=7，得……②
由……③
由①②③得
则在Rt△AA1H中，
14.如图，三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，四边形 是菱形， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】 （1）解：连接 ，
因为四边形 为菱形，
所以 .
因为 ， ， ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
（2）解：由（1）知 平面 ，
所以平面 平面 ，
作 于点 ，则 平面 ，
因为四边形 为菱形， ，
所以 为等边三角形，
所以 为 的中点.
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则 ，
可取
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则
可取 .
所以二面角 的余弦值为 .
15.如图，在直三棱柱 中， 在棱 上.
（1）若 为 的中点，求证:平面 平面 ；
（2）若 为 上的一动点，当三棱锥 的体积为 ，求 .
【答案】 （1）解：在面 中，因为 为 中点，
设 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：如图所示，过 作 于点 ，则 ，
因为 ，所以
又因为 ，且 ，所以 平面 ，
即 平面 ，
所以 ，解得 ，
由 ，所以 为 的中点，所以 .
综合练习
1．A
【分析】
首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出组合体的表面积.
【详解】
这个几何体是由一个底面半径为且高为1的半圆柱，和一个半径为的半球的前半部分组成，所以它的下底面为半圆，面积为，后表面为一个矩形加半圆，面积为，前表面为半个圆柱侧面加个球面，面积为，所以其表面积为，
故选：A.
2．A
【分析】
如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.
【详解】
设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
3．D
【分析】
根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
若，，在同一平面内，则，，在可能平行也可能相交，故充分性不成立；
若，， 两两平行，则，， 不一定在同一平面内，故必要性不成立；
所以“，，在同一平面内”是“，， 两两平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间中直线和平面的位置关系作出判断是解决本题的关键.
4．C
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.
【详解】
设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
圆锥的侧面展开图是一个半圆，，
圆锥的表面积为，， ，
故圆锥的底面半径为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.
5．D
【分析】
利用线面平行的判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，如下图所示，连接，
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，
若平面，平面，平面平面，则，
则，
由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，
、分别为、的中点，则，且，
则，，
则，又，则，所以，与平面不平行；
故选：D.
【点睛】
判断或证明线面平行的常用方法：
（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；
（2）利用线面平行的判定定理（，，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；
（3）利用面面平行的性质定理（，）.
6．D
【分析】
根据球的直径等于长方体的对角线长，可求得球的半径，再利用球的表面积公式可得结果.
【详解】
因为长方体的8个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为，因为，，，
所以，
球的表面积为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查长方体的性质以及球的几何性质，考查了球的表面积公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.
7．B
【分析】
计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.
【详解】
设圆柱形容器的底面圆半径为，则（尺），
所以，该圆柱形容器的体积为（立方尺），
因此，该圆柱形容器能放米（斛）.
故选：B.
【点睛】
本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.
8．A
【分析】
设圆柱的底面半径为，由题意可知则圆柱高为，再根据圆柱的底面与外接球的关系，可利用勾股定理即可求出圆柱外接球半径，由两几何体的体积的体积公式求出各自体积，由此即可求出比值．
【详解】
设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为，如下图所示：
所以圆柱的高为，
可得圆柱的体积为：，
又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，如下图所示：
所以圆柱的外接球半径，
所以圆柱的外接球体积为：，
故．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了圆柱的几何特征和体积公式以及球的体积公式的应用，本题属于基础题．
9．AC
【分析】
根据空间中的线线、线面、面面关系的判定可得选项.
【详解】
对于选项A，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以选项A正确；
对于选项B，若，，，则与可平行或异面，不一定垂直，所以选项B错误；
对于选项C，若，，，可推出，则选项C正确；
对于选项D，若，，，则与不一定垂直，所以选项D错误；
故选：AC．
【点睛】
方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
10．BCD
【分析】
根据题意，逐一分析选项，结合线面平行的判定定理等知识，综合分析，即可得答案.
【详解】
对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，故A错误．
对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，故B正确．
对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，故C正确．
对于D，连接，交于O，则O为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：BCD
11．BC
【分析】
如图所示，先找出EF与AD所成角再求解，再找出AB与面ACD所成角求解.
【详解】
（1）设中点为，的中点为，连接、、、，
因为，，，
所以，，
所以就是直线与所成的角或补角，
在三角形中，，，
由于三棱锥是正三棱锥，，，
又因为平面，，所以平面，
平面，所以，所以，
所以，所以A错误B正确.
（2）过点作垂直，垂足为.
因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以就是与平面所成角.
由题得，所以.
所以C正确D错误.
故答案为：BC.
【点睛】
本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．AC
【分析】
推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；设的中点为，连接、，证明出平面，找出直线与平面所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B选项的正误；利用反证法可判断C选项的正误；计算出线段和的长度，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
因为，，，所以平面，
平面，所以平面平面，A项正确；
设的中点为，连接、，则.
平面平面，平面平面，平面.
平面，设平面所成的角为，则，
，，，则，B项错误；
连接，易知平面，由、、确定的面即为平面，
当直线和异面时，若点为底面的中心，则，
又平面，则与共面，矛盾，C项正确；
连接，平面，平面，，
、分别为、的中点，则，
又，故，，则，D项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
13．
【分析】
设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,利用勾股定理表示高，进而利用体积公式求得底面半径为1，然后利用等面积法求得内切球的半径，进而利用球的表面积公式计算.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,高为,
体积,所以,故.
该圆锥内半轻最大的球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，
则,
解得,其表面积.
故答案为：
【点睛】
本题考查圆锥的体积和球的表面积公式及圆锥的内切球半径的求法，属基础题，关键是根据已知条件，利用圆锥的体积求得底面半径和高，然后利用等面积法建立关系求得内切球的半径.
14．
【分析】
由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，结合三视图中的数据可计算出该几何体的体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，且长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，
因此，该几何体的体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是要结合三视图确定几何体的结构，考查计算能力，属于基础题.
15．②
【分析】
根据已知条件逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于①，若，，则或异面，故①错；
对于②，因为，，故，而，故.故②正确.
对于③，若，，，则或，故③错；
对于④，若，，，则或相交，故④错.
故答案为：②.
【点睛】
本题考查空间中与点线面位置关系有关的命题真假判断，注意根据已知条件分析所有可能的结果，本题属于基础题.
16．
【分析】
设，可得，.，由余弦定理以及同角三角函数的关系得，则，利用配方法可得结果.
【详解】
因为在矩形内的射影落在线段上，
所以平面垂直于平面，
因为，所以平面，，
同理，设，则，.
在中，，，
所以，
所以四棱锥的体积.
因为，
所以当，即时，体积取得最大值，最大值为，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查面面垂直的性质，余弦定理的应用以及锥体的体积公式，考查了配方法求最值，属于难题. 解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用空间点线面关系和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
17．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
(1)求出圆柱下底面圆周的周长，结合圆柱的侧面积公式即可求解；（2）根据平面ABC，可得,结合可得平面,利用线面垂直的性质定理即可得证.
【详解】
（1）由题意可得，又，所以,
所以圆柱的侧面积为.
(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因为，,所以平面,又平面,所以.
【点睛】
本题主要考查圆柱的侧面积公式、线面垂直的判定定理与性质定理，属于基础题.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1) 利用勾股定理逆定理计算可得，，利用线面垂直判定定理得到平面，从而证得.
(2) 点P到平面的距离为h，由已知可得点M到平面的距离为，可证平面，利用可求得h的值，进而点M到平面的距离.
【详解】
（1）因为，.
所以，
，
，
所以有，.
又，交于点P，
所以平面.
又平面，
所以.
（2）设点P到平面的距离为h，
因为，
所以，
所以点M到平面的距离为.
又，，两两垂直，
所以平面.
因为，
所以.
，，，
，.
点M到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定和证明，考查利用等体积法求点到平面的距离.关键是准确掌握线面垂直的判定定理，和等体积法球点到平面的距离.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件，利用勾股定理及其逆定理得到，根据平面，得到，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，进而利用面面垂直的判定定理证得平面平面；
（2）由已知条件，利用中垂线的性质得到,进而利用体积公式计算.
【详解】
(1)∵，，
∴
，
∴，∴，
又∵平面，∴，
又∵， ∴平面，
又平面，
∴平面平面；
(2)∵为的中点，，
∴，
所以四棱锥的体积
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和棱锥的体积计算，主要要点是要熟练掌握线线，线面，面面垂直的转化.
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）通过求解各边边长，证明，再证明平面，即可证明平面平面；（2）通过建立空间直角坐标系，求解两平面的法向量，通过向量的数量积即可求解二面角的大小.
【详解】
（1）由题意可知，中，，，，
所以，.
又，分别为，的中点，则，.
将沿折起至后，，
即，所以.
因为，即，又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，，，两两垂直，故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，
则，，.
设平面的法向量为，则
令，则，即.
设平面的法向量为，则
令，则，，即.
所以，
即二面角为.
21．（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等体积转化得到，计算体积.
【详解】
（1）如图所示，取的中点，连结、，
因为点为的中点，且，所以且，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以∥平面；
（2）， ，，
平面平面，且平面平面，
，取的中点，连结，则平面，
，,
【点睛】
本题考查线面平行，几何体体积，重点考查推理，转化，计算能力，属于中档题型.
方法点睛：不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.
22．(1)证明过程详见解析（2）
【分析】
（1）过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；
（2）分别以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.
【详解】
解：（1）如图，过点作于，连接EH，∴.
∵平面平面，平面，
平面平面于 ∴ 平面.
又∵平面，.∴，
∴四边形为平行四边形. ∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，
∴.分别以，，为轴建立
如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
，， ，
设平面的法向量为.
由，得
令，得.
，
直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
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2020-2021学年高一数学期末专题复习---立体几何
一 、空间几何体
（一） 空间几何体的类型
1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征
1 、棱柱的结构特征
1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类
棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体
性质：
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1.3 棱柱的面积和体积公式
（是底周长，是高）
S直棱柱表面 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底 ·h
2 、棱锥的结构特征
2.1 棱锥的定义
（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征
Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）
体积：（为底面积，为高）
正四面体：
对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。
对棱间的距离为（正方体的边长）
正四面体的高（）
正四面体的体积为（）
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）
3 、棱台的结构特征
3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
3.2 正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征
4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2 圆柱的性质
（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
4.4 圆柱的面积和体积公式
S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)
S圆柱全 = 2π r h + 2π r2
V圆柱 = S底h = πr2h
5、圆锥的结构特征
5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
5.2 圆锥的结构特征
（1） 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
（2）轴截面是等腰三角形；
（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l2 = r2 + h2
5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2 圆台的结构特征
⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6.3 圆台的面积和体积公式
S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)
S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高)
7 球的结构特征
7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2
★7-3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4 球的面积和体积公式
S球面 = 4 π R2 (R为球半径)
V球 = 4/3 π R3
1．棱长为1的正四面体内有一个内切球为中点，N为中点，连接交球O于两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．胡夫金字塔是底面为正方形的棱锥，四个侧面都是相同的等腰三角形，研究发现，在实际生活中，可将该金字塔底面周长除以2倍的塔高得到的数值当作圆周率使用．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为（ ）
A． B．
C． D．
3．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“温”在正方体中的对面是（ ）
A．州 B．十 C．校 D．合
5．如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
7．下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
8．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
9．下面给出的命题中，正确的个数是（ ）
①一个棱柱至少有5个面
②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列说法不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体
C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体
二立体图形的直观图
空间几何体的三视图和直观图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则：
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
直观图：斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）画法要写好
用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（ ）
A．正方形的直观图为平行四边形 B．菱形的直观图是菱形
C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
5．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
6．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
7．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
8．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A．6 B．3
C．3 D．3
10．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1＋
C．1＋ D．2＋
11．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
12．已知等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，求等边三角形ABC的面积．
13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
14．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
15．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
三简单几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积 ：
圆锥的表面积：
圆台的表面积：
球的表面积：
扇形的面积公式（其中表示弧长，表示半径，表示弧度）
空间几何体的体积
柱体的体积 ：
锥体的体积 ：
台体的体积 ：
球体的体积：
1．伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A． B． C． D．
2．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为（ ）
A．12 B．16 C． D．
4．如图是某几何体的三视图，主视图和左视图是底边长和高均为的等腰三角形，俯视图是半径为的圆，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2.则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．三棱锥中平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．棱长为a的正四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，那么该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
四点、直线、平面之间的关系
立体几何网络图：
（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ；
平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
（4）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；
1．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体中，、分别是正方形与的中心，直线与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面
4．设有直线m、n和平面、，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（ ）
A． B．
C． D．
6．空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
7．在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是（ ）
A．铺的很平的一张纸是一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．三点确定一个平面 D．梯形可以确定一个平面
9．下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④平行于同一个平面的两个平面平行
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
10．已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
五直线、平面的平行
1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（4）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线面平行的判断：
（1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
判定定理：
性质定理：
★判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：，则∥α (用于判断)；
⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
3面面平行的判断：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
1．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
4．如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱始终与水面EFGH平行；
④当时，是定值．其中正确说法的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
6．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能确定
7．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
8．平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．内的任何直线都与平行
C．直线在平面内，直线在平面内，且，
D．直线，直线
9．不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，，
10．?是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是（ ）
A．?都平行于直线?
B．内有三个不共线的点到的距离相等
C．?是内的两条直线且，
D．?是两条异面直线且，，，
二、解答题
11．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由．
12．如图，长方体中，，P是棱上的动点．
（1）若E，F分别是的中点，证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
13．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于且点P棱的中点，点Q在棱上．
（1）试在棱上找一点D，使得平面，并加以证明；
（2）求四棱锥的体积．
14．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
15．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．
六直线、平面的垂直
1线线垂直的判断：
（1）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（2）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
判定定理：
性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
（2）垂直于同一平面的两直线平行。
即：
★判断或证明线面垂直的方法
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
3三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面
α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
4面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：
性质定理：
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
（2）
（3）
（4）
1.已知空间中两平面 ，两直线 ，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
2.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则（ ??）
A.?若m∥α，n//α，则m//n????????????????????????????????????B.?若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C.?若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n?????????????????????????D.?若m∥n，n?α，则m//α
3.已知 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充要条件?????????????B.?充分不必要条件?????????????C.?必要不充分条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
4.已知 是正方体 的中心O关于平面 的对称点，则下列说法中错误的是（??? ）
A.? 平面 ???????????????????????????????B.?平面 平面
C.? 平面 ??????????????????????????????????D.? ， ， ， ， ， 六点在同一球面上
5.在正方体 中，设 为线段 的中点，则下列说法正确的是（??? ）
A.???????????B.? 平面 ??????????C.???????????D.? 平面
6.三棱锥 的各棱长都相等， 分别是 的中点，下列四个结论中不成立的是（??? ）
A.? 平面 ??????????????????????????????????????????????B.? 平面
C.?平面 平面 ???????????????????????????????????D.?平面 平面
7.在空间中，设 是不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是 （??? ）
A.?若 ，则 ????????????????????????????????????B.?若 ，则
C.?若 ，则 ???????????????????????????????D.?若 ，则
8.设m，n是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（??? ）
① ?? ② ?? ③ ??? ④
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
9.如图，三棱锥 的底面 在平面 内，所有棱均相等， 是棱 的中点，若三棱锥 绕棱 旋转，设直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围为（??? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，（??? ）
A.?若 ， ，则 ??????????????????????????????B.?若 ， ，则
C.?若 ， ， ，则 ????????????D.?若 ， ， ，则
11.如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆 （ 为圆心）过点 ，且 ， 底面 ， 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的侧面积．
12.如图，四边形 是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段 是该半圆柱的一条母线，点 为线 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，且点 到平面 的距离为1，求线段 的长．
13.如图，在 中， 为 的中点， 分别在边 上，满足 ， 交 于 .现将 沿 翻折至 ，得四棱锥 .
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，且 在平面 内的射影在 的内部，求 的长.
14.如图，三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，四边形 是菱形， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
15.如图，在直三棱柱 中， 在棱 上.
（1）若 为 的中点，求证:平面 平面 ；
（2）若 为 上的一动点，当三棱锥 的体积为 ，求 .
综合练习
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知空间互不重合的三条直线，，.则“，，在同一平面内”是“，， 两两平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．长方体的8个顶点在同一球面上，且，则球面面积为（ ）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制丈尺，斛立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米（ ）
A．斛 B．斛 C．斛 D．斛
8．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则∥
B．若，，，则
C．若，∥，∥，则∥
D．若，，，则
10．如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（ ）
A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
11．在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是
A．EF与AD所成角的正切值为 B．EF与AD所成角的正切值为
C．AB与面ACD所成角的余弦值为 D．AB与面ACD所成角的余弦值为
12．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是
A．若时，平面平面
B．若时，直线与平面所成的角的正弦值为
C．若直线和异面时，点不可能为底面的中心
D．若平面平面，且点为底面的中心时，
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知圆锥的体积为.其底面半径和母线长的比为.该圆锥内半轻最大的球的表面积为___________
14．某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为，则该模具的体积为_____
15．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面
①，，则；②，，，则；
③，，，则；④若，，，则.
上述四个命题中，正确命题的序号是__________.
16．如图①，矩形的边，直角三角形的边，，沿把三角形折起，构成四棱锥，使得在平面内的射影落在线段上，如图②，则这个四棱锥的体积的最大值为__________．
四、解答题
17．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：．
18．已知三棱锥的侧棱，.且.
（1）证明：；
（2）求点M到平面的距离.
19．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，平面为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
20．已知直角，，，，，分别为，的中点，将沿折起至，使点到直线的距离为.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小.
21．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点为的中点，且，点在上，且.
（1）求证://平面
（2）若平面平面，且，求三棱锥的体积.
22．如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
一空间几何体
1．棱长为1的正四面体内有一个内切球为中点，N为中点，连接交球O于两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如左图，设的中心为，则平面.
因为正四面体的棱长为1，
所以，，，
故正四面体的体积，
正四面体的表面积，
设正四面体的内切球半径为，则由得.
因为是的中点，所以，.
考察正四面体过三点的截面图（如右图），
则，
过点向作垂线，垂足为，则△△，
所以，因此，
故.
故选：A.
2．胡夫金字塔是底面为正方形的棱锥，四个侧面都是相同的等腰三角形，研究发现，在实际生活中，可将该金字塔底面周长除以2倍的塔高得到的数值当作圆周率使用．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以
该金字塔的侧棱长为
所以需要灯带的总长度约为
故选: D
3．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图所示：
因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，
即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．
故选：B．
4．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“温”在正方体中的对面是（ ）
A．州 B．十 C．校 D．合
【答案】C
【详解】
把展开图还原为正方体，
则上面是十，下面是合，左面是州，右面是综，前面是校，后面是温，
所以“温”在正方体中的对面是“校”
故选：C
5．如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】
如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，不妨设是中点（是正四棱锥的斜高），则的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，
正四棱锥中，，，则，，是等边三角形，则分别为的中点，，
由正四棱锥性质知四边形是正方形，所以外接圆半径为．
故选：C．
6．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
【答案】B
【详解】
（1）①⑤相对，②④相对，③⑥相对，故（1）错误；
（2）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（2）正确；
（3）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（3）正确；
（4）①⑥相对，②⑤相对，③④相对，故（4）错误.
故选：B.
7．下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
【答案】C
【详解】
直四棱柱的底面不一定是长方形，因此不一定是长方体，A错；
两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；
平行六面体一定是棱柱，D错．
故选：C．
8．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【答案】C
【详解】
螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
故选：C
9．下面给出的命题中，正确的个数是（ ）
①一个棱柱至少有5个面
②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
根据棱柱的特征可得，一个棱柱的底面至少有三条边，所以至少有5个面；即①正确；
由平行六面体的概念和性质，可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；即②正确；
根据正棱锥的特征可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；即③正确；
根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，即④错；
因此正确的个数有3个.
故选：C.
10．下列说法不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体
C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体
【答案】D
【详解】
解：根据棱柱、棱锥、棱台的定义，选项A、B、C正确；
对选项D：只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，所以四棱柱是长方体不正确；
故选：D.
2立体图形的直观图
1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：画出相应的平面直角坐标系，
在轴上取，在轴上取，作轴，并且，
然后连接，，则平行四边形为原图形，
，
原图形的面积为．
故选：C．
2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
直观图正方形的边长
原图形为平行四边形，其中，高
即图形的周长
故选：A
3．如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图所示，
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为，
所以原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为，
所以它的面积是．
故选：A
4．用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（ ）
A．正方形的直观图为平行四边形 B．菱形的直观图是菱形
C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】A
【详解】
由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚，
A：正方形的直观图为平行四边形，正确；
B：菱形的直观图是平行四边形，错误；
C：梯形的直观图仍然是梯形，错误；
D：正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°，其不为等腰三角形，错误.
故选：A.
5．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
【答案】D
【详解】
根据的形状可知的形状如下图：
由图可知，最长的线段为，
故选：D.
6．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】C
【详解】
如图所示，实线表示直观图，.
,
,
∴直观图的面积为,
故选：C.
7．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在直观图中，，，
由斜二侧画法知，在中，，，且；
所以．
故选：B.
8．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以的底．
腰，在中为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
故选:D．
9．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A．6 B．3
C．3 D．3
【答案】A
【详解】
过点C′作C′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，则∠C′D′B′＝45°.
∵在Rt△B′C′D′中，B′C′＝3，∴C′D′＝3 .所以△ABC的边AB上的高CD＝2C′D′＝6 .
故选：A.
10．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1＋
C．1＋ D．2＋
【答案】D
【详解】
由题图可知，原平面图形为直角梯形，其上底长为1，下底长为1＋2×1×cos 45°＝1＋，高为2，∴其面积为S＝＝2＋.
故选：D.
11．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为.
【详解】
（1）平面四边形的平面图如下图所示：
由直观图可知菱形的高为：，
所以面积为；
（2）旋转而成的几何体如下图所示：
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
12．已知等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，求等边三角形ABC的面积．
【答案】.
【详解】
如图所示，按照斜二测画法的规则，把图(1)中的等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′还原为图(2)中的等边三角形ABC，
设AB＝x，则B′C′＝x，等边三角形ABC的高为x，
所以△A′B′C′的高为，
所以△A′B′C′的面积为，
解得x＝1，
所以△ABC的面积为.
13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
【答案】答案见解析
【详解】
（1）如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3cm.
（3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3cm.
（4）成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
14．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
【答案】 .
【详解】
作出圆锥的一个轴截面，如图所示：其中为母线，为底面直径，
是正方体的棱，是正方体的上、下底面的对角线，
设正方体的棱长为，则，
由，可得 ，解得，
即此正方体的棱长为.
15．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
【答案】2∶1.
【详解】
将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则所以
即h1∶h2＝2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
3简单几何体的表面积与体积
1．伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设球的半径为，则圆锥的底面半径为，高为，圆柱底面半径为，高为，
圆锥体积：，球的体积 ，圆柱的体积 ，
即圆锥、球、圆柱的体积比为
故选：A
2．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设正方体的棱长为，
则，解得，
所以正方体的内切球的半径为，
其体积为.
故选：A
3．已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】D
【详解】
因为圆柱底面半径为2，母线长为3，
所以其侧面积为.
故选：D.
4．如图是某几何体的三视图，主视图和左视图是底边长和高均为的等腰三角形，俯视图是半径为的圆，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由三视图还原原几何体如下图所示，
由三视图中的数据可知，该几何体是圆锥，且圆锥的底面圆的半径为，高为，
所以，圆锥的母线长为，
因此，圆锥的侧面积为.
故选：B.
5．所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，设为正三角形的中心，连接，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，
连接，设正四面体的棱长为，则，
故．
设外接球的半径为，则，
故，解得，
故内切球的半径为，所以，
故内切球与外接球的体积之比为，
故选：A．
6．某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设圆锥底面的半径为，母线长为，则侧面展开图的面积为，则
又因为圆心角为，所以，解得 ，所以圆锥的高为
故圆锥的体积为
故选：B
7．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2.则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，
底面周长是：，
侧面积是：，
底面积是：，
圆锥的全面积为．
故选：．
8．三棱锥中平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以的外接圆的半径3，其外接圆的圆心为其斜边的中点，
三棱锥中，平面ABC，
所以，作平面，并且取，
所以点是三棱锥的外接球的球心，
连结，则有，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故选：C.
9．棱长为a的正四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为正四面体是各面都是全等的等边三角形，
又该正四面体的棱长为，
所以该正四面体的表面积为.
故选：D.
10．某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，那么该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
当俯视图是A时，正方体的体积是1；
当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是S＝π×（）2，高为1，则体积是；
当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是V1×1×1，
当俯视图是D时，该几何是由答案C对应的图形加其他组成而成，其体积是V不成立．
故选：C．
4点、直线、平面之间的位置关系
1．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
点P在直线m上可表示为，m在平面内.
故选：B.
2．在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
连接，在正方体中，
由，分别为，的中点，则
所以，所以（或其补角）为异面直线与所成角
设正方体的棱长为2，则,
所以在中，
故选：B
3．如图，在正方体中，、分别是正方形与的中心，直线与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面
【答案】C
【详解】
连接、、、，则、分别为、的中点，
由图可知，，且、平面，
若与共面，则在平面内，事实上，点不在平面内，
因此，直线与异面.
故选：C.
4．设有直线m、n和平面、，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【详解】
若，，则可以平行、相交或异面，故A错误
若，，，，与相交，则，故B错误
若，，则或，故C错误
若，，则，故D正确
故选：D
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
对于A：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于B：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于C：
根据正方体结构特点可知：既不相交也不平行，故不共面；
对于D：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：相交，故共面；
故选：C.
6．空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【详解】
一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
7．在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取的中点，连接，
如图所示，为的中点，，
故即为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，
则在中，，
故，
故选：B.
8．下列命题正确的是（ ）
A．铺的很平的一张纸是一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．三点确定一个平面 D．梯形可以确定一个平面
【答案】D
【详解】
A：平面是一个无限延展的面，而一张纸只是平面图形，错误；
B：若四个顶点不共面，四边形不是平面图形，错误；
C：三点共线时有无数个平面，错误；
D：梯形是一个平面图形，故可以确定一个平面，正确.
故选：D.
9．下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④平行于同一个平面的两个平面平行
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】C
【详解】
①由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；
②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；
③平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故③错误；
④根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确.
故选：C.
10．已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设正四面体的棱长为，如图，取的中点，连接，
因为点为棱的中点，所以∥，，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
因为正四面体的棱长为，所以，
所以，
故选：A
五直线、平面的平行
1．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【详解】
对于A，若，，则与相交，平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则与平行或异面，故B错误；
对于C，m有可能在平面内，故C错误；
对于D，根据直线与平面平行的判定定理可知D是正确的.
故选：D
2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】
A.直线也可能相交或者异面；
B.若在平面内则不成立；
C.直线也可能异面；
D.因为 ，所以，且，故.
故选：D
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】A
【详解】
如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱是BB1和DD1，共有2条.
故选：A.
4．如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，设， 可得面面，
∵平面，根据线面平行的性质可得，
∵为的中点，∴为中点，∴．
故选：D．
5．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱始终与水面EFGH平行；
④当时，是定值．其中正确说法的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【详解】
①由棱柱的特征知：平面平行平面，故正确；
②因为四边形是矩形，的长度变化，长度不变，所以面积是改变的，故错误；
③因为，平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH，故正确；
④因为水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以时，是定值．故正确．
故选：C．
6．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能确定
【答案】B
【详解】
如图所示，由三角形中位线的性质可得,.
所以四边形EFGH是平行四边形，
因为，
所以 .
故选：B.
7．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
【答案】B
【详解】
由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
8．平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．内的任何直线都与平行
C．直线在平面内，直线在平面内，且，
D．直线，直线
【答案】B
【详解】
若内有无穷多条直线与平行，则平面与平面相交或平行，故不正确；
若内的任何直线都与平行，则，故B正确；
若直线在平面内，直线在平面内，且，，则平面与平面相交或平行，故C不正确；
若直线，直线，则平面与平面相交或平行，故D不正确.
故选：B
9．不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，，
【答案】C
【详解】
由不同的直线和，不同的平面，，，知：
若，，，则与相交或平行，故不正确；
若，，则与相交或平行，故B不正确；
若，，，则由平面平行的判定定理知，故C正确；
若，，，则与相交或平行，故D不正确.
故选：C.
10．?是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是（ ）
A．?都平行于直线?
B．内有三个不共线的点到的距离相等
C．?是内的两条直线且，
D．?是两条异面直线且，，，
【答案】D
【详解】
对于A，当，时，不能推出；
对于B，当，且在内，在交线的一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出；
对于C，当与平行时，不能推出；
对于D，，是两条异面直线，且，，，，
内存在两条相交直线与平面平行，
根据面面平行的判定，可得，
故选：D.
11．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点G，使得平面，且.
【详解】
（1）证明：连接交于，再连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点，
所以在中，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）存在点G，使得平面.
与的交点记为.
当为的中点时，
可知，
所以，
M，N分别是线段的中点，
所以，
又，且平面，平面，
所以平面平面，又平面，
所以当为的中点时，即时，平面.
12．如图，长方体中，，P是棱上的动点．
（1）若E，F分别是的中点，证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）6；
【详解】
（1）E，F分别是的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）作于，则为三棱锥的高，且，
；
13．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于且点P棱的中点，点Q在棱上．
（1）试在棱上找一点D，使得平面，并加以证明；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）D为的中点，证明见解析；（2）
【详解】
（1）D为的中点时，平面.
证明如下：
平面，平面，平面平面，
，平面，平面，所以平面，
又D为的中点，是平行四边形，，
又平面，平面，面，
又与在平面内相交，面面，
又面，平面；
（2）连接，四棱锥可视为三棱锥和组合而成，
三棱锥可视为，底面积，高为，
设，
体积为．
三棱锥与等高，体积比为底面积之比，
设，
则，故，
因此，，即为所求．
14．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.
【详解】
（1）因为平面，平面，平面平面，所以；
（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：
因为、分别是、的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面.
又因为，所以，平面平面
15．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．
【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．
【详解】
直线的位置关系是平行直线或异面直线；
理由如下：由，直线分别在平面，内，
可知直线没有公共点．
因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，
这与是平面，平行矛盾．
因此直线不相交，它们是平行直线或异面直线．
六直线、平面的垂直
1.已知空间中两平面 ，两直线 ，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】若 不垂直时， 无法得到 ，充分性不成立；
当 时， ， ，由线面垂直性质知 ，必要性成立；
则“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B.
2.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则（ ??）
A.?若m∥α，n//α，则m//n????????????????????????????????????B.?若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C.?若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n?????????????????????????D.?若m∥n，n?α，则m//α
【答案】 C
【解析】解：对于A，若 则 或m,n相交或m,n异面，故A错误；
对于B，若 ， 则或 ， 故B错误；
对于C，若 ， 则又 ， 则m⊥n，所以C正确；
对于D，若 ， 则或 ， 故D错误.
故答案为：C.
3.已知 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（??? ）
A.?充要条件?????????????B.?充分不必要条件?????????????C.?必要不充分条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】解：若 ，根据线面垂直的性质可得 ，反之不一定成立．
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：B．
4.已知 是正方体 的中心O关于平面 的对称点，则下列说法中错误的是（??? ）
A.? 平面 ???????????????????????????????B.?平面 平面
C.? 平面 ??????????????????????????????????D.? ， ， ， ， ， 六点在同一球面上
【答案】 D
【解析】对于A，如图：因为 为正方体的中心， 与 关于平面 对称，所以 ，
且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
?
对于B，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，则 ，所以 ，
由 ，得 ，取 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以平面 平面 ，B符合题意；
对于C，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ， ，
， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 平面 ，C符合题意；
对于D，假设 ， ， ， ， ， 六点在同一球面上，根据 为正方体的中心， 与 关于平面 对称可知该球的球心为 的中点，设为 ，
设正方体的棱长为 ，则 ，但是 ， ，不满足 ，
所以假设不成立，故 ， ， ， ， ， 六点不在同一球面上，D不正确.
故答案为：D
5.在正方体 中，设 为线段 的中点，则下列说法正确的是（??? ）
A.???????????B.? 平面 ??????????C.???????????D.? 平面
【答案】 C
【解析】如图：在正方体 中，
对于A，假设 ，因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，而 ，所以 ，显然不正确，所以假设不成立，A不正确；
对于B，假设 平面 ，因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，显然不正确，所以假设不成立，B不正确；
对于C，因为 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，所以 ，C符合题意；
对于D，假设 平面 ，因为 ， ，且 ，所以 平面 ，所以 ，显然不成立，所以假设不成立，D不正确.
故答案为：C
6.三棱锥 的各棱长都相等， 分别是 的中点，下列四个结论中不成立的是（??? ）
A.? 平面 ??????????????????????????????????????????????B.? 平面
C.?平面 平面 ???????????????????????????????????D.?平面 平面
【答案】 C
【解析】对于A中，因为 分别是 的中点，可得 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意；
对于B中，因为 ，所以 ，
同理可得 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又由 ，所以 平面 ，所以B符合题意；
对于D中，由 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ，所以D符合题意；
综上可得A、B、D都正确，所以C不正确.
故答案为：C.
7.在空间中，设 是不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是 （??? ）
A.?若 ，则 ????????????????????????????????????B.?若 ，则
C.?若 ，则 ???????????????????????????????D.?若 ，则
【答案】 D
【解析】对于A，若 ，可得 或 ，A不符合题意；
对于B，若 ，可得 或 ，B不符合题意；
对于C，若 ，则 ，或 ，或 与 相交，C不符合题意；
对于D，若 ，则 ，正确.
故答案为：D.
8.设m，n是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（??? ）
① ?? ② ?? ③ ??? ④
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
【答案】 C
【解析】对①，若 ，则 和 可能相交，平行或在平面内，故①错误；
对②，若 ，则由面面垂直的判定定理可得 ，故②正确；
对③，若 ，则由线面垂直的性质可得 ，故③正确；
对④，若 ，则 和 平行或异面，故④错误.
故答案为：C.
9.如图，三棱锥 的底面 在平面 内，所有棱均相等， 是棱 的中点，若三棱锥 绕棱 旋转，设直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围为（??? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】 A
【解析】取 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：
?
、 分别为 、 的中点，所以 ，
设正四面体 的棱长为 ，则 ， ，
由余弦定理可得 ，
当三棱锥 绕棱 旋转时，直线 与平面 所成的角为 ，
让正四面体 相对静止，让平面 绕着直线 转动，则平面 的垂线也绕着 旋转，
设过直线 的平面 满足 ，
，问题也等价于平面 绕着直线 旋转，
当 时， 取得最小值 ，此时， 取得最大值 ；
当 时，设点 到平面 的距离为 ，可得 ，
当 取最大值时， 取最大值，此时，平面 平面 ，
由于 ，取 的中点 ，连接 ，可得 ，
平面 平面 ，平面 ， 平面 ， ，
此时， ，所以， 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围是 。
故答案为：A。
10.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，（??? ）
A.?若 ， ，则 ??????????????????????????????B.?若 ， ，则
C.?若 ， ， ，则 ????????????D.?若 ， ， ，则
【答案】 D
【解析】对于A，如下图长方体中， ， ，则 ，错误；
?
对于B， 如下图长方体中， ， ，则 不与 垂直，错误；
对于C，如下图长方体中， ， ， ，则 不与 垂直，错误；
对于D， 若 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，正确.
故答案为：D.
二、解答题
11.如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆 （ 为圆心）过点 ，且 ， 底面 ， 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的侧面积．
【答案】 （1）证明：由题意知点 为圆 上一点，则 .
由 底面 ，知 .又 ，因此 平面 ，
则 ，又 ，则 .
因为 ， 为 的中点，所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由（1）知 平面 ，所以 ，
， ，
因此， .
因为 ， ， 分别为 ， 的中点，所以 .
设 边的高为 ，则 ， .
又因为 ， ，所以 .
由 ，可得 ，
得 .
故四棱锥 的侧面积 .
12.如图，四边形 是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段 是该半圆柱的一条母线，点 为线 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，且点 到平面 的距离为1，求线段 的长．
【答案】 （1）证明：由题意可知 平面 ， 平面 ??? ∴
∵ 所对 为半圆直径??? ∴ ??? ∴
和 是平面 内两条相交直线??? ∴ 平面
平面 ??? ∴
（2）解：设 ，
因为 ，且 ??? 所以 ，
设 ，
在等腰直角三角形 中，取BC的中点E,连结AE,则 ，
取BC1的中点为P，连结DP，∵ ，∴ ，又 为 的中点，
∴ ,∴ ，即 的高为
∴ ，
∵ ， 且 ,∴ 平面 ，
∵ 平面 ，且 ? 即 到平面 的距离为1，而
由 ，即
解得： ，即 .
13.如图，在 中， 为 的中点， 分别在边 上，满足 ， 交 于 .现将 沿 翻折至 ，得四棱锥 .
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，且 在平面 内的射影在 的内部，求 的长.
【答案】 （1）由题意知4BP=3PC，则 ， 所以AP是∠BAC的角平分线，且A,M,P三点共线，
又AD=2， ， 则AD=AE，所以点M是DE的中点，则DE⊥AM，即DE⊥A1M，DE⊥MP，A1M∩MP=M，所以DE⊥平面A1MP；
（2）解： 如图，
连接AA1 ， 由DE⊥平面A1MP易知平面AA1P⊥平面A1MP，且交线为AP，
所以 ??在平面??内的射影H在 MP上，∠A1PH即为 直线??与平面??所成角，则tan∠A1PH ，
由余弦定理得
又在等腰三角形DAE中， ， 解得DE=1，则 ，
又cos∠ABC=cos∠ABP，则由余弦定理得 ， 即 ， 解得 ，
则在△AA1P中，……①
又由tan∠A1PH=7，得……②
由……③
由①②③得
则在Rt△AA1H中，
14.如图，三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，四边形 是菱形， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】 （1）解：连接 ，
因为四边形 为菱形，
所以 .
因为 ， ， ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
（2）解：由（1）知 平面 ，
所以平面 平面 ，
作 于点 ，则 平面 ，
因为四边形 为菱形， ，
所以 为等边三角形，
所以 为 的中点.
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则 ，
可取
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则
可取 .
所以二面角 的余弦值为 .
15.如图，在直三棱柱 中， 在棱 上.
（1）若 为 的中点，求证:平面 平面 ；
（2）若 为 上的一动点，当三棱锥 的体积为 ，求 .
【答案】 （1）解：在面 中，因为 为 中点，
设 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：如图所示，过 作 于点 ，则 ，
因为 ，所以
又因为 ，且 ，所以 平面 ，
即 平面 ，
所以 ，解得 ，
由 ，所以 为 的中点，所以 .
综合练习
1．A
【分析】
首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出组合体的表面积.
【详解】
这个几何体是由一个底面半径为且高为1的半圆柱，和一个半径为的半球的前半部分组成，所以它的下底面为半圆，面积为，后表面为一个矩形加半圆，面积为，前表面为半个圆柱侧面加个球面，面积为，所以其表面积为，
故选：A.
2．A
【分析】
如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.
【详解】
设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
3．D
【分析】
根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
若，，在同一平面内，则，，在可能平行也可能相交，故充分性不成立；
若，， 两两平行，则，， 不一定在同一平面内，故必要性不成立；
所以“，，在同一平面内”是“，， 两两平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间中直线和平面的位置关系作出判断是解决本题的关键.
4．C
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.
【详解】
设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
圆锥的侧面展开图是一个半圆，，
圆锥的表面积为，， ，
故圆锥的底面半径为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.
5．D
【分析】
利用线面平行的判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，如下图所示，连接，
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，
若平面，平面，平面平面，则，
则，
由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，
、分别为、的中点，则，且，
则，，
则，又，则，所以，与平面不平行；
故选：D.
【点睛】
判断或证明线面平行的常用方法：
（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；
（2）利用线面平行的判定定理（，，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；
（3）利用面面平行的性质定理（，）.
6．D
【分析】
根据球的直径等于长方体的对角线长，可求得球的半径，再利用球的表面积公式可得结果.
【详解】
因为长方体的8个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为，因为，，，
所以，
球的表面积为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查长方体的性质以及球的几何性质，考查了球的表面积公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.
7．B
【分析】
计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.
【详解】
设圆柱形容器的底面圆半径为，则（尺），
所以，该圆柱形容器的体积为（立方尺），
因此，该圆柱形容器能放米（斛）.
故选：B.
【点睛】
本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.
8．A
【分析】
设圆柱的底面半径为，由题意可知则圆柱高为，再根据圆柱的底面与外接球的关系，可利用勾股定理即可求出圆柱外接球半径，由两几何体的体积的体积公式求出各自体积，由此即可求出比值．
【详解】
设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为，如下图所示：
所以圆柱的高为，
可得圆柱的体积为：，
又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，如下图所示：
所以圆柱的外接球半径，
所以圆柱的外接球体积为：，
故．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了圆柱的几何特征和体积公式以及球的体积公式的应用，本题属于基础题．
9．AC
【分析】
根据空间中的线线、线面、面面关系的判定可得选项.
【详解】
对于选项A，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以选项A正确；
对于选项B，若，，，则与可平行或异面，不一定垂直，所以选项B错误；
对于选项C，若，，，可推出，则选项C正确；
对于选项D，若，，，则与不一定垂直，所以选项D错误；
故选：AC．
【点睛】
方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
10．BCD
【分析】
根据题意，逐一分析选项，结合线面平行的判定定理等知识，综合分析，即可得答案.
【详解】
对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，故A错误．
对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，故B正确．
对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，故C正确．
对于D，连接，交于O，则O为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：BCD
11．BC
【分析】
如图所示，先找出EF与AD所成角再求解，再找出AB与面ACD所成角求解.
【详解】
（1）设中点为，的中点为，连接、、、，
因为，，，
所以，，
所以就是直线与所成的角或补角，
在三角形中，，，
由于三棱锥是正三棱锥，，，
又因为平面，，所以平面，
平面，所以，所以，
所以，所以A错误B正确.
（2）过点作垂直，垂足为.
因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以就是与平面所成角.
由题得，所以.
所以C正确D错误.
故答案为：BC.
【点睛】
本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．AC
【分析】
推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；设的中点为，连接、，证明出平面，找出直线与平面所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B选项的正误；利用反证法可判断C选项的正误；计算出线段和的长度，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
因为，，，所以平面，
平面，所以平面平面，A项正确；
设的中点为，连接、，则.
平面平面，平面平面，平面.
平面，设平面所成的角为，则，
，，，则，B项错误；
连接，易知平面，由、、确定的面即为平面，
当直线和异面时，若点为底面的中心，则，
又平面，则与共面，矛盾，C项正确；
连接，平面，平面，，
、分别为、的中点，则，
又，故，，则，D项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
13．
【分析】
设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,利用勾股定理表示高，进而利用体积公式求得底面半径为1，然后利用等面积法求得内切球的半径，进而利用球的表面积公式计算.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,高为,
体积,所以,故.
该圆锥内半轻最大的球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，
则,
解得,其表面积.
故答案为：
【点睛】
本题考查圆锥的体积和球的表面积公式及圆锥的内切球半径的求法，属基础题，关键是根据已知条件，利用圆锥的体积求得底面半径和高，然后利用等面积法建立关系求得内切球的半径.
14．
【分析】
由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，结合三视图中的数据可计算出该几何体的体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，且长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，
因此，该几何体的体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是要结合三视图确定几何体的结构，考查计算能力，属于基础题.
15．②
【分析】
根据已知条件逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于①，若，，则或异面，故①错；
对于②，因为，，故，而，故.故②正确.
对于③，若，，，则或，故③错；
对于④，若，，，则或相交，故④错.
故答案为：②.
【点睛】
本题考查空间中与点线面位置关系有关的命题真假判断，注意根据已知条件分析所有可能的结果，本题属于基础题.
16．
【分析】
设，可得，.，由余弦定理以及同角三角函数的关系得，则，利用配方法可得结果.
【详解】
因为在矩形内的射影落在线段上，
所以平面垂直于平面，
因为，所以平面，，
同理，设，则，.
在中，，，
所以，
所以四棱锥的体积.
因为，
所以当，即时，体积取得最大值，最大值为，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查面面垂直的性质，余弦定理的应用以及锥体的体积公式，考查了配方法求最值，属于难题. 解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用空间点线面关系和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
17．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
(1)求出圆柱下底面圆周的周长，结合圆柱的侧面积公式即可求解；（2）根据平面ABC，可得,结合可得平面,利用线面垂直的性质定理即可得证.
【详解】
（1）由题意可得，又，所以,
所以圆柱的侧面积为.
(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因为，,所以平面,又平面,所以.
【点睛】
本题主要考查圆柱的侧面积公式、线面垂直的判定定理与性质定理，属于基础题.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1) 利用勾股定理逆定理计算可得，，利用线面垂直判定定理得到平面，从而证得.
(2) 点P到平面的距离为h，由已知可得点M到平面的距离为，可证平面，利用可求得h的值，进而点M到平面的距离.
【详解】
（1）因为，.
所以，
，
，
所以有，.
又，交于点P，
所以平面.
又平面，
所以.
（2）设点P到平面的距离为h，
因为，
所以，
所以点M到平面的距离为.
又，，两两垂直，
所以平面.
因为，
所以.
，，，
，.
点M到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定和证明，考查利用等体积法求点到平面的距离.关键是准确掌握线面垂直的判定定理，和等体积法球点到平面的距离.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件，利用勾股定理及其逆定理得到，根据平面，得到，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，进而利用面面垂直的判定定理证得平面平面；
（2）由已知条件，利用中垂线的性质得到,进而利用体积公式计算.
【详解】
(1)∵，，
∴
，
∴，∴，
又∵平面，∴，
又∵， ∴平面，
又平面，
∴平面平面；
(2)∵为的中点，，
∴，
所以四棱锥的体积
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和棱锥的体积计算，主要要点是要熟练掌握线线，线面，面面垂直的转化.
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）通过求解各边边长，证明，再证明平面，即可证明平面平面；（2）通过建立空间直角坐标系，求解两平面的法向量，通过向量的数量积即可求解二面角的大小.
【详解】
（1）由题意可知，中，，，，
所以，.
又，分别为，的中点，则，.
将沿折起至后，，
即，所以.
因为，即，又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，，，两两垂直，故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，
则，，.
设平面的法向量为，则
令，则，即.
设平面的法向量为，则
令，则，，即.
所以，
即二面角为.
21．（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等体积转化得到，计算体积.
【详解】
（1）如图所示，取的中点，连结、，
因为点为的中点，且，所以且，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以∥平面；
（2）， ，，
平面平面，且平面平面，
，取的中点，连结，则平面，
，,
【点睛】
本题考查线面平行，几何体体积，重点考查推理，转化，计算能力，属于中档题型.
方法点睛：不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.
22．(1)证明过程详见解析（2）
【分析】
（1）过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；
（2）分别以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.
【详解】
解：（1）如图，过点作于，连接EH，∴.
∵平面平面，平面，
平面平面于 ∴ 平面.
又∵平面，.∴，
∴四边形为平行四边形. ∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，
∴.分别以，，为轴建立
如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
，， ，
设平面的法向量为.
由，得
令，得.
，
直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
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