北师大版九年级上册《特殊的平行四边形》2 矩形的性质与判定 学案2

学生自主学习学案 审核人：
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定（二）
学法指导
1．能运用综合法证明矩形判定定理。
2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
二、回顾旧知
前面我们已经知道矩形具有一般平行四边形的所有性质，它还具有特殊的性质：
矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
新课引入
观察教材P14的做一做中的图片，按照要求探索其中的规律。
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在平行四边形ABCD中，AC, DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：平行四边形ABCD是矩形。
证明：
由此得出判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形。
交流讨论：
一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？
判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：
巩固练习
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD， ④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3
个，能使四边形ABCD是矩形．
3．已知：如图，在ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．
求证：ABCD是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．

拓展与延伸
5．已知：如图，在ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED为直角．
求证：四边形ABCD是矩形．

参考答案:
1．C
2．（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥．
3．由ABCD，可得AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO，∠BOC=∠DCO．
又∵∠AOD=∠BOC，∴∠CDO=∠DCO．∴OD=OC．
又∵AO=BO，∴△ADO≌△BCO．∴∠A=∠B=90°，∴ABCD是矩形．
4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN是矩形．
5．证明：连接OE．在ABCD中，OA=OC，OB=OD．
以AC为斜边的Rt△ACE中，OE为斜边AC上的中线，∴OE=AC，即AC=2OE．
以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，
∴OE=BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．