北师大版九年级上册《特殊的平行四边形》矩形的判定定理 教学设计

《1.2.2 矩形（2）》
（北师版数学 九年级上册）
本课为北师版数学九年级上册第一章第二节矩形的第二课时，其核心内容在于探索并掌握矩形的判定定理。此前学生已初步掌握了几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法，并且掌握了平行四边形、菱形的判定，而矩形是生活中常见的又一类特殊的平行四边形，所以本节课的学习不仅可以丰富学生对平行四边形的认识，而且其判定定理的探索方法对后续正方形的学习具有较强的指导作用，同时也为学生提供了几何研究的基本套路，有助于学生对平行四边形的进一步理解，以及对识图、画图等操作技能的掌握，有助于丰富学生的数学活动经验和体验，促进良好数学观的形成，渗透类比、转化、一般到特殊的数学思想方法，增强学生发现问题和解决问题的能力，对整个初中图形的学习起到引领的作用。故本课的教学重点是矩形判定定理的探索。
目标和目标解析
此前对平行四边形和菱形性质和判定的探究，使学生已经有了一定的推理论证能力，掌握了独立证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能，并且已经历了大量的数学活动，逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力，初步了解了类比、转化、一般到特殊的数学思想方法，初步具备了在解题中合理运用方法的能力。
本课的教学任务是进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会类比、转化、一般到特殊的数学思想方法。教学中应把重点集中在学生的能力培养上：从关注学生是否能证明这些定理，提高到关注学生如何找到解题思路；从关注学生是否能顺利证明，提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言证明；从关注学生合作解题，提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此，本节课的具体教学目标为：
1.探究并掌握矩形的判定定理；
2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，丰富数学活动经验，进一
步发展合情推理能力和演绎推理能力；
通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的类比、转化、一般到特殊的数学思
想方法；
4.通过对矩形判定的探究，提高学生自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强学
生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
教学问题诊断
有了此前平行四边形、菱形的学习，学生已经明确了定义的双重作用，也学会如何从特殊平行四边形的性质逆向思考其判定条件，故通过类比，学生能较容易的从矩形的对角线和角的特性联想到可能的判定方法。但本节课的难点在于学生能够根据所得猜想准确画图，并找到证明的方法。故教学中应尽可能多的创设一些问题情境，多角度引导学生思考，为学生提供自主探索发现的空间，让学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，使证明成为探索活动的自然延续和必要发展，进一步发展学生的合情推理和演绎推理的能力
教学支持条件分析
考虑到本课的难点之一是根据猜想的条件正确画图，故本节课主要借助教具及多媒体进行直观演示，充分调动学生的积极性与主动性，以问题串的形式引导学生探索、发现结论，体会探索结论的各种方法，理解获得猜想后还应予以证明的意义，感受合情推理与演绎推理的关系。
教学过程设计
（一）知识回顾
问1：上节课主要学习了什么内容？（矩形的定义和性质）
问2：矩形的定义是什么？（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）
问3：矩形和平行四边形有什么关系？
（矩形是特殊的平行四边形，所以矩形既具有平行四边形的共性，又具有自身的特性）
问4：我们从哪几个方面探索矩形的性质？（对称性、边、角、对角线）
对称性：既中心对称，又轴对称
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等且互相平分
总结：矩形在角、对角线方面具备特性
引出：这节课我们一起来探索矩形的判定.
（二）新知学习
问1：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（注：定义具有双重作用，既是性质，又是判定，且定义不需要证明）
问2：用定义判定矩形，需要具备几个条件？
前提：平行四边形
有一个角是直角
问2：如何用几何语言表述？
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°
∴□ABCD是矩形
问3：你还有其他方法判定一个平行四边形是矩形吗？
的平行四边形是矩形
（类比菱形判定的学习，引导学生考虑矩形对角线的特性.矩形的对角线相等，那么反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？从而引出探究1）
矩形的判定——探究1 （对角线）
1、观察猜想（几何画板动态演示，自主探究，合作交流）
情境1：将两条线段AC、BD的中点重叠，顺次连接四个顶点，围成一个四边形ABCD，四边形ABCD的形状如何？为什么？
情境2：保持AC与BD互相平分，将较短的对角线AC同时向两边拉长，使得对角线AC=BD.此时四边形ABCD是否还是平行四边形？它是否具有其他特征？
情境3：保持AC与BD互相平分，将较长的对角线BD同时向中间压缩，使得对角线AC=BD.此时四边形ABCD是否还是平行四边形？它是否具有其他特征？
预测：学生可能会通过目测，直接回答平行四边形ABCD是矩形，此时就必须追问其判断的依据，引导学生联想到矩形的定义，从而通过观察或测量平行四边形的一个内角，判断其性质.
问：由此，你能得到什么猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
2、推理验证
问5：这个猜想是否正确呢？请大家回顾证明一个命题必须经历哪些过程？（已知、求证、证明）
问6：该命题的条件、结论分别是什么？
问：你能画出符合已知条件的图形吗？说说你的画法。
（此处注意引导学生如何正确画图，结合实验操作的过程，从对角线互相平分且相等入手，先画对角线，再顺次连接四个顶点即可。学生先独立作图，小组交流后，代表发言，师总结）
问7：将刚才你所画的平行四边形的顶点顺次标上字母，你能写出已知、求证吗？
问8：如何证明猜想？请你写出完整的证明过程，再与同伴交流.
（学生独立写出证明过程，小组交流后，投影学生作业，由学生自己讲解证明过程，师适当总结，及时指出学生书写的错误，规范几何证明的严谨性。）
已知：如图，在□ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC
又∵BC=CB，AC=DB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB
又∵AB∥DC
∴∠ABC + ∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴□ABCD是矩形
3、得出结论
总结 判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形.
问9：如何用几何语言表述？
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=DB
∴□ABCD是矩形
问10：能否将条件弱化为“对角线相等的四边形是矩形”？（生动手画图，举反例）
问11：所以应用该判定定理，要注意什么？（强调：前提是平行四边形）
（设计意图：“探索1”是本课的第一个重点，也是难点所在，通过设计动态试验，用层层递进的问题成为引导学生完成学习目标的阶梯式路标，培养学生自主探究此类数学问题的能力，养成良好的学习习惯和画图习惯，培养几何直观，提高推理能力和有条理的表达能力，渗透类比、转化、一般到特殊的数学思想）
矩形的判定——探究2（角）
问1：除了对角线相等，矩形还有什么特性？（矩形的四个角都是直角）
问2：反过来，当一个四边形具备直角条件时，是否就是矩形呢？至少需要几个直角呢？
1、观察猜想（自主探究，合作交流）
活动二：请你按照下列要求作图，根据图形回答问题
只有一个角是直角的四边形是矩形吗？（举反例）
有两个角是直角的四边形是矩形吗？（举反例——直角梯形）
有三个角是直角的四边形是矩形吗？说说你的画法.
（学生独立思考后谈论，学生代表上台板演作图）
问3：由此，你能得到什么猜想？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
2、推理验证
问5：你能证明这个猜想吗？
（生口述已知、求证、证明过程，师PPT展示）
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=90°,∠B=∠C=90°
∴ AD∥BC，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
3、得出结论
总结 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
问6：该定理与“矩形的四个角都是直角”是否有矛盾？（利用四边形内角和定理，将四个直角简化为三个直角，体会数学的精炼）
注：只要找到三个直角，就能判定四边形是矩形，没必要找四个直角
问7：如何用几何语言表述？
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
（设计意图：设置一系列动手作图的活动，引导学生探究判定定理2，帮助学生养成正确的画图习惯，真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路的益处，进一步培养几何直观，提高推理能力，渗透一般到特殊的数学思想）
归纳：如何判定一个四边形是矩形
四边形 平行四边形 矩形

（设计意图：通过图示，更加直观的对四边形、平行四边形、矩形的变化过程进行小结，加深理解的同时，提高学生归纳总结的能力，学会将所学知识进行串联，抓住知识演化的主线，也为后续知识的应用奠定经验基础）
（三）知识应用
活动1：问题诊断
1.判断下列说法是否正确：
（1）对角线互相垂直的平行四边形是矩形（ ）
（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ）
（3）三个角都相等的四边形是矩形（ ）
（4）四个角都相等的四边形是矩形 （ ）
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，AB∥CD，AB=CD，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件 .
（设计意图：针对矩形判定条件的易错点进行区分，并做适当延伸，巩固方法的同时，培养发散性思维和严谨的科学态度）
活动2：动动脑 来支招（先自主探究，再合作交流）
情境：木工师傅制作四边形窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，现在有一根足够长的绳子和一把直角尺，他该怎么做？你能帮帮他吗？你的依据又是什么呢？
（小组合作，共同探究，学生代表上台展示检测方案。预测前三个方案学生都能顺利回答，第四个方案老师可适当引导）
方案一：用直角尺测量是否有三个内角是直角，如果是，那么窗框是矩形.
（三个角都是直角的四边形是矩形）
方案二：用绳子分别测量四条边和两条对角线的长度，如果两组对边相等，且两条对角线相等，那么窗框是矩形.
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形）
方案三：分别测量两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边相等，且这个内角是直角，那么窗框是矩形.
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形）
方案四：分别测量一组对边的长度和它们所成的同旁内角的度数，如果这组对边相等，且这两个角都是直角，那么窗框是矩形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形）
（设计意图：进一步应用矩形的判定解决实际问题，培养学生有条理的表达能力和发散思维，进一步发展推理能力，渗透一般到特殊的数学思想，同时体会数学与生活的密切关系，感受数学的实际价值）
活动3 方法巩固
例：如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.（生思考发言，师板书）
问1：本题的解题关键是什么？（判断□ABCD是矩形）
问2：如何快速判定四边形ABCD是矩形？（对角线相等的平行四边形是矩形）
问3：你还有其他解法吗？
解：∵△ABO是等边三角形
∴OA=OB=AB=4
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2 OA=8，BD=2 OB=8
∴AC=BD
∴□ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
在Rt△ABC中，由勾股定理，得

∴
（设计意图：开放性的命题，巩固新知、进一步提高推理能力和有条理的表达能力，再一次培养学生思维的严谨性、发散性、灵活性.）
预测：可能会有学生没有证明四边形ABCD是矩形，就想当然地认为它是矩形而直接计算，对此应适时加以启发引导。也可能有学生利用习题1.4第4题的结论“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”加以证明，首先应予以鼓励，但同时也要说明，那个结论虽然是对的，但课本没有把它作为定理，所以不能直接使用。
（四）目标检测
1.如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC.求证：四边形ABCD是矩形.
注：学生独立完成，并由学生自己讲解过程，查看存在的问题，纠正书写错误.
（设计意图：本题为利用矩形定义判定矩形，综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，巩固判定方法的同时，进一步提高学生的推理能力，发展几何直观和有条理的表达能力，渗透一般到特殊的数学思想）
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由.你能想出几种解法呢？
注：学生独立思考后，与同伴交流，探索归纳多种解法，由学生代表口述解题思路.
（设计意图：本题在巩固矩形判定方法的基础上，综合考察等腰三角形及平行四边形的性质，渗透一题多解，提高推理能力、合作交流能力的同时，培养发散性思维）
（五）反思感悟
知识层面：
问1：本节课我们主要学习什么数学知识？（矩形的判定）
问2：矩形的判定共有几种方法？（定义、判定定理1、2）
（注意强调定义的双重作用，既可以当性质也可以当判定）
数学方法层面：
问3：如何判定一个四边形是矩形？
四边形 平行四边形 矩形

问4：对矩形判定的探究始终抓住矩形的 特性 .
（强调将矩形的角、对角线的特性转化为矩形的判定条件进行探究）
问5：探究过程主要经历哪几个阶段？
（猜想——验证——得出结论）
数学思想层面：
对菱形、矩形等特殊平行四边形的研究，要注意它们之间一般与特殊的关系，分析它们的共性与特性.——“从一般到特殊”
菱形、矩形的性质可以转化为它们判定的条件（化归与转化）
（六）课后作业
课本P16 知识技能1、2，问题解决3
补充题：
平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A. AB=AD B. OA=OB C. AC=BD D. DC⊥BC
2.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)先截同两对符合规格的铝合金窗料（如图），使AB＝CD，EF＝GH
(2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状____________形，所根据的数学原理是_______________________________________
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④所示），说明窗框合格，这时窗框是 形，所根据的数学原理是
3.两条平行线被第三条直线所截，所成的两组内错角的角平分线相交，围成的四边形的形状是 .
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.试判断四边形ADCE的形状，并说明理由.
5.△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）连接AE、AF，当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由.
（七）板书设计