安徽省名校2020-2021学年高二下学期5月第二次联考数学理科试题 Word版含答案解析

安徽名校2020—2021学年下期第二次联考
高二数学（理）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
1．已知集合false，则false（ ）A．false B．false C．false D．false
2．已知复数x满足false，则复数z的虚部为（ ）
A．false B．false C．false D.1
3．抛物线false的焦点坐标为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．设曲线false在false处的切线为false，则实数false（ ）
A．false B．．2 C．1 D．false
5．如图是某校调查高一年级文理分科男女生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢理科的频率．假设参加调查的男生有600人，女生有400人，现从所有喜欢理科的同学中按分层抽样的方式抽取48人，则抽取的女生人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
6．函数false的图像如图所示，则函数false的解析式为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
7．设函数false在false上可导，且false为奇函数，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知幂函数false的图像关于原点对称，则满足false成立的实数a的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．设false，已知false，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知false且false则false的值为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．如图，正方体false的棱长为2，点O为下底面的中心，点E在棱false上运动，则下列四个结论：
①false；
②当点E运动到B处时，false平面false；
③四棱锥false的体积不变；
④false的最小值为false；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．过圆false内一点false做直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A．false B．false C．false D．false 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知单位向量false、false互相垂直，false，则向量false的模为_________．
14．设各项为正的等比数列false的首项为1，且false，false，false成等差数列，则false_______．
15．如图，三棱锥false中，false底面false是边长为2的正三角形，false，则三棱锥false的外接球的表面积为___________．
16．已知false是双曲线false的左右焦点，过点false斜率为false的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B．若点false在线段false的垂直平分线上，则双曲线C的离心率为________．三?解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
锐角false中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知false．
（1）求角C的大小；
（2）若false，求false的面积．
18．（本题满分12分）
已知数列false是各项为正的等差数列，数列false为等比数列，设数列false的前n项和为false，且false．
（1）求数列false和false的通项公式；
（2）设数列false的前n项和为false，且false，求false．
19．（本题满分12分）
2020年初的新冠疫情对零售业造成严重冲击，随着疫情逐步得到控制，各地经济逐渐得到恢复，以下是某地一超市2020年6月某星期的营业收入统计情况．
星期：x
1
2
3
4
5
营业收入：y（单位；万元）
5
7.5
9
10.5
13
（1）根据数据可知y与x之间存在较强线性关系，求出y关于x的线性回归方程；
（2）该超市为鼓励员工努力工作，制定如下奖励方案：若当天营业收入达到或超过8万元，则当天上班的每一位员工可获得一个50元的红包，若当天营业收人达到或超过12万元，则当天上班的每一位员工可获得一个100元的红包．假设某员工这5天中上了3天班，每天上班的可能性都一样，求该员工5天中获得红包奖励不少于100元的概率．
附：false．
20.（本题满分12分）
如图，已知false是正四棱锥，其所有棱长均为2，过点P作false，且false，连接false，false.
（1）求证：平面false平面false；
（2）求平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值．
21．（本题满分12分）
已知椭圆false的长轴长为false，且经过点false．
（1）求C的方程；
（2）过点false斜率互为相反数的两条直线false，false分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）．求证：直线false过定点，并求定点的坐标．
22．（本题满分12分）
已知函数false．
（1）当false时，求函数false的单调区间；
（2）设false时，函数false的图象始终在x轴的上方，求实数a的取值范围．
安徽名校2020—2021学年下期第二次联考
高二数学（理）参考答案
一?选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
B
A
C
D
A
B
B
A
1．B 【解析】因为false，所以false，又因为false，所以false．
2．C 【解析】false，虚部为false．
3．C 【解析】把抛物线false化为标准方程false，所以焦点坐标为false．
4．C 【解析】由题意得：false，所以false，解得false．
5．B 【解析】由图得喜欢理科的男生人数为false人，喜欢理科的女生false人，男女生人数之比为false，所以从所有喜欢理科的同学中按分层抽样的方式抽取48人，则抽取的女生人数为false．
6．A 【解析】由图可知，false，所以false﹐又false，所以false，所以false．
7．C 【解析】因为false为奇函数，所以falsefalse．
8．D 【解析】由题意得：false，得false或false．当false时，false图像关于y轴对称，不成立；当false时，false是奇函数，成立；所以不等式转化为false，解得false．
9．A 【解析】因为false，所以false，于是false，因为false，所以false，综上可得false．
10．B 【解析】因为false，false，false．
又false所false，又false，
所以false．
false
false．
11．B 【解析】对于①，因为false，false，则false，故①错误；
对于②，设false，则false，故②正确；
对于③，因为false平面false，所以点E到平面false的距离不变，故③正确；
对于④，如图展开图中，当false，E，C共线时，false有最小值为false，故④正确．
12．A 【解析】设false，则以false为直径的圆false，即false ①
因为false是圆O的切线，所以false，所以A，B在圆M上，
所以false是圆O与圆M的公共弦，又因为圆false ②，
所以由①-②得直线false的方程为：false，
又点false满足直线false方程，所以false，即false．
二?填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．false 【解析】因为false．
14．false 【解析】设false的公比为q，则false，即false，false（舍去）或false所以false．
15．false 【解析】如图，设三棱锥false的外接球球心为O，半径为R，false为false的外接圆圆心，因为false边长为2的正三角形，所以false，
因为false底面false，false，所以false，
所以false，
所以外接球表面积为false．
16．false 【解析】设false，则false．
过false作false，则false．
如图：在false中，
false，
false，
false，在false中，false解得false．
三?解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤）
（1）由false得，
false，整理得false，
因为false是锐角三角形，所以false，
所以false，所以false， 5分
（2）由余弦定理得：false，
即false，即false，解得false或false（舍），所以false 10分
18．【解析】 （1）设正项等差数列false的公差为d，则由false，
得false，解得false（舍）或false，
所以false，即false， 3分
设等比数列false的公比为q，则由false，
得false，解得false，所以false，
综上所述，false， 6分
（2）由（1）得false， 7分
所以false，
false， 8分
两式相减得：false
所以，false 12分
19．【解析】 （1）由条件得false
false
y关于x的线性回归方程：false， 6分
（2）设事件A：“红包奖励不少于100元”，则5天中上了3天班有false，共10种
事件A包含false，共8种
所以，false 12分
20．【解析】 （1）证明：设false，取false中点为E，又O为false中点，
所以false，且false，
又由条件知false，
所以false，且false，
所以四边形false为平行四边形，从而false，
又false为正四棱锥，故false平面false，
所以false平面false，因为false平面false，
所以平面false平面false， 6分
（2）由题意知false为正方形，所以false，
如图，以点O为坐标原点，false所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则false，false，false，false，false，
所以false，
设平面false的法向量为false，则false，
取false，得平面false的一个法向量为false， 9分
由（1）易得false平面false，又因为false
所以平面false的一个法向量为false， 10分
所以false，
所以平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值为false 12分
21．【解析】 （1）由题意得false，得false，所以椭圆方程为：false，
将false代入椭圆方程得：false，解得false，故椭圆C的方程为false 4分
（2）证明：由题意可知直线false的斜率存在，设直线false的方程为false，
联立false，得false．
设A，B的坐标分别为false，则false，
且false，
因为直线false，false斜率互为相反数，即false，
所以false，则false，即false，即false，
所以false，化简得false，所以直线false的方程为false，故直线false过定点false 12分
22．【解析】 （1）当false时，函数false，
所以false
所以false
所以，false时，false增区间是false，减区间是false﹔
false时，false减区间是false，无增区间；
false时，false增区间是false，减区间是false， 6分
（2）由函数false的图像始终在x轴的上方，可得：false
即false，所以false，可得：false
所以false恒成立，
令false
所以false在区间false上单调递增，false上单调递，
所以false，所以false，
综上可得，实数a的取值范围为false 12分