2021--2022学年人教版九年级数学上册24.1.4圆周角 同步练习（word解析版）

24.1.4　圆周角
知识点
1　圆周角定理的应用
1.如图24-1-40,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是
(　　)
A.75°
B.70°
C.65°
D.35°
图24-1-40
图24-1-41
2.[2019·赤峰]
如图24-1-41,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,D是☉O上一点,
∠ADC=30°,则∠BOC的度数为
(　　)
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
3.如图24-1-42,点B,C,D在☉O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是
(　　)
A.50°
B.60°
C.80°
D.100°
图24-1-42
图24-1-43
4.如图24-1-43,点A,B,C,D,E均在☉O上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为(　　)
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
5.如图24-1-44,A,B,C,D是☉O上的四个点,B是的中点,M是半径OD上任意一点.若
∠BDC=40°,则∠AMB的度数不可能是
(　　)
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
图24-1-44
图24-1-45
6.将量角器按图24-1-45所示的方式放置在三角形纸片上,使顶点C在半圆上,点A,B的读数分别为100°,150°,则∠ACB的大小为　　　　°.?
7.如图24-1-46,已知AB是☉O的直径,C是圆周上的动点,P是的中点.
(1)如图①,求证:OP∥BC;
(2)如图②,PC交AB于点D,当△ODC是等腰三角形时,求∠PAO的度数.
图24-1-46
知识点
2　圆周角定理推论的应用
8.如图24-1-47,把三角尺的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8
cm,ON=6
cm,则该圆玻璃镜的直径是
(　　)
A.
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
图24-1-47
图24-1-48
9.如图24-1-48,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=59°,则∠C等于
(　　)
A.29°
B.31°
C.59°
D.62°
10.如图24-1-49,在☉O中,BD为☉O的直径,弦AD的长为3,AB的长为4,AC平分∠DAB,则弦CD的长为　　　　.?
图24-1-49
图24-1-50
知识点
3　圆内接四边形性质的应用
11.如图24-1-50,A,B,C,D是☉O上的四点,且∠C=100°,则∠A=　　　　°.?
12.如图24-1-51,已知等腰三角形ABC中,∠ACB=120°且AC=BC=4,在平面内任作∠APB=60°,则BP最长为　　　　.?
图24-1-51
13.如图24-1-52,将☉O的内接三角形ABC绕点B顺时针旋转40°后得到△A'B'C',其中点C'恰好落在☉O上,则∠A的度数是　　　　.?
图24-1-52
14.如图24-1-53,已知A,B,C,D是☉O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE,求证:△ADE是等腰三角形.
图24-1-53
能力拓展提升
15.如图24-1-54,四边形OBCD中的点B,C,D在☉O上,A是优弧BAD上的一个动点(不与点B,D重合).
(1)当圆心O在∠BAD的内部时,若∠BOD=120°,则∠OBA+∠ODA=　　　　°.?
(2)若四边形OBCD为平行四边形.
①当圆心O在∠BAD的内部时,求∠OBA+∠ODA的度数;
②当圆心O在∠BAD的外部时,请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系.
图24-1-54
典题讲评与答案详析
1.B　2.D
3.D　[解析]
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,
可知∠α=2∠BCD=260°.
而∠α+∠BOD=360°,
所以∠BOD=100°.
4.D　[解析]
如图,连接BE.
∵∠BEC=∠BAC=15°,∠CED=30°,
∴∠BED=∠BEC+∠CED=45°,
∴∠BOD=2∠BED=90°.
5.D　[解析]
连接AD,OA,OB.∵B是的中点,
∴∠ADB=∠BDC=40°,∴∠AOB=2∠ADB=80°.又∵M是OD上任意一点,∴∠ADB≤∠AMB≤∠AOB,即40°≤∠AMB≤80°,则不符合条件的只有85°.
6.25　[解析]
设量角器的中心为O,由题意可得∠AOB=150°-100°=50°,
所以∠ACB=∠AOB=25°.
7.解:(1)证明:如图①,连接PC.
∵P是的中点,
∴=,∴∠AOP=∠COP.
在△AOP和△COP中,
∴△AOP≌△COP,∴∠APO=∠CPO.
∵OA=OP,∴∠APO=∠OAP.
又∵∠PCB=∠OAP,
∴∠CPO=∠PCB,∴OP∥BC.
(2)如图②,连接OP,AC.
∵P是的中点,∴=,∴PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠PAO=∠PCO.
当DO=DC时,设∠DCO=x,
则∠DOC=x,∠PAO=x,
∴∠OPC=∠OCP=x,∠PDO=∠DCO+∠DOC=2x,∠POD=2∠PAO=2x.
在△POD中,x+2x+2x=180°,解得x=36°,
即∠PAO=36°.
当CO=CD时,设∠DCO=y,
则∠OPC=y,∠PAO=y,∴∠POD=2y,
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=2y+y=3y.
∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3y,
∴∠POC=∠POD+∠DOC=5y.
在△POC中,y+y+5y=180°,
解得y=°,即∠PAO=°.
当OC=OD时,点B,D重合,不符合题意,舍去.
综上所述,∠PAO的度数为36°或°.
8.D　9.B
10.
　[解析]
∵BD为☉O的直径,
∴∠DAB=∠DCB=90°.
∵AD=3,AB=4,∴BD=5.
∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC=45°,
∴=,∴CD=CB,∴CD=.
11.80
12.8　[解析]
由题意可得点A,P,B,C在同一个圆上,所以当BP为圆的直径时,BP最长,此时
∠PAB=90°.过点C作CD⊥AB于点D,可求得AB=4
,进而可求得BP最大为8.
13.110°　[解析]
由题意,得∠ABA'=∠CBC'=40°,BC=BC'.
如图,连接CC',
∴∠BCC'=∠BC'C=70°.
∵四边形ABC'C为☉O的内接四边形,
∴∠A+∠BC'C=180°,
∴∠A=110°.
故答案为110°.
14.证明:∵A,B,C,D是☉O上的四点,
∴∠A+∠BCD=180°.
又∵∠BCD+∠BCE=180°,∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE,∴∠BCE=∠E,
∴∠A=∠E,∴AD=DE,
即△ADE是等腰三角形.
15.解:(1)60
(2)①如图(a).
∵四边形OBCD为平行四边形,
∴∠BOD=∠BCD,∠OBC=∠ODC.
又∵∠BAD+∠BCD=180°,∠BAD=∠BOD,∴∠BOD+∠BOD=180°,解得∠BOD=120°,
∴∠BAD=∠BOD=×120°=60°,∠OBC=∠ODC=180°-∠BOD=180°-120°=60°.
又∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠OBA+∠ODA=∠ABC+∠ADC-(∠OBC+∠ODC)=180°-(60°+60°)=60°.
②如图(b)所示,连接AO.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵∠OAB=∠OAD+∠BAD,
∴∠OBA=∠ODA+∠BAD=∠ODA+60°.
如图(c),同理可得∠ODA=∠OBA+60°.