浙江省北斗星盟2020-2021学年高二下学期5月阶段性联考数学试题 Word版含答案

绝密★考试结束前
2020学年第二学期浙江北斗星盟5月阶段性联考
高二年级数学试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间150分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
参考公式：
柱体的体积公式：false 其中false表示柱体的底面积，false表示柱体的高
锥体的体积公式：false 其中false表示锥体的底面积，false表示锥体的高
台体的体积公式：false 其中false、false分别表示台体的上、下底面积，false表示台体的高
球的表面积公式：false 球的体积公式：false，其中false表示球的半径
选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集false，false，false，则集合false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若复数false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．过空间中任意三点有且仅有一个平面
B．对于平面false和共面的直线false，false，若false，false与false所成的角相等，则false
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．平面false内有两条相交直线与平面false平行，则平面false平面false
4．已知直线false：false和圆false：false，则“false”是“直线false与圆false相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数false的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．从红、黄、蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）

A．12 B．18 C．24 D．36
7．随机变量false的分布列如下：
false
false
0
1
false
false
false
false
其中false，则false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知三棱锥false中，false，false，则异面直线false，false所成角为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．椭圆false：false，过其左焦点false的弦false，过点false，false分别作椭圆的切线，交于点false，则false面积最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知存在false使得不等式false在false上成立，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分，单空题每小题4分．
11．已知双曲线方程为false，则焦点坐标为______，渐近线方程为______．
12．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是______，侧面与底面所成二面角的正切值为______．

13．已知false的展开式的所有项系数之和为64，则实数false______，展开式中含false项的系数是______．
14．函数false的单调增区间______，在false处的切线方程是______．
15．已知某圆台的上、下底半径和高的比为false，母线长为false，则该圆台的体积为______（false）．
16．某小区有5个连排的私家车位，其中1、2号为甲家所有，3、4号为乙两家所有，5号为丙家所有．若甲、乙、丙三家各有一辆私家车，规定每个车位至多停一辆车且这三辆车只能停这5个车位，称车辆未停在自家车位上为停错位，则三辆车全停错位的停法数为______．（用数字作答）
17．设点false在椭圆false上，点false在直线false上，则false的最小值是______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，在一个不透明的盒子中装有10个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，3个白球，2个黑球，搅拌均匀。每次抽奖都从箱中随机摸出3个球，若摸出的是全是红球，则获60元的返金券．
（Ⅰ）设顾客抽奖1次摸出白球的个数为false，求false的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若某顾客有6次抽奖机会，设顾客抽取6次后最终可能获得的返金券的金额为false，求false的方差．
19．（本题满分15分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥成为“阳马”．在如图所示的阳马false中，底面false为矩形，false平面false，false，false，以false的中点false为球心，false为直径的球面交false于false（异于点false），交false于false（异于点false）．
（Ⅰ）证明：false；
（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）已知函数false，当false时，false有极小值false．
（Ⅰ）求false的解析式；
（Ⅱ）设false，若对任意false，都有falsefalse成立，求实数false的取值范围．
21．（本题满分15分）椭圆false：false的焦距为2，椭圆false上一点false．不过原点false的直线false与椭圆false相交于false，false两点，若抛物线false：false的焦点是椭圆的右焦点．

（Ⅰ）求椭圆false与抛物线false的方程；
（Ⅱ）若线段false的长度为false．求false面积false的取值范围．
22．（本题满分15分）已知false．
（Ⅰ）若函数false在false单调递增，求false的取值范围；
（Ⅱ）已知函数false，且不存在false，使false成立，求实数false的取值范围．

2020年学年第二学期北斗星盟5月阶段性联考
高二年级数学参考答案
1-5：DBDAC 6-10：CDBBA
10、解：当false时，不等式一定成立；
当false，false等价于false，所以false
利用false，所以false，当false取等号，所以false．
11．false、false、false 12．false，2 13．false，53
14．false，false 15．false 16．20
17．false
17、解法一：令false，则false：false，由直线false：false可知纵向距离最小，设与直线false平行的切线方程为：false，与椭圆false联立，得false，由false得，false，故false．
解法二：同解法一，知纵向距离最小，设与直线false平行且与椭圆相切的直线切于点false，易知切线方程为：false，其斜率false，∴false，代入椭圆方程得，∴false，即false，此时点false．
故false．

18．解：（1）false的可能取值为0，1，2，3，所以false，false，false，false，
所以所求分布列为：
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
所以false；
（2）由题意可知，设摸出3个球都是红球的概率为false，则false，
设中奖的次数为false，则false，所以false，
false元．
19．解：（1）∵false是球false的直径，∴false

又∵false平面false，false面false，∴false
∵矩形false，∴false，
∵false，∴false平面false
∵false平面false，∴false
∵false，∴false平面false
∵false平面false，∴false．
（2）解法一：
由第一问可知false，又∵false，则false是false的中点，
∴false，∵false，∴false，
∵false，false，false，∴false面false，
∴false
∵false，∴在false中，false，∴false，
∵false，∴false，false，∴false
∵false面false，∴在三棱锥false中，false
∵false面false，∴false，∴false
设false到平面false的距离为false，则false，∴false
记false与平面false所成角为false，则false．
解法二：∵底面false为矩形，false平面false，
∴false，false，false两两互相垂直；
∴如图，以false为原点，false，false，false所在直线为false，false，false轴建立直角坐标系．

则false，false，false，false∴false，false，
由第一问可知false，又∵false，则false是false的中点，∴false
∴false，false，
设平面false的法向量为false．
由false，得false．
设false，∴false
∵false，∴false，
解得false，∴false，
记false与平面false所成角为false，则false，
∴直线false与平面false所成角的正弦值为false．
20．解：（1）由函数false，所以：false，
因为在false时false有极小值false，
所以：false从而得false或false，
①当false时，false，此时：false，
当false时，false，当false时，false，
∴在false时false有极小值，符合题意．
②当false时，false，不合题意，舍去
∴所求的false．
（2）∵false，false恒成立，
所以false在false单调递增，
则false，即false对false恒成立，
令false，可得false，
令false，即false，解得false，
令false，即false，解得false或false，
所以false在false单调递增，在false单调递减，
当false时，函数false取得最大值，最大值为false，
所以false，即实数false的取值范围false．
21．解：（1）设椭圆左false，右焦点为false，
解得false，化简得false，
解得false或false（舍去）．
所以false，所以椭圆false的方程为false．
可知椭圆的右焦点false，则抛物线false：false．

（2）因为若线段false的长等于椭圆短轴的长，要使三点false，false，false能构成三角形，则直线false不过原点false，弦false不能与false轴垂直，故可设直线false的方程为false，
由false消去false，并整理，得false．
设false，false，又false，
所以false，false，
因为false，所以false，
即false，
所以false，
即false，则false．
又点false到直线false的距离false，
因为false，所以false，
令false，则false，故false
所以false的取值范围是false．
22．解：（1）false，
由题意知false恒成立，故false恒成立
∵false与故false在false单调增且函数值恒正
故false在false单调增；∴false
即false的取值范围为false．
（2））解法一：
由题false恒成立，故false
令false，则false，
令false，易见false在false单调增
false，false；false，false，
故存在false使得false，即false，①
false时，false，false，false单调递减，
false时，false，false，false单调递增，
故false
由①式得false，②
令false，则false恒成立，∴false在false单调增
于是②等价于false，故false③
由③有false
故false的取值范围为false．
（2）解法二：
由题知false恒成立，
false
令false，则false时false，false在false单调增，
∴false，当false取等
令false，false，false在false单调增，
false，false；false，false，
故false在false上有一唯一零点false，即false
∴false，
又false，∴false，当false时取等
故false的取值范围为false
（2）解法三：
由题知：false恒成立
令false，由题知false
记false，false时false恒成立
false，false；false，false，
故对任意false，false总有解false，即false①
false时，false，false，false单调递减，
false时，false，false，false单调递增，
∴false，即false②
由①，②得false，等价于false
令false，则false恒成立，
∴false在false单调增
于是上式等价于false，故false
∴false，
综上所述false的取值范围为false．