福建省厦门市思明区湖滨路高中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

湖滨路高中2020---2021学年第二学期期中考
高二数学试卷
一、单选题
1．已知false为虚数单位，复数false满足false，则false的共轭复数false( 　　)
A．false B．false C．false D．false
2．已知向量false， false， false，若false，则实数false的值为( 　　)
A．false B．false C．false D．false
3．如图所示，已知false是平行六面体.设false， false是false上靠近点false的四等分点，若false，则false的值为（ ）
472440045720A．false B．false
C．false D．false
4．函数y＝xlnx在(0，5)上是(　　)
A．单调增函数 B．在false上单调递增，在false上单调递减
C．单调减函数 D．在false上单调递减，在false上单调递增
43815005162555．已知false上可导函数false的图象如图，则不等式false的解集是（? ）
A．false B．false
C．false D．false
48577507620006．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A．false B．-false C．2 D．false
7．若false在x=1处取得极大值10，则false的值为（　　）
A．false或false B．false或false C．false D．false
8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数false的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
二、多选题
9．下列导数运算正确的有（ ）
A．false B．false
C．false D．false
10．函数false的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是
3238500165735A．false为函数false的单调递增区间
B．false为函数false的单调递减区间
C．函数false在false处取得极小值
D．函数false在false处取得极大值
11．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．false B．复数false的虚部为false
C．若false，则复平面内false对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足false，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
12．已知空间四点false，则下列说法正确的是（ ）
A．false B．false
C．点O到直线false的距离为false D．O，A，B，C四点共面
三、填空题
13．若false，false，false，false为false的中点，false________.
14．函数false的图象在false处的切线方程为false，则false______.
15．定义在false上的连续函数false满足false，且false在false上的导函数false，则不等式false的解集为__________．
16．已知false在区间false上为单调递增函数，则实数false的取值范围是__________．
四、解答题
17．已知向量false与false的夹角false，且false，false．
（1）求false，false；
（2）求false与false的夹角的余弦值．
399097542291018．如图，四边形false为正方形，false平面false，点false分别为false的中点，且false，false.
（1）证明：false平面false；
（2）求二面角false的大小.
19．已知函数false在false处取得极值为false.
（1）求false、false的值；
（2）若false有极大值false，求false在false上的最大值.
20．某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为false元，预计当每件产品的售价为false元false时，年销量为false万件.若每件产品的售价定为false元时，预计年利润为false万元
（1）试求每件产品的成本false的值；
（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润false（万元）最大，并求最大值．
339471070548521．如图1，在边长为2的菱形false中，false，false于点false，将false沿false折起到false的位置，使false，如图2.
（1）求证：false平面false；
（2）在线段false上是否存在点false，使平面false平面false？若存在，求false的值；若不存在，说明理由．
22．设函数false．
（1）当false时，求证：false；
（2）若false，使得不等式false成立，求实数a的取值范围．
高二数学试卷答案
一、单选题
1．已知false为虚数单位，复数false满足false，则false的共轭复数false
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】
由false，得false，故选A.
2．已知向量false， false， false，若false，则实数false的值为( 　　)
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
3．如图所示，已知false是平行六面体.设false， false是false上靠近点false的四等分点，若false，则false的值为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】A
【分析】
用空间向量运算法则，用基false表示出false即可获解.
【详解】
由题知false是false的中点,所以 false 又false是 false上靠近点 false的四等分点, 所以 false
所以 false
false
false
false
又false
所以 false
故选：A
4．函数y＝xlnx在(0，5)上是(　　)
A．单调增函数 B．在false上单调递增，在false上单调递减
C．单调减函数 D．在false上单调递减，在false上单调递增
【答案】D
【详解】
false，由false，得极值点false当false时，false，函数是单调递减函数；当false时，false，函数是单调递增函数，即函数false 在false上单调递减，在false上单调递增，故选D.
5．已知false上可导函数false的图象如图，则不等式false的解集是（? ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】D
【分析】
false则函数单调递增，所以从图中确定单调递增区间即可得解.
【详解】
由图可知false在false上单调递增，所以false的解集为false.
故选：D
【点睛】
本题考查导数的符号与函数单调性的关系，属于基础题.
6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A．false B．-false C．2 D．false
【答案】A
【分析】
如图所示，分别取false，false，false，false的中点false，false，false，false，则false，false，false，false或其补角 为异面直线false与false所成角．
【详解】
解：如图所示，
分别取false，false，false，false的中点false，false，false，false，则false，false，false，
false或其补角为异面直线false与false所成角．
设false，则false，false，
false，
false异面直线false与false所成角的余弦值为false，
故选：A．
【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是false，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
7．若false在x=1处取得极大值10，则false的值为（　　）
A．false或false B．false或false C．false D．false
【答案】C
【解析】
【分析】
由于false，依题意知，false，false，于是有false，代入f（1）=10即可求得false，从而可得答案．
【详解】
∵false，∴false，
又false在x=1处取得极大值10，
∴false，false，
∴false，
∴false或false．
当false时，false，
当false＜x＜1时，false，当x＞1时，false，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当false时，false，
当x＜1时，false，当＜x＜3时，false，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；则false，
故选C．
【点睛】
本题考查函数在某点取得极值的条件，求得false，利用false，f（1）=10求得false是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．
8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数false的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可
【详解】
由false可知，该函数为偶函数，false不对；可考虑false的情况，
false，因为false，又false
false.函数false在false上为增函数，
故选：A.
二、多选题
9．下列导数运算正确的有（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】BC
【分析】
根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.
【详解】
对于A，false，故错误；
对于B， false，故正确；
对于C， false，故正确；
对于D， false，故错误.
故选：BC.
10．函数false的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是
A．false为函数false的单调递增区间
B．false为函数false的单调递减区间
C．函数false在false处取得极小值
D．函数false在false处取得极大值
【答案】D
【分析】
利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数false的导函数的图象可知：
当false时，false，函数false单调递减；
当false时，false，函数false单调递增；
当false时，false，函数false单调递减；
当false时，false，函数false单调递增；
所以函数false单调递减区间为false，递增区间为false，
且函数false在false和false取得极小值，在false取得极大值，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
11．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．false
B．复数false的虚部为false
C．若false，则复平面内false对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足false，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【分析】
根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项，false，故A选项正确.
B选项，false的虚部为false，故B选项错误.
C选项，false，对应坐标为false在第三象限，故C选项错误.
D选项，false表示false到false和false两点的距离相等，故false的轨迹是线段false的垂直平分线，故D选项正确.
故选：AD
12．已知空间四点false，则下列说法正确的是（ ）
A．false B．false
C．点O到直线false的距离为false D．O，A，B，C四点共面
【答案】ABC
【分析】
计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．
【详解】
false，
false，A正确；
false，B正确；
false，false，所以false，false，所以点O到直线false的距离为false，C正确；
false，
假设若O，A，B，C四点共面，则false共面，设false，
则false，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错．
故选：ABC．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．若false，false，false，false为false的中点，false________.
【答案】false
【分析】
由中点坐标公式得出false点坐标，再由空间两点距离公式得出距离
【详解】
false的坐标为false即false
falsefalse
故答案为：false
14．函数false的图象在false处的切线方程为false，则false______.
【答案】false
【分析】
利用导数和斜率的关系列方程，由此求得false的值.
【详解】
依题意false，由于函数false的图象在false处的切线方程为false，直线false的斜率为false，所以false.
故答案为：false
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
15．定义在false上的连续函数false满足false，且false在false上的导函数false，则不等式false的解集为__________．
【答案】false
【解析】
设false，则false，即false是单调递减函数，而false，所以false等价于false，即false，所以false，故不等式的解集为false，应填答案false．
点睛：本题的解答过程中，充分借助题设条件，巧妙地构造函数false，从而借助导数的求导法则及导数与函数单调性的关系，判断出该函数的单调递减函数，进而为解不等式创造出模型．解答本题的难点在于怎样观察并构造出函数，然后再用导数知识判断其单调性，进而将不等式进行等价转化．
16．已知false在区间false上为单调递增函数，则实数false的取值范围是__________．
【答案】false
【分析】
求出导函数false，由false在false上恒成立可得false的范围．
【详解】
false，由题意false在false时恒成立，
即false在false时恒成立，false，
由对勾函数性质知false在false单调递增，所以false，
所以false，即false．
故答案为：false．
【点睛】
本题考查用函数在某个区间上单调性，解题方法是把问题转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值．解题基础求出导函数．
四、解答题
17．已知向量false与false的夹角false，且false，false．
（1）求false，false；
（2）求false与false的夹角的余弦值．
【答案】（1）false，false；（2）false.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出false的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出false的值；
（2）计算出false的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得false与false的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知，得false，
false；
（2）设false与false的夹角为false，
则false，
因此，false与false的夹角的余弦值为false.
18．如图，四边形false为正方形，false平面false，点false分别为false的中点，且false，false.
（1）证明：false平面false；
（2）求二面角false的大小.
【答案】（1）见解析（2）false.
【分析】
（1）取false的中点为false，连接false，可证四边形false为平行四边形，则false，即可得证；
（2）以false为坐标原点，false、false、false所在直线为false、false、false轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由特殊角的三角函数值求出角度；
【详解】
解：（1）证明：取false的中点为false，连接false
又false为false的中点，所以false，且false，
因为false，且false，
所以false，且false，
故四边形false为平行四边形，则false
又false平面false，false平面false，
所以false平面false，
（2）因为false，false，false平面false，所以false
而四边形false为正方形，所以可如图建立空间直角坐标系false
false，false，false，false
所以false，false，false
设平面false的一个法向量为false，则false
∴false，false
同理可得平面false的一个法向量为false
所以false，
由图知二面角false为钝角，则大小为false.
【点睛】
本题考查线面平行的判定，利用空间向量法求二面角，属于中档题.
19．已知函数false在false处取得极值为false.
（1）求false、false的值；
（2）若false有极大值false，求false在false上的最大值.
【答案】(1) false;(2) 最小值为false.
【解析】
试题分析：（1）false，有false，得false；（2）false在false处取得极大值false，在false处取得极小值false，最小值为false.
试题解析：
（1）因false故false由于false在点false处取得极值
故有false即false，化简得false解得false
(2).知false，false令false，得false，false
当false时，false故false在false上为增函数；
当false时，false故false在false上为减函数；
当false时，false，故false在false上为增函数．
由此可知false在false处取得极大值false．
false在false处取得极小值false
由题设条件知false得false
此时false，false，false
因此false上false的最小值为false.
20．某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为false元，预计当每件产品的售价为false元false时，年销量为false万件.若每件产品的售价定为false元时，预计年利润为false万元
（1）试求每件产品的成本false的值；
（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润false（万元）最大，并求最大值．
【答案】（1）false；（2）每件产品的售价定为false元时，年利润false最大，最大值为false万元.
【分析】
（1）求得利润为false，代入点false可求得实数false的值；
（2）由（1）可得出false，false，利用导数求出false的最大值及其对应的false的值，即可得出结论.
【详解】
（1）由题意可知，该产品的年利润为false，false，
当false时，false，解得：false；
（2）由false，false，
得：false，
由false，得false或false（舍）.
当false时，false，当false时，false.
所以当false时，false（万元）
即每件产品的售价定为false元时，年利润false最大，最大值为false万元.
【点睛】
思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
21．如图1，在边长为2的菱形false中，false，false于点false，将false沿false折起到false的位置，使false，如图2.
（1）求证：false平面false；
（2）在线段false上是否存在点false，使平面false平面false？若存在，求false的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且false
【分析】
（1）false，false，由线面垂直的判定定理得到false平面false，从而有false，又false，再由线面垂直的判定定理证明。
（2）假设在线段false上是否存在点false，使平面false平面false，根据（1）建立空间直角坐标系，设false，则false，所以false，若使平面false平面false，分别求得两个平面的法向量，再通过两个法向量数量积为零求解.
【详解】
（1）证明：因为false于点false，
所以false，
false，false，且false，
false平面false，
falsefalse，
false平面false.
（2）假设在线段false上是否存在点false，使平面false平面false.
根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：
则false，false，
设false，
则false，所以false，
所以false，
设平面false一个法向量为：false，
则false，即false，
令false，所以false，
设平面false一个法向量为：false，
则false，即false，
令false，所以false，
因为平面false平面false，
所以false，即false
解得false.
所以在线段false上是否存在点false，使平面false平面false，且false.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定定理和面面垂直问题，还考查了逻辑推理，探究问题的能力，属于中档题.
22．设函数false．
（1）当false时，求证：false；
（2）若false，使得不等式false成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）false.
【分析】
（1）令false，求导分析单调性求解最小值大于0即可证明；
（2）法一：令false，求导讨论分析单调性求解最小值小于或等于false即可；法二：用分析法分析每一步成立的充要条件即可求解．
【详解】
（1）证明：当false时，false，
令false，则false，
false，
false，
false函数false在false上单调递增，
false，即false．
（2）法一：令false，则false，
false，
①当false时，false恒成立，false在false上单调递增，
false，
由题意得false，解得false；
②当false时，false恒成立，false在false上单调递减，
false，
由题意得false，解得false；
③当false时，false时，false在false上单调递减；
false时，false在false上单调递增．
false，
由题意得false，即false，恒成立，
false．
综上，实数a的取值范围为false．
法二：false，使得不等式false成立
false成立
false成立，
令false，则false，
false在false上是增函数，false，
false，即实数a的取值范围为false．
【点睛】
方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.