2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形期末练习（Word版含解析）

平行四边形期末练习
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB∥DC，AD＝BC
2．如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形；②这个四边形一定是菱形；③这个四边形不可能是矩形；④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（
）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
3．如图，四边形和均为正方形，点在对角线上，点在边上，连结和．若知道正方形和的面积，则一定能求出（
）
A．四边形的周长
B．四边形的周长
C．四边形的周长
D．四边形的周长
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．
5．如图，平行四边形的周长为20，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
6．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（
）
A．3
B．4
C．6或3
D．3或4
7．如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一个动点，点为的中点，连接，当的最小值为时，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
9．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB＝6，BE：EC＝4：1，则线段DE的长为（
）
A．4
B．2
C．4
D．2
10．如图，将矩形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝嫩、无重叠的四边形，若，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（　　）
A．3
B．5
C．7
D．8
12．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，，．在边上取一点E，使，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．如图矩形纸片中，，现将纸片折叠压平，使与重合，折痕为，则折痕的长为____．
14．如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则的长为________．
15．如图，折叠矩形纸片，先把沿翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在上；然后将纸片展开铺平，把矩形沿对角线折叠，若点恰好落在对角线上，则的值为________．
16．如图，、是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是___________．
17．如图，在正方形的内部作等边，连接、，则______．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是_____．
19．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为和，CD落在EF上，，若的面积为，则的面积是____．
20．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．在运动以后，当______时以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
三、解答题（本大题共60分）
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AE＝DF．
22．（8分）已知：平行四边形ABCD，过点A、C分别作AD、BC的垂线，交BD于E、F两点，连接AF、CE．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当点F为DE中点时，请直接写出图2中与四边形AECF面积相等的所有三角形．
23．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．
（1）求证：四边形BOCE是矩形；
（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．
24．（8分）如图1，已知四边形是平行四边形，并且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）如图2，点E是边的中点，F为边上一点，．若，，求的长．
25（8分）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为120，求菱形的周长．
26．（10分）已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系．
27．（10分）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）点在上，连结，，若，求此时的大小．
参考答案
1．D
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项A不符合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项B不符合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项C不符合题意；
∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
2．C
解：过点作于，于．
两张长方形直尺的宽度相等，
，
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形．故②正确
当时，这个四边形是正方形，故①正确，③不正确
这个四边形一定是轴对称图形，故④正确
3．B
解：四边形和均为正方形，
，
．
四边形的周长
．
因为知道正方形和的面积，
所以它们的边长和对角线均可确定，
即与确定，一定能求出四边形的周长,其他选项不符合；
4．B
根据作图可知DE为的角平分线，即，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
5．C
解：的周长为20，
，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
．
点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长，
即的周长为8．
6．C
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠C=90°，AB=6，AD=8
∴
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点在矩形内部时，如图1所示，
由折叠的性质得，，
设，则，
∴
在Rt中，
∴
解得，x=3
∴AE=3；
②当点落在边BC上时，如图2所示，
此时四边形是正方形，
∴AE=AB=6
7．D
解：如图延长交的延长线于，取的中点，连接．
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确，
∵，
∴
，故C正确，
∵，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故D错误，
8．B
解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2=CE．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD=2：1，设AB=2t，则AD=t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=t，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．
∴∠DP2P1=90°．
∴∠DP1P2=45°．
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1=BC=t，
∴BP1=t=，
∴t=3．
9．D
解：由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC．
由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE，
∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，
∴DF＝AB，∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠B，
由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，
在△ABE与△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∵BE：CE＝4：1，
∴设CE＝x，BE＝4x，则AD＝BC＝5x，
由△ABE≌△DFA，得AF＝BE＝4x，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF＝3x，
又∵DF＝CD＝AB＝6，
∴x＝2，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝2．
10．D
解：∵HJ:JK:KF=2:1:2,
∴设HJ=2x，JK=x，KF=2x，
由折叠的性质得:AH=HJ=2x，
DH
=HK=3x，AE=EJ=
BE，
∴FH=5x，
∴AH:HD=2:3,
故D说法正确;
11．C
解：连接DE，
∵FG＝且F、G分别为AD、AE中点，
∴DE＝2FG＝5，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝4，
在△CDE中，CE＝＝3，
∵AE平分∠BAD，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
在△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
又∵CE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4+3＝7．
12．D
解：如图所示，过作于，过作于，
平行四边形中，，，
，，
又，
中，，
中，，
，
，
，，
，
又，
，
13．
如图所示：过点F作FN⊥BC交BC于点N，
设BE=xcm，则AE＝BC＝18－x，
在Rt△ABE中，，即
，
解得x=5，
∴AE＝，
在矩形纸片中，则AE//MF，AD//BC，AB＝AM，
∴∠AEB=∠FAE=∠AFM，
在△ABE和△AMF中
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AF＝AE＝13cm，
∴DF＝AD－AF＝5，
∴EN＝BC－BE－CN＝BC－BE－DF＝8，
在Rt△ENF中，EF＝
．
14．3
解：如图，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
，
是等边三角形，为的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
15．
解：连接DE，如图，
由折叠可得，EF=BE，∠AFE=90°，∠AED=∠CED，
∵矩形ABCD，
∴BC=AD，∠BAF=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠BAF=∠B=∠AFE=90°，∠ADE=∠DEC，
∴四边形ABEF为正方形，∠ADE=∠AED，
∴AB=BE=EF=AF，AD=AE，
设AB=a，则BC=AD=AE=a，
∴，
16．16
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∵AE=CF=2，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF=BE=BF，
∵AC=BD=8，OE=OF=，
∴EF=4，
∴四边形BEDF的面积为EF·BD==16，
17．15°
解：∵是等边三角形，
∴AM=AB=BM，∠MAB=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°，
∴AM=AD，∠DAM=90°-∠MAB=90°-60°=30°，
∴∠ADM=∠AMD=，
∴∠MDC=∠ADC-∠ADM=90°-75°=15°．
18．1＋
取AB的中点F，连接DF，
∠DCB＝60°，BC＝BD，
∠ADC＝150°，AB＝2，
以为边作等边，如图，连接，
则
为中点，
，
当且仅当过时，最长
此时．
19．8.5
解：连接FH，在菱形和菱形中，，
，
，
，
和同底等高，
菱形的面积为，，
，
，
20．4.8s或8s或9.6s
解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C-B，方程为12-4t=12-t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C-B-C，方程为4t-12=12-t，
解得：t=4.8；
③点Q的运动路线是C-B-C-B，方程为12-（4t-24）=12-t，
解得：t=8；
④点Q的运动路线是C-B-C-B-C，方程为4t-36=12-t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
21．见解析
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
22．（1）见解析；（2）△ABE，△ADE，△BCF，△DCE
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠BCF＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴CF＝AE，DE＝BF，∠AEF＝∠CFE，
∴AECF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵点F为DE中点，
∴DF＝EF，
∵BF＝DE，
∴BE＝DF＝EF，
∴与四边形AECF面积相等有△ABF，△ADE，△BCF，△DCE．
23．（1）见解析；（2）
解：（1）∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠BOC=90°．
∴四边形BOCE是矩形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵四边形BOCE是矩形，
∴BF=BC=AB=1．
∴∠AFB=90°．
∴AF=．
24．（1）见解析；（2）
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是矩形．
（2）延长交于点G．
∵四边形是矩形，
∴，．
∴．
∵E是边的中点即，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
设，由勾股定理得，
即：．解得．
25．（1）见解析；（2）52
解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB=OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）∵BD=24，菱形BNDM的面积为120，
∴MN=120×2÷24=10，
∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM==13，
∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52．
26．（1）见解析；（2）①，证明见解析；②
解：（1）如图所示，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①如图所示，连接、，
是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
即；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
又且，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
又，，
，
则．
27．（1）见解析；（2）45°
（1）证明：在正方形中，
∵，，，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∵，
又∵，
∴．