2021—2022学年人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆同步练习 （word解析版）

24.3　正多边形和圆
知识点
1　利用正多边形的性质进行计算
1.正八边形的中心角是
(　　)
A.45°
B.135°
C.360°
D.1080°
2.[2020·曲靖麒麟区一模]
若一个圆内接正多边形的中心角是36°,则这个正多边形是
(　　)
A.正五边形
B.正八边形
C.正十边形
D.正十八边形
3.已知正六边形的半径为r,则它的边长、边心距、面积分别为
(　　)
A.r,r,r2
B.r,,2r2
C.r,r,r2
D.r,,r2
4.一元硬币的直径约为24
mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大为
(　　)
A.12
mm
B.12
mm
C.6
mm
D.6
mm
5.正方形ABCD与正八边形EFGHKLMN的边长相等,初始位置如图24-3-1所示,将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合,再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合……按这样的方式将正方形ABCD旋转2021次后,正方形ABCD中与正八边形EFGHKLMN的边重合的边是
(　　)
图24-3-1
A.AB
B.BC
C.CD
D.DA
6.[2020·成都模拟]
如图24-3-2,已知☉O是正六边形ABCDEF的外接圆,P为☉O上除C,D外任意一点,则∠CPD的度数为
(　　)
图24-3-2
A.30°
B.30°或150°
C.60°
D.60°或120°
7.如图24-3-3是由7个全等的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,设定AB边如图所示,则使△ABC是直角三角形的格点有
(　　)
A.10个
B.8个
C.6个
D.4个
图24-3-3
图24-3-4
8.如图24-3-4,边长为3的正五边形ABCDE的顶点A,B在半径为3的☉O上,其他各点在圆内,将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转,当点E第一次落在☉O上时,点C转过的度数为
(　　)
A.12°
B.16°
C.20°
D.24°
9.如图24-3-5,已知正十二边形A1A2…A12,连接A3A7,A7A10,则∠A3A7A10=　　　　°.?
图24-3-5
图24-3-6
10.[2020·福州期中]
如图24-3-6,在平面直角坐标系中,正六边形OABCDE的边长是6,则它的外接圆的圆心P的坐标是　　　　.?
11.如图24-3-7,AB,AC分别为☉O的内接正方形与内接正三角形的一边,而BC恰好是☉O内接正n边形的一边,则n等于　　　　.?
图24-3-7
12.佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣,她回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图24-3-8①所示),旋转放置,做成科学方舟模型(如图②所示).图①中正五边形的边心距OB为,图②中AC为科学方舟船头A到船底的距离,请你计算AC+AB=　　　　.?
图24-3-8
知识点
2　正多边形的画法
13.下列用尺规等分圆周的作法正确的有
(　　)
①在圆上依次截取等于半径的弦,就可以六等分圆;②作相互垂直的两条直径,就可以四等分圆;③按①的方法将圆六等分,六个等分点中三个不相邻的点三等分圆;④按②的方法将圆四等分,再平分四条弧,就可以八等分圆.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
14.如图24-3-9,AD为☉O的直径,作☉O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下:
甲:1.以点D为圆心,OD长为半径作圆弧,交☉O于B,C两点;
2.连接AB,BC,AC.△ABC即为所求作的三角形.
乙:1.作OD的中垂线,交☉O于B,C两点;
2.连接AB,AC.△ABC即为所求作的三角形.
对于甲、乙两人的作法,可判断
(　　)
图24-3-9
A.甲对,乙不对
B.甲不对,乙对
C.两人都对
D.两人都不对
能力拓展提升
15.如图24-3-10,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
图24-3-10
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON的度数是　　　　,图③中∠MON的度数是　　　　;?
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案).
典题讲评与答案详析
1.A　2.C　3.D
4.A　[解析]
正六边形外接圆的直径等于正六边形边长的2倍.
5.B　[解析]
由题意可得正方形每旋转8次则回到原来的位置.
∵2021÷8=252……5,
∴正方形ABCD旋转2021次后,BC边与正八边形EFGHKLMN的边重合.
6.B　[解析]
连接OC,OD.
∵☉O是正六边形ABCDEF的外接圆,
∴∠COD=60°.
当点P在上时,∠CPD=∠COD=30°;
当点P在上时,∠CPD=180°-30°=150°.
综上所述,∠CPD的度数为30°或150°.
故选B.
7.A　[解析]
如图,当AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形;当AB是斜边时,点C共有4个位置,即有4个直角三角形.
综上所述,使△ABC是直角三角形的格点有6+4=10(个).故选A.
8.A　[解析]
设点E第一次落在☉O上时的对应点为E',连接OA,OB,OE',如图.
∵五边形ABCDE为正五边形,
∴∠EAB=108°.
∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转,点E第一次落在☉O上的点E'处,
∴AE'=AE=3.
∵OA=AB=OB=OE'=AE'=3,
∴△OAE',△OAB都为等边三角形,
∴∠OAB=∠OAE'=60°,
∴∠E'AB=120°,∴∠EAE'=12°,
∴当点E第一次落在☉O上时,点C转过的度数为12°.
9.75　[解析]
设该正十二边形的外心为O,如图,连接A10O和A3O.由题意知,∠A3OA10=×5=150°,
∴∠A3A7A10=75°.
10.(3,3)　[解析]
如图,连接PA,PO.
∵正六边形OABCDE的外接圆的圆心是P,
∴∠OPA==60°,PO=PA,
∴△POA是等边三角形,
∴PO=PA=OA=6.
过点P作PH⊥OA于点H,则OH=OA=3,
∴PH===3,
∴点P的坐标是(3,3).
故答案为(3,3).
11.12　[解析]
连接OA,OB,OC,如图.
∵AB,AC分别为☉O的内接正方形与内接正三角形的一边,
∴∠AOB=90°,∠AOC=120°,
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°,∴n==12,即BC恰好是☉O内接正十二边形的一边.
12.
　[解析]
如图①,连接OF,OE.
由题意,知AB⊥EF,则BE=BF=EF,
∴S正五边形AGFED=5×S△OEF=5×EF·OB=2.5×EF=5BE.
如图②,连接AE.
S正五边形AGFED=2×S四边形ABED=2×(S△ABE+S△ADE)=2×AB·BE+DE·AC=AB·BE+DE·AC=AB·BE+2BE·AC=BE·(AB+2AC),∴5BE=BE·(AB+2AC).
∴AB+2AC=5,∴AC+AB=.
13.A
14.C　[解析]
由甲的作法可知连接OB,BD,OC,CD后,OB=BD=OD=OC=CD,所以△BOD和△COD都是等边三角形,四边形OBDC是菱形,所以∠BOC=120°,则∠BAC=60°.因为四边形OBDC是菱形,所以AD⊥BC,AD平分BC,所以AB=AC,所以△ABC是等边三角形,所以甲的作法是正确的.由乙的作法可知∠BOC=120°,所以∠BAC=60°.又因为AD⊥BC,所以AD平分BC,所以AB=AC,所以△ABC是等边三角形,所以乙的作法是正确的.故选C.
15.解:(1)方法一:连接OB,OC.
∵正三角形ABC内接于☉O,
∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.
又∵BM=CN,OB=OC,
∴△OBM≌△OCN,∴∠BOM=∠CON,
∴∠MON=∠BOC=120°.
方法二:连接OA,OB.
∵正三角形ABC内接于☉O,
∴AB=BC,∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.
∵BM=CN,∴AM=BN.
又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON,
∴∠AOM=∠BON,∴∠MON=∠AOB=120°.
(2)90°　72°
(3)∠MON=°.