2021--2022学年人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径同步练习（word解析版）

24.1.2　垂直于弦的直径
知识点
1　圆的轴对称性的简单应用
1.如图24-1-13所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是半圆AC的中点,连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O,点D,E关于圆心O对称,则图中两个阴影部分的面积S1,S2之间的关系是
(　　)
A.S1B.S1>S2
C.S1=S2
D.不确定
图24-1-13
图24-1-14
2.如图24-1-14,已知直径MN⊥弦AB,垂足为C,有下列结论:①AC=BC;②=;③=;④AM=BM.其中正确的个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
知识点
2　对垂径定理及其推论的判断
3.如图24-1-15,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,可以找到圆形工件的圆心.如果使用此工具找到圆心,那么最少使用次数为
(　　)
图24-1-15
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图24-1-16,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论正确的是(　　)
A.OE=BE
B.=
C.△BOC是等边三角形
D.四边形ODBC是菱形
图24-1-16
图24-1-17
知识点
3　利用垂径定理计算线段的长度
5.如图24-1-17,在直角坐标系中,以原点为圆心,半径为5的圆内有一点P(0,-3),那么经过点P的所有弦中,最短的弦的长为
(　　)
A.4
B.5
C.8
D.10
6.如图24-1-18,以O为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB的延长线交大圆于点C.若AB=4,BC=1,则下列整数与圆环面积最接近的是
(　　)
图24-1-18
A.10
B.13
C.16
D.19
7.[2019·梧州]
如图24-1-19,在半径为的☉O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是
(　　)
图24-1-19
A.2
B.2
C.2
D.4
8.已知☉O的半径为10
cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16
cm,CD=12
cm,则弦AB和CD之间的距离是　　　　cm.?
9.如图24-1-20,∠C=90°,以AC为半径的☉C与AB相交于点D.若AC=3,BC=4,求BD的长.
图24-1-20
知识点
4　与垂径定理有关的折叠问题
10.如图24-1-21,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为
(　　)
图24-1-21
A.
B.2
C.3
D.2
11.如图24-1-22,将半径为6的☉O沿AB折叠,与垂直于AB的半径OC交于点D,且CD=2OD,则折痕AB的长为
(　　)
A.4
　B.8
　C.6
D.6
图24-1-22
图24-1-23
12.如图24-1-23,☉O的半径为8
cm,把劣弧AB沿AB折叠,使劣弧AB经过圆心O,再把劣弧CD沿CD折叠,使劣弧CD经过AB的中点E,则折痕CD的长为
(　　)
A.8
cm
B.8
cm
C.2
cm
D.4
cm
13.如图24-1-24,AB是☉O的直径,AC是弦,将劣弧AC沿弦AC翻折与AB的交点恰好是圆心O,作OD⊥AC,垂足为E,交☉O于点D,连接BC,CD.求证:四边形BCDO是菱形.
图24-1-24
知识点
5　垂径定理在实际问题中的应用
14.[2020·武汉模拟]
小名同学响应学习号召,在实际生活中发现问题,并利用所学的数学知识解决问题,他将汽车轮胎如图24-1-25放置在地面台阶直角处,他测量了台阶高a为160
mm,直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320
mm,请帮小名同学计算轮胎的直径为
(　　)
图24-1-25
A.350
mm　　　
B.700
mm
C.800
mm　　　D.400
mm
15.[2019·京山期中]
在圆柱形油槽内装有一些油,油槽直径MN为10分米,截面如图24-1-26,油面宽AB为6分米.如果再注入一些油后,油面宽变为8分米,那么油面AB上升
(　　)
A.1分米
B.4分米
C.3分米
D.1分米或7分米
图24-1-26
图24-1-27
16.如图24-1-27,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,∠AOB=60°,C是的中点,CD⊥AB于点D,且CD=5
m,则这段弯路所在圆的半径为
(　　)
A.(20-10)m
B.20
m
C.30
m
D.(20+10)m
能力拓展提升
17.如图24-1-28所示,动点C在☉O的弦AB上运动,AB=2,连接OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值为　　　　.?
图24-1-28
18.如图24-1-29,AB,CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是☉O的直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为　　　　.?
图24-1-29
典题讲评与答案详析
1.C　[解析]
∵P是半圆AC的中点,∴半圆关于直线OP对称.又点D,E关于圆心O对称,∴两个阴影部分在直径AC上方的部分面积相等.
∵OD=OE,OC=OA,
∴CD=AE,∴△CDB与△AEB等底同高,
∴△CDB与△AEB的面积相等,∴S1=S2.
2.D　3.B　
4.B　[解析]
AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,由垂径定理可以得到CE=DE,=,=,但并不一定能得到OE=BE,OC=BC,从而A,C,D选项都是错误的.故选B.
5.C　[解析]
过点P作弦AB⊥OP,连接OB,如图,
则PB=AP,∴AB=2PB=2.
再过点P任作一条弦MN,过点O作OG⊥MN于点G,连接ON,
则MN=2GN=2.
∵OP>OG,OB=ON,∴MN>AB,
∴AB是☉O中的过点P最短的弦.
∵OP=3,OB=5,
∴AB=2=2=8.
6.C　[解析]
如图,连接OA,OC,过点O作OD⊥AB,垂足为D,则AD=BD=2,∴DC=2+1=3.S圆环=πOC2-πOA2=π(OD2+DC2-OD2-AD2)=π(32-22)=5π≈15.7.
7.C
8.2或14　[解析]
(1)当弦AB和CD在圆心同侧时,连接OA,OC,过点O作OF⊥CD于点F,交AB于点E,如图①,则OE⊥AB.
∵AB=16
cm,CD=12
cm,
∴AE=8
cm,CF=6
cm.
∵OA=OC=10
cm,
∴OE=6
cm,OF=8
cm,
∴EF=OF-OE=2
cm;
(2)当弦AB和CD在圆心异侧时,连接OA,OC,过点O作OF⊥CD于点F,反向延长OF交AB于点E,如图②,则OE⊥AB.
∵AB=16
cm,CD=12
cm,
∴AE=8
cm,CF=6
cm.
∵OA=OC=10
cm,
∴OE=6
cm,OF=8
cm,
∴EF=OF+OE=14
cm.
综上所述,弦AB和CD之间的距离为2
cm或14
cm.
9.解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB===5.
如图,过点C作CE⊥AB于点E,则AD=2AE.
∵S△ABC=AC·BC=AB·CE,
∴CE==,
∴在Rt△ACE中,AE===,
∴AD=2AE=2×=,
∴BD=AB-AD=5-=.
10.D　[解析]
如图,过点O作OD⊥AB于点D,连接OA.根据题意,得OD=OA=1.再根据勾股定理,得AD=.根据垂径定理,得AB=2.
11.B　[解析]
如图,延长CO交AB于点E,连接OB.∵CE⊥AB,∴AB=2BE.∵OC=6,CD=2OD,∴CD=4,OD=2,OB=6.由折叠的性质可得DE=×(6×2-4)=4,
∴OE=DE-OD=4-2=2.
在Rt△OEB中,BE===4
,∴AB=8
.故选B.
12.D　[解析]
如图,作CD关于AB对称的弦C'D',连接OE并延长,交CD于点F,交C'D'于点F'.由题意可得OF'⊥C'D',且OF'=×8=6(cm),所以C'F'==2
cm,
所以CD=C'D'=2C'F'=4
cm.
13.证明:如图,连接AD,OC.
∵OD⊥AC,∴AE=EC.
由翻折的性质,得AC是OD的垂直平分线,
∴OE=DE,
∴四边形OADC是平行四边形,
∴OA∥CD,OA=CD.
∵OA=OB,∴OB=CD,OB∥CD,
∴四边形BCDO是平行四边形.
又∵OB=OD,∴四边形BCDO是菱形.
14.C　15.D
16.D　[解析]
∵点O是这段弧所在圆的圆心,
∴OA=OB.
又∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=OB.
设AB=OB=OA=r
m.
连接OC.∵C是的中点,∴OC⊥AB.
又∵CD⊥AB,
∴点D在OC上,且AD=DB=r
m,
∴在Rt△AOD中,OD===r(m).
∵OD+CD=OC,∴r+5=r,
解得r=20+10,
∴这段弯路所在圆的半径为(20+10)m.
故选D.
17.　[解析]
如图,连接OD,过点O作OH⊥AB于点H,则AH=BH=AB=.∵CD⊥OC,∴CD=.∵OD为☉O的半径,为定长,∴当OC最小时,CD最大.当点C运动到点H处时,OC最小,此时CD=BH=,即CD的最大值为.
18.7　[解析]
如图,连接OB,OC,BC,则BC的长即为PA+PC的最小值.过点C作CH⊥AB于点H,则四边形EFCH为矩形,∴CH=EF,EH=CF.根据垂径定理,得BE=AB=4,CF=CD=3,
∴OE===3,OF===4,
∴CH=EF=OE+OF=3+4=7.又∵BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,∴在Rt△BCH中,由勾股定理,得BC=7
,则PA+PC的最小值为7
.