20.2.1方差-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（Word版含详解）
文档属性
| 名称 | 20.2.1方差-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（Word版含详解） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-08 08:44:35 | ||
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文档简介
20.2数据的波动程度
第一课时 方差
学习目标：
1．弄清楚方差的概念及其统计学意义．
2．会计算一组数据的方差．
3．能够运用方差判断数据的波动程度．
学习重点：弄清方差的意义，会计算一组数据的方差．
一、课前检测
1．某超市购进一批不同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据.要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购( )的皮鞋。
皮鞋价(元) 160 140 120 100
销售百分率 60％ 75％ 83％ 95％
A．160元 B．140元 C．120元 D．100元
2.已知一组数据4，x，5，y，7,9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_______.
二、温故知新
1．在前面你已经学过哪些统计量，它们各有何特点？
2．如何求一组数据的平均数？平均数在反映数据的整体水平有什么局限性？
三、预习导航（预习教材第124-126页，标出你认为重要的关键词）
1．刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对陈楷和李东两名学生进行5次投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．
队??员 第?1次 第2次 第3次 第4次 第5次
陈楷 7 8 8 8 9
李东 10 6 10 6 8
(1)请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数；
(2)用复式折线统计图表示上述数据；
(3)若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
2．自主归纳：
(1)统计中，常用 来衡量一组数据的波动大小；
(2)设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用它们的平均数，表示这组数据的方差，即用s2= 来表示．
四、自学自测
1．计算下列各组数据的方差：
(1)6 6 6 6 6 6； (2)5 5 6 6 7 7．
2．五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____．
五、我的疑惑(反思)
_________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：方差的意义
问题1：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子． 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表．根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
(1)甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明．
(2)如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
①请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况．
②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．
要点归纳
1.方差用来衡量一组数据的 (即这组数据偏离 的大小)．
2.方差越大，数据的波动 ；方差越小，数据的波动 ．
二、精讲点拨
问题2：在某次篮球联赛中,最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军, 赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操,参加表演的女同学的身高(单位:cm)分别是：
九班 163 163 165 165 165 166 166 167
三班 163 164 164 164 165 166 167 167
哪班啦啦操队女同学的身高更整齐?
(1)你是如何理解“整齐”的？
(2)从数据上看，你是如何判断那个队更整齐？
问题3：已知数据x1、x2、…、xn的平均数为，方差为s2．
(1)x1+b、x2+b、…、xn+b的平均数为 ，方差为 ；
(2)ax1、ax2、…、axn的平均数为 ，方差为 ；
(3)ax1+b、ax2+b、…、axn+b的平均数为 ，方差为 ．
三、变式训练
1.计算并比较两组数据的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的．
(1)3 3 4 6 8 9 9； (2)3 3 3 6 9 9 9．
2．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大．上述结论正确的有 ．
3．如图是甲、乙两射击运动员的10 次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10 次射击成绩的方差哪个大？谁的成绩更稳定？
四、课堂小结
方差
方差的概念 设有n个数据及它们的平均数，则的方差为、s2= ．
方差的意义 (1)方差用来衡量一组数据的
(即这组数据偏离 的大小)．
(2)方差越大，数据的波动 ；
方差越小，数据的波动 ．
★1．样本方差的作用是( )
A．表示总体的平均水平
B．表示样本的平均水平
C．准确表示总体的波动大小
D．表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小
★2．人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，, ，则成绩较为稳定的班级是( )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
★3.在样本方差的计算公式 中， 数字10 表示___________ ，数字20表示 _______．
★4.小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差为 ．
★★5．若样本的平均数是10，方差是3，则样本2+1,2+1，…，2+1的平均数和方差分别为___________．
★★6．为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩(单位：分)如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1)填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84
84
0.3
乙 84 84
34
(2)利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价．
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测：
1.试题分析：本题考查的是统计的应用，分别求出每种皮鞋的销售额，再比较即可．
详解：设每种皮鞋都有a双．四种皮鞋的销售额分别为：
；
；
；
．
可见应多购140元的皮鞋．
故选B．
2.试题分析：先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
详解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是×（5+6）=5.5，
故答案为5.5．
自学自测
1．试题分析：根据方差公式进行计算即可.
详解：（1）=6，
∴=[(6-6)+(6-6)+(6-6)+(6-6)+(6-6)+(6-6)]=×0=0.
（2）=6，
∴=[(5-6)+(5-6)+(6-6)+(6-6)+(7-6)+(7-6)]=×4=.
2．试题分析：先根据平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算．
详解：由题意知：a=4×5﹣（1+3+5+8）=3，
这五个数的方差S2=[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（8﹣4）2]=5.6．
故答案为3；5.6．
变式训练
1.试题分析：先根据平均数的公式计算出两组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
详解：（1）=6，
∴=[(3-6)+(3-6)+(4-6)+(6-6)+(8-6)+(9-6)+(9-6)]=×44=.
（2）=6，
∴=[(3-6)+(3-6)+(3-6)+(6-6)+(9-6)+(9-6)+(9-6)]=×54=.
通过计算可以看出，两组数据的平均数相同，（1）组的方差小于（2）组的方差，说明（1）组数据比（2）组数据波动小.
试题分析：根据表格中中位数、方差、平均数的数据分别对几个结论进行判断即可.
详解：∵甲=乙，∴①正确；
∵乙的中位数为151，甲的中位数为149，∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数②正确；
∵S2甲＞S2乙，∴甲班成绩的波动比乙班大，③正确；
故正确的结论是①②③．
3．试题分析：根据折线统计图提供的数据，先算出甲乙成绩的方差，然后进行比较即可.
详解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，
乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+（10-8.5）2+5×（9-8.5）2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]÷10=1.35
∴S2甲＜S2乙．甲运动员的成绩更稳定些.
星级达标：
1．试题分析：根据样本方差的意义即可做出判断.
详解：一组数据的方差反映这组数据的波动情况，从而能估计总体的波动大小.
故选答案D.
2．试题分析：∵，说明甲乙的平均成绩相同；∵, ，s甲2＞s乙2，∴乙班的成绩较为稳定．
详解：∵, ，s甲2＞s乙2，∴乙班的成绩较为稳定．
故选B．
3.试题分析：方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．
详解：由于s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．
故答案为：样本容量，平均数．
4.试题分析：根据折线统计图提供的数据，先算出小凯成绩的平均数，然后代入方差公式计算即可.
详解：由折线图可知，小凯的成绩为55，70，65，75，85.
=（55+70+65+75+85）÷5=70；
∴方差S2=[（55-70）2+（70-70）2+（65-70）2+（75-70）2+（85-70）2]=100.
故答案为：100.
5．试题分析：利用平均数与方差的性质分别分析得出即可．
详解：∵样本x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为3，
∴（2x1+1），（2x2+1），（2x3+1），…，（2xn+1）的平均数为2×10+1=21，方差为22×3=12．
故答案为21和12.
6．试题分析：根据中位数的定义找出最中间两个数的平均数，根据众数的定义找出出现次数最多的数，频率是用85分以上的频数除以总数即可．
详解：（1）
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 84 14.4 0.3
乙 84 84 90 34 0.5
(2)甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从两人成绩的众数看，乙的成绩较好.
甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定.
甲成绩、乙成绩的中位数、平均数都是84，但从85分以上的频率看，乙的成绩较好.
第一课时 方差
学习目标：
1．弄清楚方差的概念及其统计学意义．
2．会计算一组数据的方差．
3．能够运用方差判断数据的波动程度．
学习重点：弄清方差的意义，会计算一组数据的方差．
一、课前检测
1．某超市购进一批不同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据.要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购( )的皮鞋。
皮鞋价(元) 160 140 120 100
销售百分率 60％ 75％ 83％ 95％
A．160元 B．140元 C．120元 D．100元
2.已知一组数据4，x，5，y，7,9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_______.
二、温故知新
1．在前面你已经学过哪些统计量，它们各有何特点？
2．如何求一组数据的平均数？平均数在反映数据的整体水平有什么局限性？
三、预习导航（预习教材第124-126页，标出你认为重要的关键词）
1．刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对陈楷和李东两名学生进行5次投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．
队??员 第?1次 第2次 第3次 第4次 第5次
陈楷 7 8 8 8 9
李东 10 6 10 6 8
(1)请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数；
(2)用复式折线统计图表示上述数据；
(3)若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
2．自主归纳：
(1)统计中，常用 来衡量一组数据的波动大小；
(2)设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用它们的平均数，表示这组数据的方差，即用s2= 来表示．
四、自学自测
1．计算下列各组数据的方差：
(1)6 6 6 6 6 6； (2)5 5 6 6 7 7．
2．五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____．
五、我的疑惑(反思)
_________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：方差的意义
问题1：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子． 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表．根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
(1)甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明．
(2)如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
①请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况．
②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．
要点归纳
1.方差用来衡量一组数据的 (即这组数据偏离 的大小)．
2.方差越大，数据的波动 ；方差越小，数据的波动 ．
二、精讲点拨
问题2：在某次篮球联赛中,最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军, 赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操,参加表演的女同学的身高(单位:cm)分别是：
九班 163 163 165 165 165 166 166 167
三班 163 164 164 164 165 166 167 167
哪班啦啦操队女同学的身高更整齐?
(1)你是如何理解“整齐”的？
(2)从数据上看，你是如何判断那个队更整齐？
问题3：已知数据x1、x2、…、xn的平均数为，方差为s2．
(1)x1+b、x2+b、…、xn+b的平均数为 ，方差为 ；
(2)ax1、ax2、…、axn的平均数为 ，方差为 ；
(3)ax1+b、ax2+b、…、axn+b的平均数为 ，方差为 ．
三、变式训练
1.计算并比较两组数据的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的．
(1)3 3 4 6 8 9 9； (2)3 3 3 6 9 9 9．
2．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大．上述结论正确的有 ．
3．如图是甲、乙两射击运动员的10 次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10 次射击成绩的方差哪个大？谁的成绩更稳定？
四、课堂小结
方差
方差的概念 设有n个数据及它们的平均数，则的方差为、s2= ．
方差的意义 (1)方差用来衡量一组数据的
(即这组数据偏离 的大小)．
(2)方差越大，数据的波动 ；
方差越小，数据的波动 ．
★1．样本方差的作用是( )
A．表示总体的平均水平
B．表示样本的平均水平
C．准确表示总体的波动大小
D．表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小
★2．人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，, ，则成绩较为稳定的班级是( )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
★3.在样本方差的计算公式 中， 数字10 表示___________ ，数字20表示 _______．
★4.小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差为 ．
★★5．若样本的平均数是10，方差是3，则样本2+1,2+1，…，2+1的平均数和方差分别为___________．
★★6．为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩(单位：分)如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1)填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84
84
0.3
乙 84 84
34
(2)利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价．
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测：
1.试题分析：本题考查的是统计的应用，分别求出每种皮鞋的销售额，再比较即可．
详解：设每种皮鞋都有a双．四种皮鞋的销售额分别为：
；
；
；
．
可见应多购140元的皮鞋．
故选B．
2.试题分析：先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
详解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是×（5+6）=5.5，
故答案为5.5．
自学自测
1．试题分析：根据方差公式进行计算即可.
详解：（1）=6，
∴=[(6-6)+(6-6)+(6-6)+(6-6)+(6-6)+(6-6)]=×0=0.
（2）=6，
∴=[(5-6)+(5-6)+(6-6)+(6-6)+(7-6)+(7-6)]=×4=.
2．试题分析：先根据平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算．
详解：由题意知：a=4×5﹣（1+3+5+8）=3，
这五个数的方差S2=[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（8﹣4）2]=5.6．
故答案为3；5.6．
变式训练
1.试题分析：先根据平均数的公式计算出两组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
详解：（1）=6，
∴=[(3-6)+(3-6)+(4-6)+(6-6)+(8-6)+(9-6)+(9-6)]=×44=.
（2）=6，
∴=[(3-6)+(3-6)+(3-6)+(6-6)+(9-6)+(9-6)+(9-6)]=×54=.
通过计算可以看出，两组数据的平均数相同，（1）组的方差小于（2）组的方差，说明（1）组数据比（2）组数据波动小.
试题分析：根据表格中中位数、方差、平均数的数据分别对几个结论进行判断即可.
详解：∵甲=乙，∴①正确；
∵乙的中位数为151，甲的中位数为149，∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数②正确；
∵S2甲＞S2乙，∴甲班成绩的波动比乙班大，③正确；
故正确的结论是①②③．
3．试题分析：根据折线统计图提供的数据，先算出甲乙成绩的方差，然后进行比较即可.
详解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，
乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+（10-8.5）2+5×（9-8.5）2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]÷10=1.35
∴S2甲＜S2乙．甲运动员的成绩更稳定些.
星级达标：
1．试题分析：根据样本方差的意义即可做出判断.
详解：一组数据的方差反映这组数据的波动情况，从而能估计总体的波动大小.
故选答案D.
2．试题分析：∵，说明甲乙的平均成绩相同；∵, ，s甲2＞s乙2，∴乙班的成绩较为稳定．
详解：∵, ，s甲2＞s乙2，∴乙班的成绩较为稳定．
故选B．
3.试题分析：方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．
详解：由于s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．
故答案为：样本容量，平均数．
4.试题分析：根据折线统计图提供的数据，先算出小凯成绩的平均数，然后代入方差公式计算即可.
详解：由折线图可知，小凯的成绩为55，70，65，75，85.
=（55+70+65+75+85）÷5=70；
∴方差S2=[（55-70）2+（70-70）2+（65-70）2+（75-70）2+（85-70）2]=100.
故答案为：100.
5．试题分析：利用平均数与方差的性质分别分析得出即可．
详解：∵样本x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为3，
∴（2x1+1），（2x2+1），（2x3+1），…，（2xn+1）的平均数为2×10+1=21，方差为22×3=12．
故答案为21和12.
6．试题分析：根据中位数的定义找出最中间两个数的平均数，根据众数的定义找出出现次数最多的数，频率是用85分以上的频数除以总数即可．
详解：（1）
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 84 14.4 0.3
乙 84 84 90 34 0.5
(2)甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从两人成绩的众数看，乙的成绩较好.
甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定.
甲成绩、乙成绩的中位数、平均数都是84，但从85分以上的频率看，乙的成绩较好.