第9讲
平行四边形
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3.
能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【典型例题】（基础）
类型一、平行四边形的性质
1、如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=20°，求∠AED的度数．
举一反三：
【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
类型二、平行四边形的判定
2、如图，在?ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．
举一反三：
【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
3、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．
类型三、平行四边形与面积有关的计算
4、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及ABCD的面积．
．
举一反三：
【变式】如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，
求该平行四边形的面积.
【典型例题】（提高）
类型一、平行四边形的性质
1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
举一反三：
【变式】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
类型二、平行四边形的判定
2、如图所示，ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF．
求证：AC与EF互相平分．
举一反三：
【变式】以锐角△ABC的边AC、BC向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
3、如图，口ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是___________．
类型三、构造平行四边形，应用性质
4、在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
【巩固练习】
一.选择题
1．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是(
)．
A.8和16
B.10和16
C.8和14
D.8和12
2．如图，口ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为(
)．
A.5
B.6
C.8
D.12
4.
如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（
）个平行四边形.
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
5.
如图，在ABCD中，
对角线AC、BD相交于点O.
E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形(
).
A.
AE＝CF
B.DE＝BF
C.
D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二.填空题
7.
如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为
．
8.
在ABCD中,
∠A的平分线分BC成4和3的两条线段,
则ABCD的周长为_______________.
9.如图，在ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________.
10.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为
．
11．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，，则△CEF的周长为______．
12.如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
三.解答题
13.已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．
14.如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．
图1
图2
15.如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
【课后作业】
【巩固练习】
一.选择题
1.
如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（
）
A.AC⊥BD
B.AB＝CD
C.
BO＝OD
D.∠BAD＝∠BCD
2.
四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有(
)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
3.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13
B．17
C．20
D．26
5.
平行四边形的一边长是10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A.4和6 B.6和8 C.8和10 D.10和12
6.
如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
二.填空题
7.
如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24
，BC＝18
，△AOB的周长为54
，则△AOD的周长为________．
8.
已知ABCD，如图所示，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，ABCD的面积为________．
9．如图，E、F是?ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：
，使四边形AECF是平行四边形．
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC边上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是
．
11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．
12.如图，在ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是________.
三.解答题
13．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．
14.如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：
（1）△BEG≌△DFH；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.第9讲
平行四边形
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3.
能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【典型例题】（基础）
类型一、平行四边形的性质
1、如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=20°，求∠AED的度数．
【思路点拨】（1）先证明∠B=∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；（2）证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE=60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．
【答案与解析】
解：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD．
（2）∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB=∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=80°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=80°．
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
举一反三：
【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明：猜想：BE
∥DF且BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CB＝AD，CB∥AD
∴∠BCE＝∠DAF
在△BCE和△DAF中
∴△BCE≌△DAF
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA
∴BE∥DF
即
BE
∥DF且BE＝DF.
类型二、平行四边形的判定
2、如图，在?ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．
【思路点拨】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，证出∠BAE=∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME=FN，证出四边形MENF是平行四边形，即可得出结论∴FM=EN．
【答案与解析】
解：FM=EN，FM∥EN；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠DCB，
∴∠BAE=∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEB=∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点M、N分别为AE、CF的中点，
∴ME∥FN，ME=FN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴FM=EN，FM∥EN．
【总结升华】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】
证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠F，
∵CE=CF，
∴∠F=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
3、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，
即DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意熟练掌握定理的应用．
类型三、平行四边形与面积有关的计算
4、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及ABCD的面积．
【思路点拨】在四边形AECF中，由已知条件∠EAF＝60°，可求出∠C＝120°，进而求出∠B＝60°．由于BE＝2，在Rt△ABE中，可求出AB．同理，在Rt△AFD中求出AD．要求ABCD的面积，需求出AE或AF的长．
【答案与解析】
解：在四边形AECF中，∵∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴
∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵
AB∥CD，
∴
∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴
∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2，
∴
AB＝4，CD＝AB＝4．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6，∴
BC＝AD＝6，
∴
()．
∴
CD·AF＝＝()．
【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外，还应用了“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质．
举一反三：
【变式】如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，
求该平行四边形的面积.
【答案】
解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝54
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
【典型例题】（提高）
类型一、平行四边形的性质
1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
【答案与解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴
AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
∵
□ABCD的周长是60．
∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
又∵△
AOB的周长比△BOC的周长大8．
即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8，
②
由①②有
解得
∴AB，BC的长分别是19和11．
【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
举一反三：
【变式】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵BE、AE分别平分∠ABC和∠BAD，
∴∠ABE+∠BAE=×180°=90°，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE；
（2）∵AE⊥BE
∴S△ABE=AE×BE÷2=3，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABE=6．
类型二、平行四边形的判定
2、如图所示，ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF．
求证：AC与EF互相平分．
【思路点拨】要证明AC、EF互相平分，只需证明AC、EF是某一平行四边形的两条对角线即可，这样，本题就转化为证明四边形AECF是平行四边形的问题了．
【答案与解析】
证明：方法一：连接AF、CE，ABCD中，AB＝DC，AE∥CF．
∴
∠CFE＝∠AEF．
又∵
DF＝BE，∴
CF＝AE，
而EF＝FE，∴
△CFE≌△AEF，
∴
∠CEF＝∠AFE，∴
CE∥AF，
∴
四边形AECF是平行四边形．
即AC与EF互相平分．
方法二：连接AF、CE，在ABCD中，DCAB．
∵
DF＝BE，∴
CF＝AE，∴
CFAE，
∴
四边形AECF为平行四边形，即AC、EF互相平分．
【总结升华】(1)本题也可直接证△COF≌△AOE，利用其他的判定方法来证，在本题中，证法二相对来说比较简单．(2)由于平行四边形的判定方法较多，所以经常出现可用多种方法证明，此时应选择简单的方法．
举一反三：
【变式】以锐角△ABC的边AC、BC向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
【答案】
证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴
∠DAF＝∠CAB．
又∵
AD＝AC，AF＝AB．
∴
△ADF≌△ACB(SAS)．
∴
DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴
EF＝AC＝DC．
∴
四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3、如图，口ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是___________．
【思路点拨】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长．
【答案】．
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
设CF=x，则CE=2x，
勾股定理得，x+3=（2x），解得x=，
∴CE=2，
∴AB=，
故答案为：．
【总结升华】本题考查了平行线性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．
类型三、构造平行四边形，应用性质
4、在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
【答案与解析】
解：延长FP交AB于G,
延长DP交BC于H，
∵四边形AGPD，EBHP为平行四边形，
∴PD＝AG，PH＝BE.ΔGEP，ΔPHF为等边三角形
∴PF＝PH＝BE,
PE＝GE,
∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.
【总结升华】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法.
【巩固练习】
一.选择题
1．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是(
)．
A.8和16
B.10和16
C.8和14
D.8和12
2．如图，口ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为(
)．
A.5
B.6
C.8
D.12
4.
如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（
）个平行四边形.
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
5.
如图，在ABCD中，
对角线AC、BD相交于点O.
E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形(
).
A.
AE＝CF
B.DE＝BF
C.
D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二.填空题
7.
如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为
．
8.
在ABCD中,
∠A的平分线分BC成4和3的两条线段,
则ABCD的周长为_______________.
9.如图，在ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________.
10.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为
．
11．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，，则△CEF的周长为______．
12.如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
三.解答题
13.已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．
14.如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．
图1
图2
15.如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
【答案与解析】
一.选择题
1．【答案】B；
【解析】设对角线长为，需满足，只有B选项符合题意.
2．【答案】C；
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵?ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故选：C．
3．【答案】D；
【解析】过C点作CF垂直于BD的延长线，CF就是两短边间的距离，如图所示，∠C＝30°，CF＝.
4.【答案】C；
【解析】在ABCD中，∵
EF∥AB，GH∥AD．∴
EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC．∴
除ABCD外，还有8个平行四边形：AGHD、BGHC、ABFE、DEFC、DEOH、HOFC、AEOG、OGBF．即图中有9个平行四边形．
5.【答案】B；
【解析】C选项和D选项均可证明△ADE≌△CBF，从而得到AE＝CF，EO＝FO，BO＝DO，所以可证四边形DEBF是平行四边形.
6.【答案】B；
【解析】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，①③④可以，故选B．
二.填空题
7.【答案】6；
【解析】易证△AEF≌△DCF，所以AF＝DF，由CF平分∠BCD，AD∥BC可证AB＝DC＝DF＝3，所以BC＝AD＝6.
8.【答案】20或22；
【解析】由题意，AB可能是4，也可能是3，故周长为20或22.
9.【答案】；
【解析】由题意，平行四边形的高为，
.
10.【答案】2cm或8cm；
【解析】解：当M在b下方时，距离为5﹣3=2cm；
当M在a、b之间时，距离为5+3=8cm．
故答案为：2cm或8cm.
11．【答案】7；
【解析】可证△ABE与△CEF均为等腰三角形，AB＝BE＝6，CE＝CF＝9－6＝3，由勾股定理算得AG＝EG＝2，所以EF＝AF－AE＝5－4＝1，△CEF的周长为7.
12.【答案】432；
【解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC＝FD，EH＝BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积FD?BD＝24×18＝432．
二.解答题
13.【解析】
证明：连接BD交AC与O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵AP=CQ，
∴AP+AO=CQ+CO，
即PO=QO，
∴四边形PBQD是平行四边形．
14.【解析】
解：
(1)DE＋DF＝AB．
理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF是平行四边形，
所以DF＝AE．
又因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C．
因为DE∥AF，所以∠C＝∠EDB．
所以∠B＝∠EDB．所以△BDE是等腰三角形，所以BE＝DE，
所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB．
(2)若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB．
理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以四边形AFDE是平行四边形．
所以DF＝AE，DE＝AF．
因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠ACB．
又因为∠ACB＝∠FCD，所以∠B＝∠FCD．
又因为AB∥DF，所以∠B＝∠FDC．所以∠FCD＝∠FDC，所以DF＝FC，
所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB．
15.【解析】
证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=EC=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF．
（2）四边形AECD的形状是平行四边形，
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
∵EC=CF，
∴AD∥EC，AD=CE，
∴四边形AECD是平行四边形．
【课后作业】
【巩固练习】
一.选择题
1.
如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（
）
A.AC⊥BD
B.AB＝CD
C.
BO＝OD
D.∠BAD＝∠BCD
2.
四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有(
)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
3.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13
B．17
C．20
D．26
5.
平行四边形的一边长是10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A.4和6 B.6和8 C.8和10 D.10和12
6.
如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
二.填空题
7.
如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24
，BC＝18
，△AOB的周长为54
，则△AOD的周长为________．
8.
已知ABCD，如图所示，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，ABCD的面积为________．
9．如图，E、F是?ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：
，使四边形AECF是平行四边形．
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC边上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是
．
11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．
12.如图，在ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是________.
三.解答题
13．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．
14.如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：
（1）△BEG≌△DFH；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A；
2.【答案】C；
【解析】①②③能判定平行四边形.
3.【答案】C；
【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，
∵DP∥QR，DQ∥PR，
∴四边形PDQR为平行四边形，
同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，
故D、E、F三点为满足条件的M点，
故选C．
4.【答案】B；
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B．
5.【答案】D；
【解析】设两条对角线的长为.所以,,所以选D.
6.【答案】C；
【解析】因为∠DAE＝∠BAE，∠BAE＝∠DEA，所以AD＝DE＝BC＝3，EC＝DC－DE＝5－3＝2.
二.填空题
7.【答案】48；
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OD＝OB，AD＝BC＝18cm．又因为△AOB的周长为54，所以OA＋OB＋AB＝54，因为AB＝24，所以OA＋OB＝54－24＝30()，所以OA＋OD＝30()，所以OA＋OD＋AD＝30＋18＝48()．即△AOD的周长为48．
8.【答案】40；
【解析】过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∠B＝30°，AB＝8，∴AH＝AB＝4()．∴BC·AH＝10×4＝40()．
9.【答案】BE=DF；
【解析】解：添加的条件是BE=DF.
理由如下：
连接AC交BD于O，
∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：BE=DF．
10．【答案】10；
【解析】解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C，
由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，
∴FD=FB，
同理，得DE=EC．
∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE
=AF+FB+AE+EC
=AB+AC
=5+5=10．
故答案为10．
11．【答案】平行四边形；
12.【答案】45°；
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数．
三.解答题
13.【解析】
解：沿中位线将三角形分割开，将得到的小三角形绕AC的中点旋转180度再与梯形拼接即可，如图所示：
14.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（SAS）；
（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
15.【解析】
解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2
在Rt△CDE中，由勾股定理．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝．
在Rt△ABC中，由勾股定理．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC＝4
∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋BE＋BA＝10＋.
