第11讲
梯形
【学习目标】
1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．
2．掌握等腰梯形的性质和判定．
3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．
4.
熟练运用所学的知识解决梯形问题．
5.
掌握三角形，梯形的中位线定理.
【要点梳理】
知识点一、梯形的概念
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.
在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.
要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.
（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.
（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.
知识点二、等腰梯形的定义及性质
1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.
2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.
（2）等腰梯形的两条对角线相等.
要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.
（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.
（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.
知识点三、等腰梯形的判定
1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.
2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.
知识点四、辅助线
梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：
方法
作法
图形
目的
平
移
平移一腰
过一顶点作一腰的平行线
分解成一个平行四边形和一个三角形
过一腰中点作另一腰的平行线
构造出一个平行四边形和一对全等的三角形
平移对角线
过一顶点作一条对角线的平行线
构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形
作高
过一底边的端点作另一底边的垂线
构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等
延
长
延长两腰
延长梯形的两腰使其交于一点
构成两个形状相同的三角形
延长顶点和一腰中点的连线
连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交
构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换
知识点五、三角形、梯形的中位线
联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
【典型例题】（基础）
类型一、梯形的计算
1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.
求B的度数及AC的长.
【答案与解析】
解：过A点作AE∥DC交BC于点E．
∵
AD∥BC，
∴
四边形AECD是平行四边形．
∴
AD＝EC，AE＝DC．
∵
AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，
∴
AE＝BE＝EC＝AB．
可证
△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．
∴
∠BAC＝90°，∠B＝60°．
在Rt△ABC中，．
∴
∠B＝60°，．
【总结升华】平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形.
举一反三：
【变式】如图所示，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】
证明：(1)∵
AD∥BC，
∴
∠ADB＝∠EBC．
又∵
CE⊥BD，∠A＝90°，
∴
∠A＝∠CEB．
在△ABD和△ECB中，
∴
△ABD≌△ECB．
(2)∵
∠DBC＝50°，BC＝BD，∴
∠BCD＝65°．
又∵
∠BEC＝90°，∴
∠BCE＝40°．
∴
∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25°．
2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积．
【思路点拨】题目中有对角线互相垂直的条件，可通过平行移动对角线的方法，将两条对角线集中到一个直角三角形中，利用这个条件求出高．
【答案与解析】
解：如图所示，过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，
∴
四边形ACFD为平行四边形，∴
DF＝AC，CF＝AD＝4．
∵
AC⊥BD，AC∥DF，
∴
∠BDF＝∠BOC＝90°．
∵
ABCD是等腰梯形
∴
AC＝BD，∴
BD＝DF．
∴
BF＝BC＋CF＝14，∴
DE＝BF＝7．
∴
．
【总结升华】作对角线的平行线（平移对角线），将上底平移与下底拼接在一起构造两底之和，把梯形转化成平行四边形是常见的辅助线方法．
举一反三：
【变式】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合；
（1）求证；四边形AMCD为菱形；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）当AB=4时，求梯形ABCD的面积．
【答案】
解：（1）如（1）题图，连接MC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠MCA，
∴∠DAC=∠MCA，
∴AD∥MC，
∴四边形AMCD是平行四边形，
∴AM=CD，
∵△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合，
∴DC=MC，
∴AM=MC，
∴?AMCD是菱形；
（2）由（1）证得AM=CM
∵点M是AB的中点，
∴AM=BM，
∴AM=MC=BM，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；
（3）如（2）题图，由（1）得四边形AMCD是平行四边形，
∴AD=MC，
∵AD=BC，
∴MC=BC，
∴△BCM是等边三角形，
∵AB=4，
∴BC=BM=AB=2，
过点C作CE⊥MB，垂足为E，
则BE=MB=1，
由勾股定理得，CE===，
∴梯形ABCD的面积=（2+4）×=3．
类型二、梯形的证明
3、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，求证：四边形ADEF为等腰梯形．
【思路点拨】先证明四边形ADEF为梯形，再通过证对角线相等证明四边形ADEF为等腰梯形.
【答案与解析】
解：∵AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
又点E、F分别是对角线AC、BD的中点，
∴DF=AE，
又AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点
∴AF⊥BD，DE⊥AC，
∴△ADF≌△DAE，
∴AF=DE，∠DAE=∠ADF，
在△AFE和△DEF中，
∴△AFE≌△DEF（SSS）
∴∠AEF=∠DFE，
设对角线相交于O；
∠AOD=180°-2∠DAE，∠EOF=180°-2∠AEF，且∠AOD=∠EOF，
∴∠DAE=∠AEF，
∴EF∥AD，
又AF与DE不平行，
∴四边形ADEF为梯形，
又DF=AE，
∴四边形ADEF为等腰梯形．
【总结升华】本题考查了等腰梯形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握并灵活运用等腰梯形的判定方法．
举一反三：
【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．
【答案】
证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，
∴∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．
∵AE、DF分别为∠BAD与∠CDA的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠CDF＝∠CDA．
∴∠BAE＝∠CDF．
∴△ABE≌△DCF．（ASA）
∴BE＝CF．
∴BE－BC＝CF－BC．
即CE＝BF．
4、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝5，BD＝12，两底AD、BC的和为13．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求梯形ABCD的面积．
【答案与解析】
证明：（1）过D作DE∥AC交BC的延长线于E点，
又∵
AD∥BC，
∴
四边形ACED为平行四边形．
∴
DE＝AC＝5，CE＝AD．
在△BDE中，BD＝12，DE＝5，BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝13，
且，即DE＋BD＝BE，∴
△BDE为直角三角形，
∴
∠BDE＝90°，
则DE⊥BD，又DE∥AC，∴
AC⊥BD．
（2）
．
【总结升华】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度乘积的一半．（2）通过辅助线将已知数据转化在同一个三角形内，然后由勾股定理的逆定理得到垂直关系，这是本题的关键．
类型三、三角形、梯形的中位线
5、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（
）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐变小
C．线段EF的长不变
D．无法确定
【答案】C；
【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线,
则，而AR长不变，故EF大小不变.
【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．
6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，我们把线段EF称为梯形ABCD的中位线，通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【思路点拨】连接DE并延长交CB的延长线于H，证明△DAE≌△HBE，得到DE=EH，AD=BH，根据三角形中位线定理证明即可．
【答案与解析】
解：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）
证明如下：连接DE并延长交CB的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠ABH，
在△DAE和△HBE中，
，
∴△DAE≌△HBE，
∴DE=EH，AD=BH，
∵DE=EH，DF=FC，
∴EF∥BC，EF=HC，
∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
【总结升华】本题考查的是梯形中位线定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和三角形的中位线定理是解题的关键．
【典型例题】（提高）
类型一、梯形的计算
1、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，AC＝3，BD＝4，求梯形ABCD的面积．
【思路点拨】欲求梯形ABCD的面积，已知AD＝1，BC＝4，只要求出梯形ABCD的高，过D作DE∥AC交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，从而AD＝CE，即得，故只要求出即可．
【答案与解析】
解：过点D作DE∥AC，交BC延长线于E，作DF⊥BC于F，
∵
AD∥BC，
∴
四边形ACED是平行四边形．
∴
DE＝AC＝3，CE＝AD＝1．
∴
BE＝BC＋CE＝4＋1＝5．
∵
BD2
＋DE2
＝42
＋
32
＝25，BE2
＝25，即BD2
＋
DE2
＝BE2．
∴
△BDE为直角三角形，∠BDE＝90°．
∴
．
【总结升华】已知梯形两底求梯形面积的方法，通常是过梯形上底的一个顶点作对角线的平行线，把求梯形面积转化成求等面积的三角形面积．
举一反三：
【变式】如图所示，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝CD＝3，BC＝4，AB＝8，求梯形ABCD的面积．
【答案】
解：过点C作CM∥AD交AB于M，作CN⊥AB于N．
∵
AD＝CD＝3，CD∥AB
∴
四边形ADCM是菱形，∴
CM＝AM＝AD＝3．
∵
AB＝8，∴
BM＝5．
∵
CM2＋BC2＝32＋42＝25，BM2＝25．
即CM2
＋
BC2＝BM2，∴
∠BCM＝90°．
∵
，
∴
，
解得：CN＝，
∴
．
类型二、梯形的证明
2、已知梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90°，EF是两底中点的连线，试说明．
【思路点拨】由∠B+∠C＝90°，可延长BA、CD交于一点G，构成直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出结论，也可以通过平移两腰，把∠B、∠C移到同一个直角三角形中．
【答案与解析】
解：如图所示，延长BA、CD交于G，连接GE、GF．
∵
∠B＋∠C＝90°，∴
∠BGC＝90°．
∵
E、F分别为AD、BC的中点，
∴
GE＝AE＝AD，FG＝BF＝BC
∴
∠AGE＝∠1，∠BGF＝∠B．
∵
AD∥BC，∴
∠1＝∠B，
∴
∠AGE＝∠BGF．
∴
GE、GF重合，
∴
EF＝GF－GE＝(BC－AD)．
【总结升华】本题是根据∠B+∠C＝90°，构造一个直角三角形，应用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”使问题得到解决．
3、
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，M是AB的中点，DM平分∠ADC，CM平分∠BCD．
求证：(1)；(2)DC＝AD＋BC．
【答案与解析】
证明：方法一：(1)如图①所示，延长DM、CB交于点E．
∵
AD∥BC，
∴
∠DAM＝∠EBM，∠ADM＝∠BEM．
又∵
AM＝MB，
∴
△ADM≌△BEM，
∴
DM＝EM，∴
，，
∴
．
(2)∵
DM平分∠ADC，CM平分∠BCD，AD∥BC，
∴
∠MDC＋∠MCD＝90°，
∴
∠CMD＝90°，而DM＝EM，
∴
CD＝CE＝CB＋BE．
又由(1)得△ADM≌△BEM，
∴
AD＝EB，即CD＝AD＋CB．
方法二：(1)如图②所示，在DC上取DE＝AD，连接ME．
∵
AD∥BC，
∴
∠BCD＋∠ADC＝180°．
又∵
DM平分∠ADC，CM平分∠BCD，
∴
∠MDC＋∠MCD＝90°，
∴
∠DMC＝90°，
∴
∠1＋∠3＝90°．∠2＋∠4＝90°．
∵
DM＝DM，∠ADM＝∠EDM，
∴
△ADM≌△EMD，
∴
∠1＝∠2，∠3＝∠4．
又CM＝CM，∠MCB＝∠MCE，
∴
△BMC≌△EMC，∴
．
(2)由(1)得△ADM≌△EDM，△BMC≌△EMC．
∴
AD＝DE，BC＝CE，
∴
DC＝DE＋CE＝AD＋BC
【总结升华】(1)由梯形的一腰的两个顶点与另一腰中点构成的三角形面积为梯形面积的一半．(2)从条件中角平分线和结论DC＝AD＋BC可联想截长补短法解决问题．
举一反三：
【变式】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．
（1）当CE=1时，求△BCE的面积；
（2）求证：BD=EF+CE．
【答案】（1）解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，
∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，
∴；
（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，
∵∠DAB=60°，DC∥AB，AD=DC=BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，∠CDB=∠CBD=∠DBA=30°，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDB=∠F=∠EMD=90°，
∴四边形FDME是矩形，
∴FE=DM，
在△BME和△ECB中
，
∴△BME≌△ECB（AAS），
∴BM=CE，
∴BD=DM+BM=EF+CE．
类型三、三角形、梯形的中位线
4、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．
【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．
【答案与解析】
解：延长BD交AC于点N．
∵
AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴
∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵
AD为公共边，∴
△ABD≌△AND(ASA)
∴
AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵
AC＝18，∴
NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵
D、M分别为BN、BC的中点，
∴
DM＝CN＝＝3．
【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．
举一反三：
【变式】如图，四边形ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+BC的关系是(
)．
A．2EF=AD+BC
B．2EF＞AD+BC
C．2EF＜AD+BC
D．不确定
【答案】C；
解：∵
E、F分别是DC、AB的中点，G是AC的中点，
∴
EG=AD，FG=BC，
在△EFG中，EF＜EG+FG，
∴EF＜（AD+BC）
∴2EF＜AD+BC．
5、梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF并延长并BC延长线于点G．
求证：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
【思路点拨】先证明△ADF≌△GCF得到AD=CG，再证明EF为△ABG的中位线，则EF∥BG，EF=BG，易得EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
【答案与解析】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠GCF，∠DAF=∠CGF，
∵F为CD的中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△GCF中，
，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AD=CG，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABG的中位线，
∴EF∥BG，EF=BG，
∴EF∥AD∥BC，EF=（BC+CG）=（AD+BC）．
【总结升华】本题考查了梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了三角形中位线性质．
【巩固练习】
一.选择题
1.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2，则梯形ABCD的面积是(
)
A.
B.6
C.
D.12
2．如图，在ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E、F分别是AB，CD的中点，DM与EF教育点N，则NF的长等于（ ）
A．0.5
B．1
C．
D．2
3．如图，平行四边形ABCD是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是(
)．
A.
1∶2
B.
2∶3
C.
3∶5
D.
4∶7
4．梯形ABCD中，AD∥BC，若对角线AC⊥BD，且AC＝5，BD＝12，则梯形的面积等于(
)
A.30
B.60c
C.90
D.169c
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：
①EF∥AD；②；③△OGH是等腰三角形；④BG＝DG；⑤EG＝HF．
其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6.
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG的周长是（
）
A.8
B.9
C.10
D.12
二.填空题
7.
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝CB，对角线AC⊥BD，垂足为O.若CD=3，AB＝5，则AC的长为________.
8.（嘉定区二模）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD．如果AD=2，BD=3，∠DBC=45°，那么梯形ABCD的面积为
．
9.
如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN＝6，则BC＝_____.
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为______．
11.在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝7，若E为DC的中点，射线AE交BC的延长线于F点，则BF＝______．
12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝，∠B＝45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于_________.
三.解答题
13．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E.
(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
14．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．
(1)求证：四边形MENF是菱形；
(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．
15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=3cm，CD=4cm，动点P从点A出发，先以1cm/s的速度沿A→B→C运动，然后以2cm/s的速度沿C→D运动．设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得△BPD的面积S=3cm2？
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A；
【解析】作DE⊥AC于E，由题意，∠DAC＝∠DCA＝30°，DE＝1，AE＝CE＝，AD＝DC＝2，作双高，在Rt△ADF中，DF＝，AF＝1＝BG，所以下底AB＝1＋2＋1＝4，面积＝.
2.【答案】B；
【解析】解：过点M作MG∥AB交AD于点G，
∵AD∥BC，AB∥MG，
∴四边形ABMG是平行四边形．
∴∠AGM=∠ABM，
∵AM是平分线，
∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG
∴△AGM≌△MAB，
∴AB=AG=3，
∴四边形ABMG是菱形，
∴MC=2，
∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，
∴NF=MC=1.
3.【答案】A；
【解析】等腰梯形的上底长等于腰长，可推算出底角＝60°，上底长与下底长的比是1:2.
4．【答案】A；
【解析】平移对角线，所得三角形面积就是梯形的面积，三角形面积.
5.【答案】D；
【解析】根据梯形的中位线推出①，求出△ABD和△ACD的面积，都减去△AOD的面积，即可判断②；只有等腰梯形ABCD，才能得出∠OBC＝∠OCB，再根据平行线性质即可判断③；根据三角形中位线推论可得出G、H分别为BD和AC中点，即可判断④；根据三角形的中位线得出EH＝FG，即可得出EG＝FH，即可判断⑤．
6.【答案】B；
【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝两底的差，EG＋FG＝两腰的和，故△EFG的周长是9.
二.填空题
7.【答案】；
【解析】过C点作CE∥BD，交AB的延长线于E，则∠ACE＝90°，AE＝AB+BE=8，又AC=BD=CE，∴AC=
8.【答案】9；
【解析】解：延长BC，过D作DE∥AC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=DB=3，AC=DE，
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
∵∠DBC=45°，
∴∠E=45°，
∴∠BDE=90°，
∴S梯形ABCD=S△DEB=×3×3=9，
故答案为：9．
9.【答案】8；
【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC∵M、N分别是BD、CE的中点，∴由梯形的中位线定理得：MN＝（DE+BC）＝×BC＝6，∴BC＝8．
10．【答案】；
【解析】连接BD，过D作DE⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝，DE＝，BE＝1＋＝，所以BD＝，因为B是C关于MN的对称点，所以BD就是PC＋PD的最小值.
11．【答案】12；
【解析】△ADE≌△FCE，AD＝CF，所以BF＝5＋7＝12.
12.【答案】或2或；
【解析】当AB＝AE时，CF＝，当AE＝BE时，CF＝，当AB＝AE时，CF＝2.
三.解答题
13．【解析】
解：（1）∵AE∥BD，
∴∠E＝∠BDC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠BDC．
∵∠C＝2∠E，
∴∠ADC＝∠BCD．
∴梯形ABCD是等腰梯形（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）．
（2）由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5，
∵在△BCD中，∠C＝60°，∠BDC＝30°，
∴∠DBC＝90°．
∴DC＝2BC＝10．
14．【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D．
∵M为AD的中点，
∴AM＝DM．
∴△ABM≌△DCM．
∴BM＝CM．
∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点，
∴EN、FN分别为△BMC的中位线，
∴EN＝MC，FN＝MB，且ME＝BE＝MB，MF＝FC＝MC．
∴EN＝FN＝FM＝EM．
∴四边形ENFM是菱形．
（2）解：结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
理由：连接MN，
∵BM＝CM，BN＝CN，
∴MN⊥BC．
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD．
∴MN是梯形ABCD的高．
又∵四边形MENF是正方形，
∴△BMC为直角三角形．
又∵N是BC的中点，
∴MN＝BC．
15．【解析】
解：①当点P在AB上时，点P的速度为1cm/s，0＜t＜3，如图①所示：
，
则BP=AB﹣AP=3﹣t，
S△BPD=BP×CB=﹣=3，
解得：t=1．
②当点P在BC上时，点P的速度为1cm/s，3＜t≤6，如图②所示：
，
则BP=t﹣3，
S△BPD=BP×DC=2t﹣6=3，
解得：t=4.5．
③当点P在CD上时，点P的速度为2cm/s，6＜t＜8，如图③所示：
，
则DP=CD﹣CP=4﹣2（t﹣6）=16﹣2t，
S△BPD=DP×BC=24﹣3t=3，
解得：t=7．
综上可得：当t=1秒或4.5秒或7秒时，使得△BPD的面积S=3cm2．
【课后作业】
【巩固练习】
一.选择题
1.
某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H测量得对角线AC＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（
）
A.
40米
B.
30米
C.20米
D.10米
2.
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是(
)
?A．40°
B．45°
?
C．50°
D．60°
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E，若AD=3，BC=10，则CD的长是（ ）
A．7
B．10
C．13
D．14
4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为(
)．
A.4
B.6
C.
D.
5.
等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
6.
若一个等腰梯形的周长为30，腰长为6,
则它的中位线长为（
）
A.
12
B.
6
C.
18
D.
9
二.填空题
7.
顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________.
8.
在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝8，∠B＝60°，则AB＝_______．
9.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，点E、F、G分别是BD、AC、CD的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是
．
10．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______
11.下面图1的梯形符合_____________条件时，可以经过旋转和翻折成图案2．
12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是
．
三.解答题
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，BD=6，AC=BC=8，求证：AC⊥BD．
14.
如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，
BD平分∠ABC，∠A＝60°.过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结EF，求证：△DEF为等边三角形.
15.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠ADC＝105°，AD＝6，且AC⊥AB，求AB的长．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】四边形EFGH是边长为5米的菱形.
2.【答案】C；
【解析】由题意，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝25°，所以∠BAD＝∠ABC＝25°＋25°＝50°.
3．【答案】A；
【解析】DE∥AB，∠B=70°，
∴∠DCE=∠B=70°，
∠C=40°，则∠CDE=70°，∴CD=CE，
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形．
∴BE=AD=3，∴CD=CE=BC-BE=BC-AD=7.
4．【答案】B；
【解析】过D点作DE⊥AC于E，由题意，DE＝1，AC＝2AE＝，过A点作AF⊥BC于F，
AF＝，BC＝2CF＝2×3＝6.
5.【答案】B；
6.【答案】D；
【解析】等腰梯形的上底＋下底＝30－6－6＝18，它的中位线等于.
二.填空题
7.【答案】菱形；
8.【答案】2；
【解析】作双高，在Rt三角形中，解得高为，腰长为2.
9.【答案】9；
【解析】解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
又BE=DE，
∴△AEB≌△KED（AAS）
∴AE=EK，DK=AB，EF是△ACK的中位线，
∴EF=（DC-AB），
同理：EG=BC，FG=AD
EG+FG=（BC+AD）
又AD+BC=12，DC-AB=6，
∴△EFG的周长是6+3=9.
10．【答案】60°；
【解析】作双高，在Rt三角形中求得高为，另一直角边为2，所以∠B＝60°.
11.【答案】两腰相等且有一角为60度；
12.【答案】18°；
【解析】由题意，所以△PEF为等腰三角形，∠PFE＝∠PEF＝18°.
三.解答题
13．【解析】
证明：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，如图所示：
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD=2，DF=AC=8，DF∥AC，
∴BF=8+2=10，
∵BD2+DF2=62+82=100，BF2=102=100，
∴BD2+DF2=BF2，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD⊥DF，
∵DF∥AC，
∴AC⊥BD．
14.【解析】
证明：因为DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，
所以∠ABC＝∠A＝60°.
又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°
因为DC∥AB，所以∠BDC＝∠ABD＝30°，所以∠CBD＝∠CDB，
所以CB＝CD
因为CF⊥BD，所以F为BD中点，
又因为DE⊥AB，
所以DF＝BF＝EF
由∠ABD＝30°，得∠BDE＝60°，
所以△DEF为等边三角形.
15．【解析】
解：
过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED＝∠DEC＝90°.
∵
AC⊥AB，
∴
∠BAC＝90°.
∵
∠B＝60°,
∴
∠ACB＝30°.
∵
AD∥BC，
∴
∠DAC＝∠ACB＝30°.
∴
在Rt△ADE中，DE＝AD＝3，AE＝，∠ADE＝60°.
∵
∠ADC＝105°，∴
∠EDC＝45°.
∴
在Rt△CDE中，
CE＝DE＝3.
∴
AC＝AE＋CE＝.第11讲
梯形
【学习目标】
1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．
2．掌握等腰梯形的性质和判定．
3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．
4.
熟练运用所学的知识解决梯形问题．
5.
掌握三角形，梯形的中位线定理.
【要点梳理】
知识点一、梯形的概念
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.
在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.
要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.
（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.
（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.
知识点二、等腰梯形的定义及性质
1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.
2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.
（2）等腰梯形的两条对角线相等.
要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.
（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.
（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.
知识点三、等腰梯形的判定
1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.
2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.
知识点四、辅助线
梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：
方法
作法
图形
目的
平
移
平移一腰
过一顶点作一腰的平行线
分解成一个平行四边形和一个三角形
过一腰中点作另一腰的平行线
构造出一个平行四边形和一对全等的三角形
平移对角线
过一顶点作一条对角线的平行线
构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形
作高
过一底边的端点作另一底边的垂线
构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等
延
长
延长两腰
延长梯形的两腰使其交于一点
构成两个形状相同的三角形
延长顶点和一腰中点的连线
连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交
构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换
知识点五、三角形、梯形的中位线
联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
【典型例题】（基础）
类型一、梯形的计算
1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.
求B的度数及AC的长.
举一反三：
【变式】如图所示，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积．
举一反三：
【变式】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合；
（1）求证；四边形AMCD为菱形；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）当AB=4时，求梯形ABCD的面积．
类型二、梯形的证明
3、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，求证：四边形ADEF为等腰梯形．
举一反三：
【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．
4、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝5，BD＝12，两底AD、BC的和为13．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求梯形ABCD的面积．
类型三、三角形、梯形的中位线
5、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（
）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐变小
C．线段EF的长不变
D．无法确定
6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，我们把线段EF称为梯形ABCD的中位线，通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【典型例题】（提高）
类型一、梯形的计算
1、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，AC＝3，BD＝4，求梯形ABCD的面积．
举一反三：
【变式】如图所示，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝CD＝3，BC＝4，AB＝8，求梯形ABCD的面积．
类型二、梯形的证明
2、已知梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90°，EF是两底中点的连线，试说明．
3、
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，M是AB的中点，DM平分∠ADC，CM平分∠BCD．
求证：(1)；(2)DC＝AD＋BC．
举一反三：
【变式】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．
（1）当CE=1时，求△BCE的面积；
（2）求证：BD=EF+CE．
类型三、三角形、梯形的中位线
4、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．
举一反三：
【变式】如图，四边形ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+BC的关系是(
)．
A．2EF=AD+BC
B．2EF＞AD+BC
C．2EF＜AD+BC
D．不确定
5、梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF并延长并BC延长线于点G．
求证：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
【巩固练习】
一.选择题
1.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2，则梯形ABCD的面积是(
)
A.
B.6
C.
D.12
2．如图，在ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E、F分别是AB，CD的中点，DM与EF教育点N，则NF的长等于（ ）
A．0.5
B．1
C．
D．2
3．如图，平行四边形ABCD是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是(
)．
A.
1∶2
B.
2∶3
C.
3∶5
D.
4∶7
4．梯形ABCD中，AD∥BC，若对角线AC⊥BD，且AC＝5，BD＝12，则梯形的面积等于(
)
A.30
B.60c
C.90
D.169c
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：
①EF∥AD；②；③△OGH是等腰三角形；④BG＝DG；⑤EG＝HF．
其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6.
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG的周长是（
）
A.8
B.9
C.10
D.12
二.填空题
7.
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝CB，对角线AC⊥BD，垂足为O.若CD=3，AB＝5，则AC的长为________.
8.（嘉定区二模）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD．如果AD=2，BD=3，∠DBC=45°，那么梯形ABCD的面积为
．
9.
如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN＝6，则BC＝_____.
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为______．
11.在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝7，若E为DC的中点，射线AE交BC的延长线于F点，则BF＝______．
12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝，∠B＝45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于_________.
三.解答题
13．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E.
(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
14．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．
(1)求证：四边形MENF是菱形；
(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．
15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=3cm，CD=4cm，动点P从点A出发，先以1cm/s的速度沿A→B→C运动，然后以2cm/s的速度沿C→D运动．设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得△BPD的面积S=3cm2？
【课后作业】
【巩固练习】
一.选择题
1.
某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H测量得对角线AC＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（
）
A.
40米
B.
30米
C.20米
D.10米
2.
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是(
)
?A．40°
B．45°
?
C．50°
D．60°
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E，若AD=3，BC=10，则CD的长是（ ）
A．7
B．10
C．13
D．14
4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为(
)．
A.4
B.6
C.
D.
5.
等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
6.
若一个等腰梯形的周长为30，腰长为6,
则它的中位线长为（
）
A.
12
B.
6
C.
18
D.
9
二.填空题
7.
顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________.
8.
在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝8，∠B＝60°，则AB＝_______．
9.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，点E、F、G分别是BD、AC、CD的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是
．
10．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______
11.下面图1的梯形符合_____________条件时，可以经过旋转和翻折成图案2．
12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是
．
三.解答题
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，BD=6，AC=BC=8，求证：AC⊥BD．
14.
如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，
BD平分∠ABC，∠A＝60°.过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结EF，求证：△DEF为等边三角形.
15.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠ADC＝105°，AD＝6，且AC⊥AB，求AB的长．
