第10讲
特殊的平行四边形
【学习目标】
1.
理解矩形、菱形、正方形的概念.
2.
掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.
3.
了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.
【要点梳理】
要点一、矩形、菱形、正方形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形
叫做正方形.
要点二、矩形、菱形、正方形的性质
矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点三、矩形、菱形、正方形的判定
矩形的判定：1.
有三个角是直角的四边形是矩形.
2.
对角线相等的平行四边形是矩形.
3.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
菱形的判定：1.
四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，
正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.有一个内角是直角的菱形是正方形.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
【典型例题】（基础）
类型一、矩形的性质和判定
1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________．
【答案】8；
【解析】
解：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AO＝BO．
∵
∠AOD＝120°，∴
∠AOB＝60°．
又∵
AO＝BO，∴
△AOB是等边三角形，
∴
AC＝2AO＝2AB＝8．
【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用．
2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
（2）四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.
举一反三：
【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．
【答案】（1）证明：AE=BE=EP，
∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，
∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，2∠EAB+2∠EAP=180°，
∴∠EAB+∠EAP=90°，
∴∠BAD=90°，
∵平行四边形ABCD
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：如图连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=∠D=∠PMC=90°，
∴四边形PMCD为矩形，同理四边形ABMP为矩形，
∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，
∵BE=EP，EN∥PM，
∴BN=NM，
∴EN=PM=2，
∵·BF·EN=5，
∴BF=5，
∵EF⊥BP，BE=EP
∴PF=BF=5，
∴FM=3，
∴AP=BM=8，
∴BC=BP=，
∴CF=BC-BF=-5．
类型二、菱形的性质和判定
3、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．
求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．
【答案与解析】
解：(1)∵
四边形ABCD是菱形．
∴
AC⊥BD，AO＝AC，OB＝BD．
又∵
AC＝8，BD＝10．
∴
AO＝×8＝4，OB＝×10＝5．
在Rt△ABO中，
∴
，∴
．
(2)由菱形的性质可知：
．
【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB的长．(2)根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”来计算．
举一反三：
【变式】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．
【答案】5；
解：设该菱形为ABCD，对角线相交于O，AC＝8，BD＝6，
由菱形性质知：AC与BD互相垂直平分，
∴
，，
∴
．
4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．
【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．
【答案与解析】
解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵
DE∥AC，DF∥BC
∴
四边形DECF是平行四边形．
∵
CD平分∠ACB，∴
∠1＝∠2
∵
DF∥BC，
∴
∠2＝∠3，
∴
∠1＝∠3．
∴
CF＝DF，
∴
四边形DECF是菱形．
【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．
类型三、正方形的性质和判定
5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．
【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS证出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°，然后根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，
∵CE＝CE，
∴△BEC≌△DEC．
（2）解：∵∠DEB＝140°，
∵△BEC≌△DEC，
∴∠DEC＝∠BEC＝70°，
∴∠AEF＝∠BEC＝70°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°．
答：∠AFE的度数是65°．
【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.
举一反三：
【变式】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE．
6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积．
【思路点拨】（1）通过证明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；
（2）作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHG=90°，
∴∠DHG+∠AHG=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG?FQ=×2×2=2．
【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．
【典型例题】（提高）
类型一、矩形的性质和判定
1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．
【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．
【答案与解析】
证明：(1)∵
四边形ABCD是矩形，
∴
∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵
△PBC和△QCD是等边三角形，
∴
∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，
∴
∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．
∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°
(2)∵
四边形ABCD是矩形，∴
AB＝DC．
∵
△PBC和△QCD是等边三角形，
∴
PB＝PC，QC＝DC＝AB．
∵
AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．
∴
△PAB≌△PQC，∴
PA＝PQ．
【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．
举一反三：
【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．
(1)求证：；
(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．
【答案】
证明：(1)由折叠可得．
∵
AD∥BC，
∴
，
∴
，
∴
．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵
，，，，
∴
．
2、如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．
①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：
②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=________，AF=_________．
【答案与解析】
（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：①延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
在△AGE和△BCE中，，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG=BC，
∵DF=1.6，F为AD中点，
∴BC=3.2，
∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵∠DFC=2∠BCE，
∴∠BCE=∠FCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠G，
∴CF=FG=4.8；
②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，
∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；
故答案为：5；
设DF=x，
根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，
即52﹣x2=82﹣（5+x）2，
解得：x=，
∴DG=5+=，
∴AD=DG=，
∴AF=AD﹣DF=；
故答案为：．
【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.
举一反三：
【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的面积.
【答案】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴△ABO≌△DCO
又∵△ABO是等边三角形
∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO
∴AC＝BD
∴
ABCD为矩形.
∵AB＝4，AC＝AO＋CO
∴AC＝8
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC＝
∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝16
类型二、菱形的性质和判定
3、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．
【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．
【答案与解析】
解：连接AC．
∵
四边形ABCD是菱形，
∴
AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵
∠B＝60°，
∴
△ABC是等边三角形．
∴
∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴
∠ACF＝∠B＝60°．
又∵
∠EAF＝∠BAC＝60°
∴
∠BAE＝∠CAF．
∴
△ABE≌△ACF．
∴
AE＝AF．
∴
△AEF为等边三角形．
∴
∠AEF＝60°．
又∵
∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴
∠CEF＝18°．
【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．
4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．
【答案与解析】
(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，BO＝OD，
∴
∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO（两直线平行，内错角相等），
∴
△BOE≌△DOF(AAS)．
(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：由(1)知，△BOE≌△DOF，
∴
OE＝OF．
又∵
矩形ABCD中，OA＝OC，
∴
四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
又∵
EF⊥AC，
∴
四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.
举一反三：
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）证明：DE=BC；
（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．
【答案】
（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∵CE∥AB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴DE=BC；
（3）解：过点D作DE⊥CE，如图所示，
∴DF是菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，∴∠DCE=60°，
∴DF=．
类型三、正方形的性质和判定
5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．
【思路点拨】根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．
【答案与解析】
证明：∵ABCD是正方形，
∴OD＝OC，
又∵DE＝CF，
∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF，
在Rt△AOE和Rt△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF，
∴∠OAE＝∠ODF，
∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，
∴∠ODF＋∠DEM＝90°，
即可得AM⊥DF．
【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．
举一反三：
【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．
(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．
(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【答案】
证明：(1)∵
四边形ABCD是正方形，
∴
DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．
又∵
CE＝AG，
∴
△DCE≌△DAG，
∴
∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．
又∵
∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴
∠ADE＋∠GDA＝90°，
∴
DE⊥DG．
(2)四边形CEFK为平行四边形．
证明：设CK，DE相交于M点，
∵
四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴
AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；
∵
BK＝AG，∴
KG＝AB＝CD．
∴
四边形CKGD为平行四边形．
∴
CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF
∴
四边形CEFK为平行四边形．
6、如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．
【思路点拨】矩形的各内角平分线将每个内角分成45°，它们和矩形的边组成了等腰直角三角形，所以围成的图形为矩形，再证明一组邻边相等，得出结论．
【答案与解析】
解：∵
四边形ABCD为矩形，
∴
AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴
∠1＝∠2＝∠DAB＝45°，∠3＝∠4＝∠ABC＝45°，
∴
∠OMN＝∠AMB＝90°．
同理∠MNP＝90°，∠NPO＝90°，
∴
四边形MNPO为矩形．
又∵
∠2＝∠4，∠5＝∠6，AD＝BC，
∴
△AOD≌△BNC，
∴
AO＝BN．
又∵
∠1＝∠3，∴
AM＝BM，
∴
AO－AM＝BN－BM，即MN＝MO．
∴
矩形MNPO为正方形．
【总结升华】(1)灵活运用角平分线的性质，等腰直角三角形的性质及判定，矩形的判定方法和正方形的判定方法．(2)本题解题思路：矩形＋邻边相等正方形．
【巩固练习】
一.选择题
1.下列关于矩形的说法中正确的是(
)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
2.
矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（
）
A.3 B.
4 C.
12 D.
4或12
3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（
）
A．6，8
B.
3，4
C.
12，16
D.
24，32
4.如图，菱形ABCD中对角线交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则,OE的长是（ ）
A．2.5
B．5
C．2.4
D．不确定
5.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P
为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.
如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．8
二.填空题
7．如图四边形ABCD中，AB=，BC=12，∠ABC=45°，
∠ADC=90°，AD=CD，则BD=
．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，
且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.
10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是
．
11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
12.
如图，平面内4条直线是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线和上，该正方形的面积是
平方单位．
三.解答题
13．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形BCDE是矩形．
14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
2.【答案】D；
【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.
3.【答案】C；
【解析】设两条对角线的长为.所以有，∴，所以两条对角线的长为12
，16.
4.【答案】C；
【解析】在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴AO=4，BO=3，S菱形ABCD=24，
∴AB=5，S△AOB=6，∵AB·EO=AO·BO，∴5EO＝4×3，∴EO=．
5.【答案】D；
【解析】连接BP，过C作CM⊥BD.
S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BE×CM×，
∵BC=BE，
∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1，且正方形对角线BD=BC=，
又∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM=BD=，
即PQ+PR=．
故选：D．
6.【答案】C；
【解析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，＝＝16，DE＝4．
二.填空题
7．【答案】；
【解析】解：如图，作AM⊥BC，DN⊥BC，DH⊥MA，
∵∠H=∠HMN=∠DMN=∠DNM=90°，
∴四边形MNDH是矩形，
∴∠NDH=90°，
∵∠NDH=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠CDN，
在△ADH和△CDN中，
，
∴△ADH≌△CDN（AAS），
∴DH=DN，
∴四边形MNDH是正方形，
∴MN=MH．
设AH=NC=，在Rt△ABC中，AB=，∠ABM=45°，
∴BM=AM=4，CM=8，∴4+=8-，∴=2，∴AH=NC=2，MN=DN=6，∴BN=10，
∴BD=.
8.【答案】；
【解析】设AE＝CE＝，DE＝，，.
9.【答案】；
【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.
10.【答案】5；；；
【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.
11.【答案】2；
【解析】阴影部分面积等于正方形面积的＝×4＝2.
12.【答案】5；
【解析】过D点作直线EF与平行线垂直，与交于点E，与交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF＝1，DF＝2．根据勾股定理可求得正方形的面积．
三.解答题
13.【解析】
（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
∴∠EBC=∠DCB=90°，
四边形BCDE是矩形．
14.【解析】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OB＝OD
∵∠EDO＝∠FBO,
∠OED＝∠OFB
∴△OED≌△OFB
∴DE＝BF
又∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF是菱形.
15．【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；
(2)以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥轴于点E，QF⊥轴于点F．
AD×QE＝＝
∴QE＝
∵点Q在正方形对角线AC上
∴Q点的坐标为
∴过点D(0，4)，两点的函数关系式为：，当＝0时，＝2，即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD
①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知
QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图，设点P在BC边上运动到CP＝时，有AD＝AQ
∵AD∥BC
∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝．
∵AC＝，AQ＝AD＝4．
∴＝CQ＝AC－AQ＝－4．
即当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形．
【课后作业】
【巩固练习】
一.选择题
1．下列命题中不正确的是(
)．
A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半
B.矩形的对角线相等
C.矩形的对角线互相垂直
D.矩形是轴对称图形
2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为(
)．
A.
3.6
B.
7.2
C.
1.8
D.
14.4
3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是(
)
A.4
B.8
C.12
D.16
4.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于(
)．
A.
B.4
C.1
D.2
5.如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）
A．7
B．8
C．
D．
6.
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．12.5°
二.填空题
7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝______，BC＝______．
8.
如图，将边长为2的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.
9.
如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.
10.如图，两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽度为3cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________cm2．
11.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.
三.解答题
13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．
（1）证明：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】矩形的对角线相等.
2.【答案】B；
【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.
3.【答案】D；
【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.
4．【答案】C；
【解析】由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于×2＝1.
5.【答案】C；
6.【答案】B；
【解析】根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝（180°－150°）÷2＝15°.
二.填空题
7．【答案】5，5；
【解析】可证△AOB为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO.
8.【答案】1；
【解析】移动距离为，重叠部分面积为CE×，所以，得，所以.
9.【答案】1；
【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC面积．
10.【答案】.
【解析】∵AB∥CD，AD∥BC，
??∴四边形ABCD是平行四边形，
???作AE⊥BC，AF⊥CD，
??∠ABC=∠ADF=60°，且AE=AF
??∴△ABE≌△ADF，
??∴AB=AD，即四边形ABCD是菱形．
??∵AE=3cm，
??∴BE=，
??∴BC=2BE=，
??∴S四边形ABCD=BC?AE=×3=cm2．
11.【答案】60；
【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB＝12，BD＝2OB＝24，DE＝2OC＝10，BE＝2BC＝26，△BDE的周长为60．
12.【答案】（3,4）；
【解析】过B点作BD⊥OA于D，过C点作CE⊥OA于E，BD＝4，OA＝，AD＝8－，，解得，所以OE＝AD＝8－5＝3，C点坐标为（3,4）.
三.解答题
13.【解析】
证明：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
???∴AD⊥BC，且BD=CD，
???∵AE∥BC，CE∥AD，
???∴四边形ADCE是平行四边形，
???∴四边形ADCE是矩形；
（2）∵四边形ADCE是矩形，
???∴OA=OC，
???∴OD是△ABC的中位线，
???∴OD∥AB且OD=AB.
14.【解析】
四边形BFDE是菱形，
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且AB是斜边，
∵E为AB的中点，
∴DE＝AB＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵F为DC中点，E为AB中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE＝EB，
∴四边形BFDE是菱形．
15.【解析】
解：如图，连接CH，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°，
∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，
在Rt△CDH和Rt△CFH中，
∴Rt△CDH≌Rt△CFH，
∴∠DCH＝∠FCH＝∠DCF＝30°，
在Rt△CDH中，DH＝，CH＝2，CD＝，
∴DH＝.第10讲
特殊的平行四边形
【学习目标】
1.
理解矩形、菱形、正方形的概念.
2.
掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.
3.
了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.
【要点梳理】
要点一、矩形、菱形、正方形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形
叫做正方形.
要点二、矩形、菱形、正方形的性质
矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点三、矩形、菱形、正方形的判定
矩形的判定：1.
有三个角是直角的四边形是矩形.
2.
对角线相等的平行四边形是矩形.
3.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
菱形的判定：1.
四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，
正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.有一个内角是直角的菱形是正方形.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
【典型例题】（基础）
类型一、矩形的性质和判定
1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________．
2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.
举一反三：
【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．
类型二、菱形的性质和判定
3、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．
求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．
举一反三：
【变式】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．
4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．
类型三、正方形的性质和判定
5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．
举一反三：
【变式】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积．
【典型例题】（提高）
类型一、矩形的性质和判定
1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．
举一反三：
【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．
(1)求证：；
(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．
2、如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．
①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：
②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=________，AF=_________．
举一反三：
【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的面积.
类型二、菱形的性质和判定
3、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．
4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．
举一反三：
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）证明：DE=BC；
（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．
类型三、正方形的性质和判定
5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．
举一反三：
【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．
(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．
(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
6、如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．
【巩固练习】
一.选择题
1.下列关于矩形的说法中正确的是(
)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
2.
矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（
）
A.3 B.
4 C.
12 D.
4或12
3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（
）
A．6，8
B.
3，4
C.
12，16
D.
24，32
4.如图，菱形ABCD中对角线交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则,OE的长是（ ）
A．2.5
B．5
C．2.4
D．不确定
5.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P
为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.
如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．8
二.填空题
7．如图四边形ABCD中，AB=，BC=12，∠ABC=45°，
∠ADC=90°，AD=CD，则BD=
．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，
且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.
10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是
．
11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
12.
如图，平面内4条直线是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线和上，该正方形的面积是
平方单位．
三.解答题
13．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形BCDE是矩形．
14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
【课后作业】
【巩固练习】
一.选择题
1．下列命题中不正确的是(
)．
A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半
B.矩形的对角线相等
C.矩形的对角线互相垂直
D.矩形是轴对称图形
2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为(
)．
A.
3.6
B.
7.2
C.
1.8
D.
14.4
3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是(
)
A.4
B.8
C.12
D.16
4.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于(
)．
A.
B.4
C.1
D.2
5.如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）
A．7
B．8
C．
D．
6.
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．12.5°
二.填空题
7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝______，BC＝______．
8.
如图，将边长为2的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.
9.
如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.
10.如图，两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽度为3cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________cm2．
11.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.
三.解答题
13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．
（1）证明：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．
