第12讲
平面向量及其加减运算
【学习目标】
1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.
2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.
3.理解两个向量共线的含义.
【要点梳理】
要点一、平面向量
1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.
有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.
要点诠释：
（1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别.
（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.
2.平面向量的定义及表示
（1）向量:
既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.
要点诠释：
①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.
②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.
③向量与有向线段的区别：
（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；
（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
（2）向量的表示方法:
①小写英文字母表示法:
如等.
②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.
（3）向量的分类：
固定向量：有大小、方向、作用点的向量；
自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.
要点诠释：我们学习的主要是自由向量.
3.
特殊的向量
零向量:长度为零的向量叫零向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
互为相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释：
（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同.
（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
要点二、平面向量的加法运算
1.
定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.
2.
运算法则：
（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：
（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.
（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：
要点诠释：
1.两个向量的和是一个向量，规定.
2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.
4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.
3.运算律：
（1）交换律：；
（2）结合律：
要点三、向量的减法运算
1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.
2.运算法则：
在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.
要点诠释：
（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题.
（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定.
（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即.
【典型例题】（基础）
类型一、向量的基本概念
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
（1）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上.
（2）单位向量都相等.
（3）任一向量与它的相反向量不相等.
举一反三：
【变式】下列命题正确的是
（
）
A.与共线，与共线，则与也共线.
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
类型二、向量的加法运算
2.已知互不平行的向量（如图），求作.
举一反三：
【变式】如图,已知梯形ABCD中,AB∥DC,点E在AB上,EC∥AD.
在图中指出下列几个向量的和向量:
(1).
(2).
类型三、向量的减法运算
3.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，设，.
（1）填空：向量
.（用向量的式子表示）
（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
类型四、向量加减综合运算
4.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
举一反三：
【变式】如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【典型例题】（提高）
类型一、向量的基本概念
1.判断下列各命题是否正确：
(1)若，则；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
(3)若，则
(4)两向量相等的充要条件是且.
举一反三：
【变式】下列说法正确的个数是(
)
①向量，则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③向量既是有向线段；
④在平行四边形中，一定有.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
类型二、向量的加法运算
2.
如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=，=．
（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）
（2）画出向量分别在，方向上的分向量．
举一反三：
【变式】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：四边形中，，，
求证：是平行四边形.
类型三、向量的减法运算
3.
三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.
类型四、向量加减综合运算
4.如图，已知向量，，∠DAB＝120°，且，求和.
举一反三：
【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，
求证：.
【变式2】如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习】
一、选择题
1.已知向量，且则一定共线的三点是(
)
A.A、B、D
B.A、B、C
C.B、C、D
D.A、C、D
2.在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
3.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（ ）
A．﹣
B．﹣+
C．+
D．﹣﹣
4.下列命题中，真命题的个数为(
)
①方向相同
②方向相反
③有相等的模
④方向相同
A.0
B.1
C.2
D.3
5.在中，已知是边上一点，，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.
若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则(
)
A.｜2｜＞｜-2｜
B.｜2｜＜｜-2｜
C.｜2｜＞｜2-｜
D.｜2｜＜｜2-｜
二、填空题
7．若则(用表示
8.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则=_______________.
9.
设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是_______________.
10.
在四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是_______.
11.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果=，=，那么=
．
12.已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于
.
三、解答题
13.如图，已知向量、，求作向量2+．
14.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.
15.已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，
求证：(1)；(2)；
(3).
【课后作业】
【巩固练习】
一、选择题
1.下面的几个命题：
①若；
②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；
③若满足且与同向，则；
④由于方向不定，故不能与任何向量平行；
⑤对于任意向量必有.
其中正确命题的序号是：(
)
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则
A.
B.
C.
D.
3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=(
A.
B.
C.
D.
4.对于非零向量，下列条件中，不能判定是平行向量的是
(
)
A.
B.
C.
D.
5.设P是△ABC所在平面内的一点，，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=2DC，，，那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，
已知，用表示=
，
.
8.在平行四边形ABCD中，.
9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量=
10.平面内三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x，-1)，若∥，则x的值为
11.已知，若A、B、C三点构成三角形，则
12.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，，如果用向量表示向量，那么=
．
三、解答题
13.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①，②，③.
14.如图，已知平面内两个不平行的向量，，
求作：+2．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）．
15.如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，表示出来.第12讲
平面向量及其加减运算
【学习目标】
1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.
2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.
3.理解两个向量共线的含义.
【要点梳理】
要点一、平面向量
1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.
有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.
要点诠释：
（1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别.
（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.
2.平面向量的定义及表示
（1）向量:
既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.
要点诠释：
①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.
②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.
③向量与有向线段的区别：
（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；
（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
（2）向量的表示方法:
①小写英文字母表示法:
如等.
②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.
（3）向量的分类：
固定向量：有大小、方向、作用点的向量；
自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.
要点诠释：我们学习的主要是自由向量.
3.
特殊的向量
零向量:长度为零的向量叫零向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
互为相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释：
（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同.
（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
要点二、平面向量的加法运算
1.
定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.
2.
运算法则：
（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：
（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.
（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：
要点诠释：
1.两个向量的和是一个向量，规定.
2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.
4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.
3.运算律：
（1）交换律：；
（2）结合律：
要点三、向量的减法运算
1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.
2.运算法则：
在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.
要点诠释：
（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题.
（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定.
（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即.
【典型例题】（基础）
类型一、向量的基本概念
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
（1）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上.
（2）单位向量都相等.
（3）任一向量与它的相反向量不相等.
【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，并且要注意这两方面的结合.
【答案与解析】
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
【总结升华】本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
举一反三：
【变式】下列命题正确的是
（
）
A.与共线，与共线，则与也共线.
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】C.
类型二、向量的加法运算
2.已知互不平行的向量（如图），求作.
【思路点拨】一般地,几个向量相加,可把这几个向量顺次首尾相接,那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量.
【答案与解析】
解：如图，在平面内任取一点O，顺次作向量，，，；再以O为起点，D终点作向量，则：
.
【总解升华】
举一反三：
【变式】如图,已知梯形ABCD中,AB∥DC,点E在AB上,EC∥AD.
在图中指出下列几个向量的和向量:
(1).
(2).
【答案】(1)
(2)
类型三、向量的减法运算
3.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，设，.
（1）填空：向量
.（用向量的式子表示）
（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
【答案与解析】
解：（1）∵在△ABC中，，
∴
又∵E是边AC的中点，
∴
故答案是：；
（2）如图，
过点E作EM∥AB交BC于点M.
、即为向量在向量，方向上的分向量.
【总结升华】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．
类型四、向量加减综合运算
4.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
【思路点拨】
利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.
【答案与解析】
解：在中
【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
举一反三：
【变式】如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【答案】
解：=+3﹣﹣=﹣+2．
如图：=2，=﹣，
则=﹣+2，
即即为所求．
【典型例题】（提高）
类型一、向量的基本概念
1.判断下列各命题是否正确：
(1)若，则；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
(3)若，则
(4)两向量相等的充要条件是且.
【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.
【答案与解析】
解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.
(2)正确，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形是平行四边形，则且与方向相同.因此.
(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同.故.
(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是
的充要条件.
【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.
举一反三：
【变式】下列说法正确的个数是(
)
①向量，则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③向量既是有向线段；
④在平行四边形中，一定有.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】C
类型二、向量的加法运算
2.
如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=，=．
（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）
（2）画出向量分别在，方向上的分向量．
【思路点拨】（1）由点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，直接利用三角形中位线的性质，即可求得==﹣，==，再利用三角形法则求解即可求得答案；
（2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．
【答案与解析】
解：（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，
∴==﹣，==，
∴=+=﹣+；
（2）如图：与即为所求．
【总结升华】此题考查了平行向量的加法运算．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．
举一反三：
【变式】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：四边形中，，，
求证：是平行四边形.
【答案】证明：由向量的加法法则：
，，∵，，∴，
即线段与平行且相等，
∴是平行四边形.
类型三、向量的减法运算
3.
三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.
【答案与解析】
已知：如图，中，D，E分别是边AB，AC的中点.
求证：且.
证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴，.
∴，
∵D，B不共点，∴且.
【总结升华】两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同；差向量的终点指向被减向量的终点.
类型四、向量加减综合运算
4.如图，已知向量，，∠DAB＝120°，且，求和.
【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.
【答案与解析】
【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
举一反三：
【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，
求证：.
【答案】
证明：连结.因为分别是三边的中点，
所以四边形为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则，得(1)，
同理在平行四边形中，(2)，
在平行四边形在中，(3)
将(1)(2)(3)相加，得
.
【变式2】如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D.
解：A、+=﹣，故本选项错误；
B、+=﹣，故本选项错误；
C、+=﹣，故本选项错误
D、+=﹣，故本选项正确．
故选D．
【巩固练习】
一、选择题
1.已知向量，且则一定共线的三点是(
)
A.A、B、D
B.A、B、C
C.B、C、D
D.A、C、D
2.在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
3.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（ ）
A．﹣
B．﹣+
C．+
D．﹣﹣
4.下列命题中，真命题的个数为(
)
①方向相同
②方向相反
③有相等的模
④方向相同
A.0
B.1
C.2
D.3
5.在中，已知是边上一点，，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.
若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则(
)
A.｜2｜＞｜-2｜
B.｜2｜＜｜-2｜
C.｜2｜＞｜2-｜
D.｜2｜＜｜2-｜
二、填空题
7．若则(用表示
8.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则=_______________.
9.
设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是_______________.
10.
在四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是_______.
11.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果=，=，那么=
．
12.已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于
.
三、解答题
13.如图，已知向量、，求作向量2+．
14.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.
15.已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，
求证：(1)；(2)；
(3).
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】A；
【解析】A、B、D三点共线.
2.
【答案】C；
【解析】由已知可得：，，所以，所以，且.
3.
【答案】B；
【解析】解：如图，连接BD，
∵在平行四边形ABCD中，=，=，
∴=﹣=﹣，
∵点M、N分别是边BC、CD的中点，
∴MN∥BD，MN=BD，
∴==（﹣）=﹣+．
故选B．
4.
【答案】C；
【解析】①②对
③④错.
5.
【答案】A；
【解析】在?ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴，选A.
6.
【答案】A
【解析】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令，
，则，
∴且；
又BA+BC>AC
∴
∴，选A.
二、填空题
7.
【答案】?
【解析】，
整理得.
8.
【答案】
【解析】∵.
9.
【答案】
【解析】由不共线，必有故.
10.
【答案】
11.
【答案】+；
【解析】解：由向量的平行四边形法则得，+=2，
所以，=2﹣，
∵=，
∴=﹣，
∴=2+，
∵点E、F分别是OA、OD的中点，
∴EF∥AD且EF=AD，
∴EF∥BC且EF=BC，
∴=，
∴=+．
故答案为：+．
12.
【答案】
【解析】正方形ABCD边长为1
∴.
三、解答题
13.【解析】
解：如图，=，=2，
则=+=2+．
则即为所求．
14.【解析】
解：由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC
故
.
15.【解析】
解：
(1)
(2)略
(3)两式相加得：
同理，.
【课后作业】
【巩固练习】
一、选择题
1.下面的几个命题：
①若；
②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；
③若满足且与同向，则；
④由于方向不定，故不能与任何向量平行；
⑤对于任意向量必有.
其中正确命题的序号是：(
)
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则
A.
B.
C.
D.
3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=(
A.
B.
C.
D.
4.对于非零向量，下列条件中，不能判定是平行向量的是
(
)
A.
B.
C.
D.
5.设P是△ABC所在平面内的一点，，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=2DC，，，那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，
已知，用表示=
，
.
8.在平行四边形ABCD中，.
9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量=
10.平面内三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x，-1)，若∥，则x的值为
11.已知，若A、B、C三点构成三角形，则
12.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，，如果用向量表示向量，那么=
．
三、解答题
13.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①，②，③.
14.如图，已知平面内两个不平行的向量，，
求作：+2．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）．
15.如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，表示出来.
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】B；
【解析】向量的概念.
2.
【答案】B；
【解析】，故选B.
3.
【答案】D；
【解析】∵，由三角形中位线定理，故选D.
4.
【答案】D；
【解析】A、由推知非零向量的方向相同，则，故本选项错误；
B、由推知方向相反，方向相同，则非零向量的
方向相反，所以，故本选项错误；
C、由推知非零向量的方向相反，所以，故本选项错误；
D、由不能确定非零向量的方向，不能判定位置关系，故选项正确.
5.
【答案】B；
【解析】由已知可得，点P为线段AC的中点，所以向量与向量是一对相反向量.
6.
【答案】C.
【解析】解：∵，BD=2DC，
∴==，
∵，
∴=﹣=﹣．
故选C．
二、填空题
7.
【答案】；
【解析】设，M、N为DC、BC中点，，，在△ABN中△ADM中①
②
解①②：.
8.【答案】；
9.【答案】；
【解析】，.
10.【答案】1；
11.【答案】；
12.【答案】．
【解析】解：∵向量，，，
∴，
∵AD是边BC上的中线，
∴．
故答案为：．
三、解答题
13.【解析】
解：①原式=
；
②原式=
；
③原式=
.
14.【解析】
解：如图，作=，=2，
则=+=+2，
则
即为所求．
15.【解析】
解：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=＋，=
=+由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，同样在平行四边形BCDO中，===＋(＋)=＋2，==-.
