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第二章
平面解析几何
2．1 坐 标 法
必备知识·自主学习
2．坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过_________等
解决问题的方法称为坐标法．
代数运算
【思考】
利用坐标法解决几何问题的前提是什么？
提示：建立平面直角坐标系．
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E
B
D
C
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2.2
直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
必备知识·自主学习
1.直线的倾斜角
(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴
绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的_________记为θ，则
称θ为这条直线的倾斜角．
(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为____，与x轴垂
直的直线，倾斜角为_____．
(3)范围：0°～180°.
最小正角
0°
90°
【思考】
(1)如图：
直线l的倾斜角是30°吗？
提示：不是，直线l的倾斜角为150°.
(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同？
提示：倾斜角相等的直线的倾斜程度相同．
2．斜率的概念
(1)定义：一条直线的倾斜角θ的正切值．
(2)特例：倾斜角是90°的直线没有斜率．
(3)记法：k＝tan
θ.
【思考】
(1)为什么倾斜角为90°时，直线没有斜率？
提示：当α＝90°时，tan
α不存在，由斜率的定义，可知此时直线斜率不存在．
(2)斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
提示：当k＝tan
α＜0时，倾斜角α是钝角；
当k＝tan
α＞0时，倾斜角α是锐角；
当k＝tan
α＝0时，倾斜角α是0°.
3.经过两个点的直线的斜率公式
经过两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率：k＝_______．
【思考】
利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？
提示：不能，当直线与x轴垂直时，k＝
无意义．
4．直线的方向向量
(1)如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l___________，则称向量a
为直线l的一个方向向量，记为a∥l；
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的
一个方向向量，而且直线l的_____两个方向向量一定共线；
平行或重合
任意
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则
＝(_____________)
是直线l的一个方向向量；
(4)如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
①当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为_____；
②当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的
一个方向向量，且有v＝ku，即k＝
，即tan
θ＝
.
x2－x1，y2－y1
90°
5．直线的法向量
如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l_____，则称向量v为直线l的
一个法向量，记作v⊥l.
垂直
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2.2.2 直线的方程
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
必备知识·自主学习
1.直线的点斜式方程和斜截式方程
【思考】
直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
提示：不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
2．直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的________．
符号：可正，可负，也可为零．
纵坐标b
【思考】
直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？
提示：不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．
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2
2
A
D
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第2课时 直线的两点式方程
必备知识·自主学习
直线的两点式、截距式方程
【思考】
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？
提示：与x轴、y轴平行的直线，x轴，y轴．
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？
提示：与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线．
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P
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第3课时 直线的一般式方程
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直线的一般式方程
(1)方程：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0
(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)本质：直线的一般式方程是直线的定量刻画，直线是二元一次方程的几何意义．
(3)应用：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式，用一般式表示直线方程．
【思考】
(1)方程y－y0＝0是二元一次方程吗？
提示：是，是A为0的二元一次方程．
(2)直线与二元一次方程的关系是什么？
提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
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2.2.3 两条直线的位置关系
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1.两条直线的相交、平行与重合
(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：
l1与l2相交?______；
l1与l2平行?k1＝k2且______；
l1与l2重合?k1＝k2且______．
(2)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是_______，重合
的充要条件是_______．
k1≠k2
b1≠b2
b1＝b2
C1≠C2
C1＝C2
2．两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
l1⊥l2?_________．
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?
______________．
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
【思考】
两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于－1吗？
提示：不一定，因为两直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在．
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2.2.4 点到直线的距离
必备知识·自主学习
【思考】
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？
提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离．
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝_______．
(3)本质：用代数方法求平面内两条平行直线间的距离．
【思考】
直线l1，l2的方程具备什么特征时，才能直接应用公式求距离？
提示：直线l1，l2的方程必须是一般式，且一次项系数A，B相同．
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bx
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