第10讲
期中复习
【知识精讲】
有理数回顾
有理数分类（两种）
相反数、倒数的概念
数轴及有理数大小比较
绝对值
有理数的运算（特别注意带负号的运算及去括号运算）
有理数的乘方（幂、指数、底数）
科学计数法
一次方程（组）和一次不等式（组）回顾
概念（等式、不等式、方程、未知数、元、解、解集、项、常数项、次数、系数）
性质（等式性质①②，不等式性质①②③）
解法
（1）一元一次方程
（2）二元一次方程组——消元至一元一次方程（代入消元、加减消元）
（3）三元一次方程组——消元至二元一次方程组——消元至一元一次方程
（4）一元一次不等式
（5）一元一次不等式组——先找到组成不等式组的各个不等式的解，再找它们的公共部分。
应用题（先看求什么，再从题目中找到相关量，寻找等量关系，列出1~2个方程）
【例题精讲：有理数】
考点1：有理数的分类
把下列各数填在相应额大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7
·正整数集｛
1、25
…｝
·正有理数集｛
1、25、6/7
…｝
·负有理数集｛-0.1、-789、-20、-3.14、-590
…｝
·负整数集｛
-789、-20、-590
…｝
·自然数集｛
0、1、25
…｝
·正分数集｛
6/7
…｝
·负分数集｛
-0.1、-3.14
…｝
考点2：有理数的大小比较及计算
1、下列各式中，计算正确的是（
D
）
A．
B．
C．
D．
2、若a、b为有理数，则下列判断正确的是（
C
E
）
A.a≠b，则a2≠b2
B.若a＞b,则a2＞b2
C.若a＞,则a＞b
D.若a2＞b2，则a＞b
E.若a2≠b2，则a≠b
3、比较下列各对数的大小：
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与
（1）<
（2）<
（3）<
（4）<
4、
（l）
（2）
-3.3
（3）
（4）
-27
85
考点3：绝对值
1、若a，b为有理数，有下列结论：(1)如果a≠b，那么|a|≠|b|；(2)如果a>b，那么|a|>|b|；(3)如果|a|>|b|，那么a>b；(4)如果|a|≠|b|，那么a≠b。正确的有（
B
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2、若，则a、b关系是（
D
）
A.a、b的绝对值相等
B.a、b异号
C.a+b的和是非负数
D.a、b同号或其中至少有一个为零
3、若ab≠0,则的取值不可能是（
B
）
A.0
B.
1
C.
2
D.
-2
4、已知+
b＞0,则a-b=
4或10
.
5、如果，那么x=
5或1
.
6、若=0，求a2-b的倒数的相反数。
7、（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？
（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？
（3）求的最小值。
（4）求的最小值。
解：（1）当x=3时，=0为最小值
（2）当x=-2时，=5为最大值
（3）当时取最小，则=1为最小值
（4）当x=8时取最小，则=2为最小值
考点4：科学记数法
1、用科学记数法表示：32600000000=
；0.000000028=
.
2、3.4030×105保留两个有效数字是
3.4
，精确到千位是
3.400
.
3、用四舍五入法求30951的近似值（要求保留三个有效数字），结果是
3.10
.
【例题精讲：一次方程】
考点1：概念及性质（未知数系数不为0，次数为1次；另外，在带有字母的一次方程中，需辨别哪一个是未知数）
1、下列各式中：①；②；③；④；⑤；
⑥；⑦；⑧．哪些是一元一次方程？⑥⑦⑧
2、当m=
2
时，是一元一次方程。
3、若x=3是方程的解，则a=
-5
；若代数式的值与0.5互为
倒数，则x=
4
。
4、已知是关于x的一元一次方程，则a=
4
；b=
-8
；x=
-4
。
5、若关于x的方程的解为1，那么
1
。
6、已知关于x的方程的解满足方程，则m
=
2
。
7、当x=
时，代数式与的值互为相反数。
考点2：计算（去分母时注意每一项都需乘公分母，另外注意符号的变化）
2、
X=
X=3
考点3：应用题
1、某地居民生活用电基本价格为0.50元/度。规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元,则a
=
40
度。
2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
解：设鞋的标价为元，则可列出下列方程。
解得
则优惠价为（元）
【例题精讲：一次不等式（组）】
考点1：性质
判断
（1）如果a>b,c≠0是否一定能得到ac>bc
（
×
）
（2）如果ac（
×
）
（3）如果a>b且c=d，则ac>bd
（
×
）
（4）若a>b则
（
×
）
（5）若
，则
a（
√
）
（6）若a>b，则
（
×
）
2、若m＞n，则下列不等式中不一定成立的是（
C
）
A.m＋a＞n＋a
B.－5m＜－5n
C.ma2＞na2
D.a－m＜a－n
3、当a满足条件
a＜0
时，由ax>5可得；当a满足条件
a＞0
时，可得.
考点2：解不等式（组）
X＜0
（3）
（4）
考点3：应用题（多为求出一个范围，找到其中的整数解）
【例题精讲：二元一次方程组】
考点1：概念
1、判断：
（1）方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（
√
）
（2）由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（
×
）
（3）若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2
（
×
）
（4）方程组有无数多个解（
√
）
（5）方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5
（
√
）
（6）在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（
×
）
2、简答：
（1）当a、b满足什么条件时，方程(2b2-18)x=3与方程组都无解.
，b=±3
（2）a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等？
a=6,
b=11,
c=-6
（3）m取什么整数值时，方程组的解：
(1)是正数；
(2)是正整数？并求它的所有正整数解。
（1）m是大于-4的整数，（2）m=-3，-2，0，，，
试求方程组的解.
或
考点2：计算（可见补充练习）
考点3：应用题
1、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
A、B距离为450千米，原计划行驶9.5小时
2、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？
设女生x人，男生y人，
3、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
设甲速x米/秒，乙速y米/秒
4、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。
甲的容量为63升，乙水桶的容量为84升
【家庭作业——期中测试卷】
（满分100分
时间90分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分）
1.下列方程是一元一次方程的是（
）
A.；
B.；
C.
；
D.
.
【答案】C；
【解析】A、不是方程，故A不符合题意；B、为二元一次方程，故B不符合题意；C、是一元一次方程，符合题意；D、是分式方程，故D不符合题意；因此答案选C.
2.下列结论正确的是（
）
A.如果，那么；
B.如果，那么；
C.
如果，那么；
D.
如果，那么.
【答案】D；
【解析】A、如：，但，故A错误；B、如：，但，故B错误；C、，则，故C错误；D、若，那么，正确；因此答案选D.
3.学校、家、书店依次座落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边100米，张明同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了-70米，此时张明的位置在（
）
A.家；
B.学校；
C.
书店；
D.
不在上述位置.
【答案】B；
【解析】设家为原点，向北方向为正建立数轴，则学校对应的数为-20，书店对应的数为+100，依题有：
+50+（-70）=
-20，故张明的位置在学校；故选B.
4.据统计，在2020年春节联欢晚会中，国内有225家电视频道同步转播，全球有170多个国家和地区进行直播，海内外观众总规模达1232000000人.
试将1232000000用科学记数法表示且保留两位有效数字为（
）
A.；
B.
；
C.
；
D.
.
【答案】C；
【解析】1232000000用科学记数法表示且保留两位有效数字为，故答案选C.
5.如果，那么下列不等式成立的是（
）
A.；
B.
；
C.
；
D.
.
【答案】A；
【解析】A、依据不等式性质1，可知A正确；B、依据不等式性质3、1可得，故B错误；C、当c=0时，不成立，故C错误；D、当时，，故D错误；因此答案选A.
6.有理数a、b在数轴上对应的点A、B的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A.2个；
B.
3个；
C.
4个；
D.
5个.
【答案】B；
【解析】根据图形可知：，故①正确，②错误；
可知，所以③错误；
可知，故④正确；由图形可知，故⑤错误，⑥正确；所以正确的选项为①④⑥共3个，故答案选B.
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
7.计算：=
.
【答案】10；
【解析】解：原式=.
8.计算：=
.
【答案】-
28；
【解析】解：原式=.
9.如果x=2、y=1是方程的一个解，那么a=
.
【答案】；
【解析】解：因为x=2、y=1是方程的一个解，所以，解得.
10.方程的解是
.
【答案】；
【解析】解：去分母，得，去括号，得，移项合并，得，故.
11.比较大小：.
【答案】＜；
【解析】因为，因为，所以即.
12.不等式的最小整数解是
.
【答案】；
【解析】解：去分母，得，去括号，得，移项合并，得，解得，故其中最小整数解为.
13.
0.3的倒数减去x的4倍所得的差不大于x的，用不等式表示为
.
【答案】；
【解析】0.3的倒数减去x的4倍所得的差不大于x的，用不等式表示为：.
14.近似数精确到
位.
【答案】万；
【解析】因为近似数，从左边数第1个0是在万位，故近似数精确到万位.
15.如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点是点
.
【答案】点C；
【解析】由图可知：，又，所以，所以c=0，故原点是点C.
16.在向
“希望工程”献爱心活动中小明、小红共捐款36元，其中小明的捐款比小红的捐款的1.5倍少4元，问小明、小红各捐款多少元？如果设小红捐款x元，那么小明的捐款是
元，根据题意可列方程是
.
【答案】或；
；
【解析】因为小明、小红共捐款36元，小红捐款x元，所以小明的捐款是（）元；又小明的捐款比小红的捐款的1.5倍少4元，所以小明的捐款是元，故列方程：.
17.若，则x=
，y=
.
【答案】；
【解析】解：依题，得，解之得.
18.下列算式：，…通过观察，用你所发现的规律，直接写出的个位数字是
.
【答案】7；
【解析】通过计算前几项的个位数依次为：7、9、3、1、7、9、3、1、…，发现每4个数的个位数字重复出现，又因为2021÷4=505余1，故的个位数字为7.
三、解答题（本大题共8题，第19~23题，每题6分，第24、25题每题7分，第26题8分，满分52分）
19.计算：.
【答案】；
【解析】解：原式=.
20.
计算：.
【答案】2019；
【解析】解：原式=.
21.解方程：.
【答案】；
【解析】解：去括号，得，再去括号，得，移项，得，合并，得，所以.
所以原方程的根为.
22.解不等式：.
【答案】；
【解析】解：去分母，得，去括号，得，移项，得
，合并，得，所以，故原不等式的解集为.
23.解不等式组：，并把解集表示在数轴上.
【答案】；
【解析】解：由①得：，去括号，得，移项合并，得，所以；
由②去分母，得，解得，所以，所以（如图所示）.
所以原不等式组的解集为.
24.某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个.
两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
【答案】工甲种部件安排25人，加工乙种部件安排60人；
【解析】解：设加工甲种部件安排x人，则加工乙种部件安排（85－x）人，依题，得
，解之得 . 答：加工甲种部件安排25人，加工乙种部件安排60人.
25.
“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车租金每辆为460元.
（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？
（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，那么应各租这两种车多少辆？
【答案】租用42座客车5辆、60座客车3辆；
【解析】解：（1）因为385÷42=9余7，所以单独租用42座客车需用10辆，故租金为10×320=3200元；
因为385÷60=6余25，所以单独租用60座客车需用7辆，故租金为7×460=3220元；
（2）设租42座客车x辆，则60座客车（8-
x）辆，依题，得，解之得，因为
x取整数，故，当x=4时，租金为320×4+460×4=3120元；当x=5时，租金为320×5+460×3=2980元；答：租用42座客车5辆、60座客车3辆租金最小.
26.阅读下列材料并解答问题：
求的值.
解：可令，
则，
由②－①得:即，所以.
请你仿照以上的推理方法，试计算的值.
【答案】；
【解析】解：令，则，由②－①，得，所以，即.第10讲
期中复习
【知识精讲】
有理数回顾
有理数分类（两种）
相反数、倒数的概念
数轴及有理数大小比较
绝对值
有理数的运算（特别注意带负号的运算及去括号运算）
有理数的乘方（幂、指数、底数）
科学计数法
一次方程（组）和一次不等式（组）回顾
概念（等式、不等式、方程、未知数、元、解、解集、项、常数项、次数、系数）
性质（等式性质①②，不等式性质①②③）
解法
（1）一元一次方程
（2）二元一次方程组——消元至一元一次方程（代入消元、加减消元）
（3）三元一次方程组——消元至二元一次方程组——消元至一元一次方程
（4）一元一次不等式
（5）一元一次不等式组——先找到组成不等式组的各个不等式的解，再找它们的公共部分。
应用题（先看求什么，再从题目中找到相关量，寻找等量关系，列出1~2个方程）
【例题精讲：有理数】
考点1：有理数的分类
把下列各数填在相应额大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7
·正整数集｛
…｝
·正有理数集｛
…｝
·负有理数集｛
…｝
·负整数集｛
…｝
·自然数集｛
…｝
·正分数集｛
…｝
·负分数集｛
…｝
考点2：有理数的大小比较及计算
1、下列各式中，计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、若a、b为有理数，则下列判断正确的是（
）
A.a≠b，则a2≠b2
B.若a＞b,则a2＞b2
C.若a＞,则a＞b
D.若a2＞b2，则a＞b
E.若a2≠b2，则a≠b
3、比较下列各对数的大小：
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与
4、
（l）
（2）
（3）
（4）
考点3：绝对值
1、若a，b为有理数，有下列结论：(1)如果a≠b，那么|a|≠|b|；(2)如果a>b，那么|a|>|b|；(3)如果|a|>|b|，那么a>b；(4)如果|a|≠|b|，那么a≠b。正确的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2、若，则a、b关系是（
）
A.a、b的绝对值相等
B.a、b异号
C.a+b的和是非负数
D.a、b同号或其中至少有一个为零
3、若ab≠0,则的取值不可能是（
）
A.0
B.
1
C.
2
D.
-2
4、已知+
b＞0,则a-b=
.
5、如果，那么x=
.
6、若=0，求a2-b的倒数的相反数。
7、（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？
（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？
（3）求的最小值。
（4）求的最小值。
考点4：科学记数法
1、用科学记数法表示：32600000000=
；0.000000028=
.
2、3.4030×105保留两个有效数字是
，精确到千位是
.
3、用四舍五入法求30951的近似值（要求保留三个有效数字），结果是
.
【例题精讲：一次方程】
考点1：概念及性质（未知数系数不为0，次数为1次；另外，在带有字母的一次方程中，需辨别哪一个是未知数）
1、下列各式中：①；②；③；④；⑤；
⑥；⑦；⑧．哪些是一元一次方程？
2、当m=
时，是一元一次方程。
3、若x=3是方程的解，则a=
；若代数式的值与0.5互为
倒数，则x=
。
4、已知是关于x的一元一次方程，则a=
；b=
；x=
。
5、若关于x的方程的解为1，那么
。
6、已知关于x的方程的解满足方程，则m=
。
7、当x=
时，代数式与的值互为相反数。
考点2：计算（去分母时注意每一项都需乘公分母，另外注意符号的变化）
2、
考点3：应用题
1、某地居民生活用电基本价格为0.50元/度。规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元,则a
=
度。
2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
【例题精讲：一次不等式（组）】
考点1：性质
判断
（1）如果a>b,c≠0是否一定能得到ac>bc
（
）
（2）如果ac（
）
（3）如果a>b且c=d，则ac>bd
（
）
（4）若a>b则
（
）
（5）若
，则
a（
）
（6）若a>b，则
（
）
2、若m＞n，则下列不等式中不一定成立的是（
）
A.m＋a＞n＋a
B.－5m＜－5n
C.ma2＞na2
D.a－m＜a－n
3、当a满足条件
时，由ax>5可得；当a满足条件
时，可得.
考点2：解不等式（组）
（3）
（4）
考点3：应用题（多为求出一个范围，找到其中的整数解）
【例题精讲：二元一次方程组】
考点1：概念
1、判断：
（1）方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（
）
（2）由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（
）
（3）若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2
（
）
（4）方程组有无数多个解（
）
（5）方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5
（
）
（6）在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（
）
2、简答：
（1）当a、b满足什么条件时，方程(2b2-18)x=3与方程组都无解.
（2）a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等？
（3）m取什么整数值时，方程组的解：
(1)是正数；
(2)是正整数？并求它的所有正整数解。
试求方程组的解.
考点2：计算（可见补充练习）
考点3：应用题
1、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
2、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？
3、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
4、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。
【家庭作业——期中测试卷】
（满分100分，
时间90分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得
分
一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分）
1.下列方程是一元一次方程的是（
）
A.；
B.；
C.
；
D.
.
2.下列结论正确的是（
）
A.如果，那么；
B.如果，那么；
C.
如果，那么；
D.
如果，那么.
3.学校、家、书店依次座落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边100米，张明同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了-70米，此时张明的位置在（
）
A.家；
B.学校；
C.
书店；
D.
不在上述位置.
4.据统计，在2020年春节联欢晚会中，国内有225家电视频道同步转播，全球有170多个国家和地区进行直播，海内外观众总规模达1232000000人.
试将1232000000用科学记数法表示且保留两位有效数字为（
）
A.；
B.
；
C.
；
D.
.
5.如果，那么下列不等式成立的是（
）
A.；
B.
；
C.
；
D.
.
6.有理数a、b在数轴上对应的点A、B的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A.2个；
B.
3个；
C.
4个；
D.
5个.
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得
分
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
7.计算：=
.
8.计算：=
.
9.如果x=2、y=1是方程的一个解，那么a=
.
10.方程的解是
.
11.比较大小：.
12.不等式的最小整数解是
.
13.
0.3的倒数减去x的4倍所得的差不大于x的，用不等式表示为
.
14.近似数精确到
位.
15.如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点是点
.
16.在向
“希望工程”献爱心活动中小明、小红共捐款36元，其中小明的捐款比小红的捐款的1.5倍少4元，问小明、小红各捐款多少元？如果设小红捐款x元，那么小明的捐款是
元，根据题意可列方程是
.
17.若，则x=
，y=
.
18.下列算式：，…通过观察，用你所发现的规律，直接写出的个位数字是
.
评卷人
得
分
三、解答题（本大题共8题，第19~23题，每题6分，第24、25题每题7分，第26题8分，满分52分）
19.计算：.
20.
计算：.
21.解方程：.
22.解不等式：.
23.解不等式组：，并把解集表示在数轴上.
24.某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个.
两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
25.
“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车租金每辆为460元.
（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？
（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，那么应各租这两种车多少辆？
26.阅读下列材料并解答问题：
求的值.
解：可令，
则，
由②－①得:即，所以.
请你仿照以上的推理方法，试计算的值.
