第9讲
二元一次方程与二元一次方程组的解法
知识精要
二元一次方程
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解得全体叫做这个二元一次方程的解集。
二元一次方程组
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。
三、二元一次方程组的解法
1、二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
（注：这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。）
2、灵活消元
（1）整体代入法
（2）先消常数法
（3）设参代入法
（4）换元法
【典型例题】
类型一、二元一次方程组的相关概念
1.在下列方程中，只有一个解的是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式1】若关于x、y的方程是二元一次方程，则m
=
．
【变式2】已知方程组有无数多个解，则a、b
的值等于
?．
?
?
类型二、二元一次方程组的解法
?
2.
(黄冈调考)解方程组
【变式】(换元思想)解方程组
3.方程的整数解的个数是
．
【变式】已知二元一次方程组
的解为，，则
.
类型三、实际问题与二元一次方程组
4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.
【变式】如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.
5.已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：
甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
【变式2】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间宿舍住6人，则有一间只住4人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数.
热身练习
1．下列方程中，是二元一次方程的是（
）
A．3x－2y=4z
B．6xy+9=0
C．+4y=6
D．4x=
2、下列方程组中，是二元一次方程组的是（
）
A．
3、二元一次方程5a－11b=21
（
）
A．有且只有一解
B．有无数解
C．无解
D．有且只有两解
4、若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（
）
A.
B.
C.
D.
5、在方程中，用含的代数式表示，则?（
）
A.
B.
C.
D.
6、4x+1=m(x－2)+n(x－5),则m、n的值是（
）
B.
C.
D.
7、二元一次方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
二元一次方程4x-3y+5=0时，用含x的代数式表示y，则
，用含y的代数式表示x，则x=
。
二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=
.
10、方程2x+y=5的正整数解是
。
11、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则=
。
12、二元一次方程有一个公共解,则m=______,n=_____。
13、已知是方程的一个解,则。
14、方程组的解是________________。
15、解下列方程组
（1）
（2）
代数式,当时，它的值是7；当时，它的值是4，试求时代数式的值。
巩固练习
1、下列方程中，是二元一次方程的有（
）
①
②
③
④
mn+m=7
⑤
x+y=6
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、下列方程中，是二元一次方程组的是
（
）
①
②
③
④
①②③
B、②③
C、③④
D、①②
3、某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.
若设捐款2元的有名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可得方程组（
）.
（A）（B）（C）（D）
4、二元一次方程x+2y=12在正整数解有(
)组.
A.
3
B.
4
C.
5
D.
无数
5、若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程
的解，则k的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
6、方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（
）
A．
若是二元一次方程，则值等于__________.
在二元一次方程3x+2y=4中，用含x的代数式表示y
,可得到_______.
二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
10、已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
11、若方程组
的解x和y的值相等，
那么k的值等于_______.
12、已知的解，则m=_______，n=______．
13、解下列方程组
14、在y=中,当时y的值是,时y的值是,时y的值是,求的值,并求时y的值。
15、已知方程组的解满足方程，求m的值。
自我检测
1．方程2x－=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、在方程组、、、、
、中，是二元一次方程组的有（
）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
3、已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
4、若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是(
)
A.
1
B.
-1
C.
0
D.
2
5、二元一次方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
6、若5x-6y=0，且，则的值等于（
）
（A）
（B）
（C）1
（D）-1
7、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（
）
（A），b=-4
（B），b=4
（C），b=4
（D），b=-4
8、已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．
9、写出二元一次方程2x-y=4的一组正整数解 。
10、当m=____时，xm-1+(m-3)x+y=3是二元一次方程。
11、若│x－2│+（3y+2）2=0，则的x,y的值分别是x=
y=
12、若是方程组的解，则
。
13、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；
14、解下列方程
(
其中为常数)
15、对于有理数x、y定义新运算：x
y＝ax＋by＋5，其中a，b为常数．已知1
2＝9，(－3)
3＝2，求a，b的值
16、已知关于x、y的方程组和方程组的解相同，求a、b值.第9讲
二元一次方程与二元一次方程组的解法
知识精要
二元一次方程
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解得全体叫做这个二元一次方程的解集。
二元一次方程组
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。
三、二元一次方程组的解法
1、二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
（注：这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。）
2、灵活消元
（1）整体代入法
（2）先消常数法
（3）设参代入法
（4）换元法
【典型例题】
类型一、二元一次方程组的相关概念
1.在下列方程中，只有一个解的是（
）
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案
【答案】C.
【解析】选项A、B、D中，将方程，两边同乘以3得，从而可以判断A、B选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C.
【总结升华】在（其中，，，均不为零），
（1）当时，方程组无解；（2）当，方程组有无数组解；
（3）当，方程组有唯一解．
【变式1】若关于x、y的方程是二元一次方程，则m
=
．
【答案】1．
【变式2】已知方程组有无数多个解，则a、b
的值等于
?．
?
?
【答案】a＝﹣3，b＝﹣14．
类型二、二元一次方程组的解法
?
2.
(黄冈调考)解方程组
【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一个整体，消去(x-y)可得到一个关于y的一元一次方程．
【答案与解析】
解：由①×9得：6(x-y)+9y＝45
③
②×4得：6(x-y)-10y＝-12
④
③-④得：19y＝57，
解得y＝3．
把y＝3代入①，得x＝6．
所以原方程组的解是．
【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果．
【变式】(换元思想)解方程组
【答案】
解：设，．
则原方程组可化为，解得．
所以
即．
∴
．
3.方程的整数解的个数是
．
【思路点拨】把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是1与0，于是一个方程裂变为多个方程组，通过解方程组来求解的个数．
【答案】2组
【解析】
解：由条件得或
即
或
即或或或，
解得，或或或
【总结升华】根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解，然后再所求得出答案．
【变式】已知二元一次方程组
的解为，，则
.
【答案】11.
类型三、实际问题与二元一次方程组
4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.
【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出一个关于x、y的二元一次方程组.
【答案与解析】
解：设每块地砖的长为xcm与宽为ycm，根据题意得：
，解得：
答：每块地砖长为45cm，宽为15cm
【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系.
【变式】如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.
【答案】
解：设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：
，解得
所以阴影部分的面积为：.
答：图中阴影部分的面积为82.
5.已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案与解析】
【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数．
【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：
甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
【答案】
解：（1）
（元）
答：乙班比甲班少付出49元．
（2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果、千克，则依据题意得：
①当，，则有：
，解得：，经检验满足题意；
②当，，则有：
，解得：，经检验不满足题意；
③当，，则有：，不满足题意．
答：甲班第一次购买苹果28千克，第二次购买42千克．
【变式2】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间宿舍住6人，则有一间只住4人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数.
【答案】
解：设该年级有寄宿生x人，宿舍y间.
答：该年级寄宿生有94人，宿舍18间.
热身练习
1．下列方程中，是二元一次方程的是（
D
）
A．3x－2y=4z
B．6xy+9=0
C．+4y=6
D．4x=
2、下列方程组中，是二元一次方程组的是（
A
）
A．
3、二元一次方程5a－11b=21
（
B
）
A．有且只有一解
B．有无数解
C．无解
D．有且只有两解
4、若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（
C
）
A.
B.
C.
D.
5、在方程中，用含的代数式表示，则?（
A
）
A.
B.
C.
D.
6、4x+1=m(x－2)+n(x－5),则m、n的值是（
C
）
B.
C.
D.
7、二元一次方程组的解是（
C
）
A．
B．
C．
D．
二元一次方程4x-3y+5=0时，用含x的代数式表示y，则
，用含y的代数式表示x，则x=
。
二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=
-4，，，0
.
10、方程2x+y=5的正整数解是
或
。
11、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则=
。
12、二元一次方程有一个公共解,则m=___1___,n=__-2___。
13、已知是方程的一个解,则。
14、方程组的解是________________。
15、解下列方程组
（1）
（2）
解：
解：
代数式,当时，它的值是7；当时，它的值是4，试求时代数式的值。
解：由题可得，解得
则当时，
巩固练习
1、下列方程中，是二元一次方程的有（
A
）
①
②
③
④
mn+m=7
⑤
x+y=6
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、下列方程中，是二元一次方程组的是
（
C
）
①
②
③
④
①②③
B、②③
C、③④
D、①②
3、某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.
若设捐款2元的有名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可得方程组（
A
）.
（A）（B）（C）（D）
4、二元一次方程x+2y=12在正整数解有(
C
)组.
A.
3
B.
4
C.
5
D.
无数
5、若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程
的解，则k的值为（
B
)
（A）
（B）
（C）
（D）
6、方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（
C
）
A．
若是二元一次方程，则值等于__________.
在二元一次方程3x+2y=4中，用含x的代数式表示y
,可得到_______.
二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
10、已知是方程x－ky=1的解，那么k=___-1____．
11、若方程组
的解x和y的值相等，
那么k的值等于__11_____.
12、已知的解，则m=__2_____，n=___4___．
13、解下列方程组
解：
解：
解：
解：
解：
解：
14、在y=中,当时y的值是,时y的值是,时y的值是,求的值,并求时y的值。
解：当时。
15、已知方程组的解满足方程，求m的值。
解：的值为2,。
自我检测
1．方程2x－=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（
B
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、在方程组、、、、
、中，是二元一次方程组的有（
C
）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
3、已知，则（
C
）
A.
B.
C.
D.
4、若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是(
A
)
A.
1
B.
-1
C.
0
D.
2
5、二元一次方程组的解是（
A
）
A．
B．
C．
D．
6、若5x-6y=0，且，则的值等于（
A
）
（A）
（B）
（C）1
（D）-1
7、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（
A
）
（A），b=-4
（B），b=4
（C），b=4
（D），b=-4
8、已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：______；用含y的代数式表示x为：________．
9、写出二元一次方程2x-y=4的一组正整数解 。
10、当m=__1__时，xm-1+(m-3)x+y=3是二元一次方程。
11、若│x－2│+（3y+2）2=0，则的x,y的值分别是x=
2
y=
12、若是方程组的解，则
。
13、已知方程组有无数多解，则a=__3____，m=__-4____；
14、解下列方程
解：
解：
(
其中为常数)
解：
解：
15、对于有理数x、y定义新运算：x
y＝ax＋by＋5，其中a，b为常数．已知1
2＝9，(－3)
3＝2，求a，b的值
解：，
16、已知关于x、y的方程组和方程组的解相同，求a、b值.
解：，
