第15讲
期末复习
知识精要
一、有理数
1、正数：比大的数。
负数：像、、、等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于。
2、用正、负数表示相反意义的量：
3、有理数:按定义整数与分数统称有理数。
注：⑴正数和零统称为非负数；
⑵负数和零统称为非正数；
⑶正整数和零统称为非负整数；
⑷负整数和零统称为非正整数。
数轴：规定了原点、正方向、和单位长度的直线叫做数轴。
（三要素：正方向、单位长度、原点。）
相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（零的相反数是零，互为相反数的和为零。)
7、绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
（注：一个正数的绝对值是他本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，两个负数绝对值大的哪个数反而小。）
科学计数法：把一个数写成。
例1、下列说法中不正确的是（
C
）.
(A)0是绝对值最小的数．
(B)
0既不是正数也不是负数．
(C)任何有理数都有倒数．
(D)
任何有理数都有相反数．
例2、一个数的倒数是它的本身，这个数是（
D
）
（A）0；
（B）1；
（C）－1；
（D）1或－1．
例3、数轴上到原点的距离等于3的点表示的数是__________．
例4、7043000用科学记数法表示是__________．
例5、两个有理数之和等于零，那么这两个有理数必须是（
C
）
（A）都是零
（B）相等
（C）互为相反数
（D）有一个数是零
有理数运算
1、有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
4、
有理数的除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.
即：（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。）
5、有理数的乘方：求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。
6、乘方运算的符号规律：
(1)正数的任何次幂都是正数；
(2)负数的奇次幂是负数；
(3)负数的偶次幂是正数；
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0，所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
7、有理数的混合运算：有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
例6、的倒数是
.
例7、计算：
.
例8、；
.
解：；；
二、一次方程（组）和一次不等式（组）
1、列方程的方法：（1）根据题设条件设未知数（一般设所求的量为未知数）；
（2）找未知数与已知数之间的等量关系。
2、方程中的项、系数、次数等概念
项：在方程中，被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项；
未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；
项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数；
3、一元一次方程
只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程；
等式性质：
性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，所得结果仍是等式；
性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
4、解一元一次方程的基本步骤：
（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
（2）去括号：一般地，先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，把常数项或已知的字母移到方程的另一边。
（4）化为最简形式：把方程化成的形式。
（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解。
5、不等式
1、不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上或（减去）同一个数或式子，不等号的方向不变。
可用符号表示为：
若＞，则
>
2、不等式的基本性质二：
不等式的两边都乘以或（ 除以 ）同一个正数，不等号的方向
不变。
可用符号表示为：
若＞，＞0，则
>
，或
>
3、不等式的基本性质三：不等式的两边都乘以或（除以）同一个负数
，不等号的方向改变。可用符号表示为：
若＞，＜0，则
<
，或
<
不等式的其他性质
性质1:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(不等式的加法法则)
性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac性质3
:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质4:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(不等式的可乘性)
性质5:
如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0性质7:如果a≥b
c>b
那么c大于等于a
4、
不等式的解集
（1）不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解集：不等式的解的全体叫做不等式的解集。
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做不等式的解集。
（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向。大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆。
注：方程的解是的个数是有限的，而不等式的解是无限，因此用解集来表示不等式的解得全体。
5、一元一次不等式
一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.
一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成或的形式（其中）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
6、一元一次方程的应用
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系；
（2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子；
（3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。
2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:
（1)和差倍分问题
增长量＝原有量×增长率
现在量＝原有量＋增长量
（2）数字问题
一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。
十位数可表示为，
百位数可表示为。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
（3）市场经济问题
①商品利润＝商品售价－商品成本价
②商品利润率＝×100%
③商品销售额＝商品销售价×商品销售量
④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。
（4）行程问题
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
①相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
②追及问题：
快行距－慢行距＝原距
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。
(5)工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
(6)储蓄问题
利润＝×100%
利息＝本金×利率×期数
6、二元一次方程
1）含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。
2）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
3）二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解得全体叫做这个二元一次方程的解集。
7、二元一次方程组
1）有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
2）在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。
3）三、二元一次方程组的解法
a、二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
b、灵活消元
（1）整体代入法
（2）先消常数法
（3）设参代入法
（4）换元法
（5）简化系数法
例9、“的一半减去5所得的差不小于3”，用不等式表示
．
例10、
如果，那么
<
.
例11、知是方程的解，那么
.
例12、甲数为，乙数为，甲、乙两数之和为15，甲数比乙数大3.根据题意可列方程组
.
例13、下列方程组中属于二元一次方程组的有（
B
）
（1）
（2）
（3）
（4）
（A）1个；
（B）2个；
（C）3个；
（D）4个．
例14、解方程：．
解：
例15、解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
解：
例16、解方程组：
解：
例17、开学初，小芳和小亮去文具店购买商品，小芳用18元买了1支钢笔和3本笔记本，小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本，求每支钢笔和笔记本的单价。
解：钢笔3元，笔记本5元。
线段与角的画法
1，线段的大小比较的方法：①度量法，②叠合法。
2，中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
3，线段的和、差、倍、分计算
1、线段上有1个点。如线段AB上有一点M
和：AB=
AM
+
MB
差：AM=
AB
—
MB
BM=
AB
—
AM
特别：当M是线段的中点时。
倍：AB=
2
AM=
2
BM
分：AM=
AB
BM=
AB
2、线段上有2个点。如点M、N是线段AB上的两个点。
和：AB=
AM
+
MN
+
BN
；
AN=
AM
+
MN
；
MB=
MN
+
BN
差：AM=AB—
BM
;
AM=AN—
MN
;
MN=AB—
AM
—
BN
;
MN=AN—
AM
MN=MB—
BN
;
NB=AB—
AN
;
NB=MB—
MN
。
4，角
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
(1)
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
(2)
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）.
表示方法
表示方法
用三个大写字母来表示
用一个大写字母来表示
用数字来表示角
用希腊字母来表示角
图示
角平分线:
从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.
互余：如果两个角的度数和是，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。（其中一个角称为另一个角的余角。)
互补：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。（其中一个角称为另一个角的补角。）
（注：同角（或等角）的余角和补角相等。）
角的度量单位换算：
例18、若∠α的余角是56°36′，则∠α的补角是
146
°
36
′
．
例19、已知直线AB上有一点C，AC=2AB，如果AB=3cm，则BC=
3或9cm
．
例20、点A在点B的北偏东80°方向上，点C在射线BA与正北方向夹角的角平分线上，那么点C位于点B____北偏东40_°____处．
例21、如图，已知线段的长为．
（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且；
（2）在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，
求线段的长．
解：2）3.5cm或1.4cm。
例22、如图，点、、在一直线上，是的平分线，，，．
（1）求：的度数；（请写出解题过程）
（2）如以为一边，在的外部画，问边与边成一直线吗？请说明理由．
解：1）=140°。
2）成一直线。
四，长方体的再认识
1，长方体的特征。
（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱。
（2）长方体的每个面都是长方形。
（3）长方体的12条棱可以分为三组，每组中四条棱的长度都相等。
（4）长方体的6个面可分为3组，每组中相对的两个面的形状和大小均相同。
2，长方体中棱与平面的位置关系
直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线,读作：直线PQ垂直于平面ABCD。
2、检验直线与平面垂直的方法：
（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直；
（2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；
（3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；
3、直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线,读作：直线PQ平行于平面ABCD。
4、检验直线与平面平行的方法：
（1）
铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。
长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。
3，长方体中平面与平面的位置关系
1、平面垂直于平面，记作：,读作：平面垂直于平面。
2、检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线法，（2）三角尺法；（3）
合页型折纸法。
3、平面平行于平面，记作：,读作：平面平行于平面。
4、检验平面与平面平行的方法：
长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。
4，长方体中的棱与棱，棱与平面，面与面的位置关系：
1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；
2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；
3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；
4、长方体中与某条棱平行的面有2个；
5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；
6、长方体中与某个面平行的棱有4条；
7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；
8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；
9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。
例23、如图，在长方体ABCD－EFGH中，与棱CD垂直的面有__2__个．
例24、如图，在长方体ABCD－EFGH中，与面ADHE平行的面是________BCGF。__________．
例25、在下面图形的基础上，补画长方体（虚线表示被遮住的线段）
例26、八个棱长为10厘米的正方体拼成一个长方体.
不同的拼法得出的长方体的体积是否相等？是多少？
(2)长方体的表面积是多少？
解：1）相等。0.08立方米。
2）0.2平方米（0.1,0.1,0.8）；0.28平方米（0.1,0.2,0.4）
自我测试
一、选择题
1、下列代数式中，值一定是正数的是(
C
)
A．
B.
C.
D.
2、若方程组
的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10的解，则ｋ的值是（
B
）
Ａ、＝６
Ｂ、＝１０ Ｃ、＝９ Ｄ、＝
不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是(
C
)．
(A)m≤2
(B)m≥2
(C)m≤1
(D)m≥1
4、一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程．设上山速度为x千米/分钟，则所列方程为（
D
）
A．x－1=5（1.5x）
B．3x+1=50（1.5x）
C．3x－1=
5（1.5x）
D．180x+1=150（1.5x）
5、如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数和互余两角的对数分别为（
C
）
Ａ．3；3
Ｂ.4；4
Ｃ.5；4
Ｄ.7；5
二、填空题
6、相反数等于本身的数是
0
，倒数等于本身的数是
，绝对值等于本身的数是非负数
。
7、已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=
-1
时，方程为一元一次方程；当k=1时，方程为二元一次方程。
8、已知是二元一次方程组的解,则的值是
0
。
9、已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是
。
10、已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=
___
MN．
11、
已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，
则∠AOC=____80°或40°__度
12、153°19′46″+
25°55′32″=__179___°__15__′__18__″；
86°19′27″+
7°23′58″×3
=
__108__°_32_′_21_″。
13、如下图，高速公路上，一辆长为4米、速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间x约是___5.76___秒。
14、检验平面与直线是否平行可用
长方形纸片检验
或
铅垂线
方法检验。
15、对于整数a，b，c，d，定义，已知，则b＋d的值为_、__。
三、计算题
16、
解：参考答案
解：
解：参考答案
解：
解答题
20、如图，已知和
（1）作，使
（2）画出的平分线(保留作图痕迹)
答：略
21、a取哪些值，方程组的解x和y都是正数。
解：
22、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品的总利润为元，其中甲种产品生产件数为件，试写出与之间的关系式，并利用这个关系式说明那种方案获利最大？最大利润是多少？
解:（1）设A产品X件，B产品（50-X）件。X为整数
9X+4(50-X)360
3X+10(50-X)290
得
30X32
所以
①X=30,50-X=20；②X=31,50-X=19；③X=32,50-X=18
所以有三种方案
Y=700X+1200(50-X)=-500X+60000；所以X为最小值是，Y最大为45000元
23、六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具套，B种玩具套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，
型
号
Ａ
Ｂ
C
进价(元／套)
40
55
50
售价(元／套)
50
80
65
⑴用含、的代数式表示购进C种玩具的套数；
⑵用含代数式表示y；并写出满足条件的购进方案
⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。
①用(套)代数式表示利润P(元)；
②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套。
解：1）购进C种玩具套数为：50－x－y（或47－
x－
y）
（2）由题意得40x+55y+50（x-y）=2350
整理得y=2x-30y
（3）①
又∵y=2x-30y
∴整理得p=15x+250
②购进C种电动玩具的套数为：
50-x-y=50-x-（2x-30=80-3x
据题意列不等式组
，解得
∴x的范围为
，且x为整数
x的最大值是23
∵在p=15x+250中，
k=15＞0
∴P随x的增大而增大
∴当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元．此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．
x第15讲
期末复习
知识精要
一、有理数
1、正数：比大的数。
负数：像、、、等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于。
2、用正、负数表示相反意义的量：
3、有理数:按定义整数与分数统称有理数。
注：⑴正数和零统称为非负数；
⑵负数和零统称为非正数；
⑶正整数和零统称为非负整数；
⑷负整数和零统称为非正整数。
数轴：规定了原点、正方向、和单位长度的直线叫做数轴。
（三要素：正方向、单位长度、原点。）
相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（零的相反数是零，互为相反数的和为零。)
7、绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
（注：一个正数的绝对值是他本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，两个负数绝对值大的哪个数反而小。）
科学计数法：把一个数写成
例1、下列说法中不正确的是（
）.
(A)0是绝对值最小的数．
(B)
0既不是正数也不是负数．
(C)任何有理数都有倒数．
(D)
任何有理数都有相反数．
例2、一个数的倒数是它的本身，这个数是（
）
（A）0；
（B）1；
（C）－1；
（D）1或－1．
例3、数轴上到原点的距离等于3的点表示的数是__________．
例4、7043000用科学记数法表示是__________．
例5、两个有理数之和等于零，那么这两个有理数必须是（
）
（A）都是零
（B）相等
（C）互为相反数
（D）有一个数是零
有理数运算
1、有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
4、
有理数的除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.
即：（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。）
5、有理数的乘方：求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。
6、乘方运算的符号规律：
(1)正数的任何次幂都是正数；
(2)负数的奇次幂是负数；
(3)负数的偶次幂是正数；
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0，所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
7、有理数的混合运算：有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
例6、的倒数是
.
例7、计算：
.
例8、；
.
二、一次方程（组）和一次不等式（组）
1、列方程的方法：（1）根据题设条件设未知数（一般设所求的量为未知数）；
（2）找未知数与已知数之间的等量关系。
2、方程中的项、系数、次数等概念
项：在方程中，被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项；
未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；
项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数；
3、一元一次方程
只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程；
等式性质：
性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，所得结果仍是等式；
性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
4、解一元一次方程的基本步骤：
（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
（2）去括号：一般地，先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，把常数项或已知的字母移到方程的另一边。
（4）化为最简形式：把方程化成的形式。
（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解。
5、不等式
1、不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上或（减去）同一个数或式子，不等号的方向不变。
可用符号表示为：
若＞，则
>
2、不等式的基本性质二：
不等式的两边都乘以或（ 除以 ）同一个正数，不等号的方向
不变。
可用符号表示为：
若＞，＞0，则
>
，或
>
3、不等式的基本性质三：不等式的两边都乘以或（除以）同一个负数
，不等号的方向改变。可用符号表示为：
若＞，＜0，则
<
，或
<
不等式的其他性质
性质1:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(不等式的加法法则)
性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac性质3
:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质4:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(不等式的可乘性)
性质5:
如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0性质7:如果a≥b
c>b
那么c大于等于a
4、
不等式的解集
（1）不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解集：不等式的解的全体叫做不等式的解集。
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做不等式的解集。
（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向。大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆。
注：方程的解是的个数是有限的，而不等式的解是无限，因此用解集来表示不等式的解得全体。
5、一元一次不等式
一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.
一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成或的形式（其中）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
6、一元一次方程的应用
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系；
（2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子；
（3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。
2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:
（1)和差倍分问题
增长量＝原有量×增长率
现在量＝原有量＋增长量
（2）数字问题
一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。
十位数可表示为，
百位数可表示为。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
（3）市场经济问题
①商品利润＝商品售价－商品成本价
②商品利润率＝×100%
③商品销售额＝商品销售价×商品销售量
④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。
（4）行程问题
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
①相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
②追及问题：
快行距－慢行距＝原距
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。
(5)工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
(6)储蓄问题
利润＝×100%
利息＝本金×利率×期数
6、二元一次方程
1）含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。
2）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
3）二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解得全体叫做这个二元一次方程的解集。
7、二元一次方程组
1）有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
2）在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。
3）三、二元一次方程组的解法
a、二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
b、灵活消元
（1）整体代入法
（2）先消常数法
（3）设参代入法
（4）换元法
（5）简化系数法
例9、“的一半减去5所得的差不小于3”，用不等式表示
．
例10、
如果，那么
.
例11、知是方程的解，那么
.
例12、甲数为，乙数为，甲、乙两数之和为15，甲数比乙数大3.根据题意可列方程组
.
例13、下列方程组中属于二元一次方程组的有（
）
（1）
（2）
（3）
（4）
（A）1个；
（B）2个；
（C）3个；
（D）4个．
例14、解方程：．
例15、解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
例16、解方程组：
例17、开学初，小芳和小亮去文具店购买商品，小芳用18元买了1支钢笔和3本笔记本，小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本，求每支钢笔和笔记本的单价。
线段与角的画法
1，线段的大小比较的方法：①度量法，②叠合法。
2，中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
3，线段的和、差、倍、分计算
1、线段上有1个点。如线段AB上有一点M
和：AB=
AM
+
MB
差：AM=
AB
—
MB
BM=
AB
—
AM
特别：当M是线段的中点时。
倍：AB=
2
AM=
2
BM
分：AM=
AB
BM=
AB
2、线段上有2个点。如点M、N是线段AB上的两个点。
和：AB=
AM
+
MN
+
BN
；
AN=
AM
+
MN
；
MB=
MN
+
BN
差：AM=AB—
BM
;
AM=AN—
MN
;
MN=AB—
AM
—
BN
;
MN=AN—
AM
MN=MB—
BN
;
NB=AB—
AN
;
NB=MB—
MN
。
4，角
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
(1)
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
(2)
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）.
表示方法
表示方法
用三个大写字母来表示
用一个大写字母来表示
用数字来表示角
用希腊字母来表示角
图示
角平分线:
从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.
互余：如果两个角的度数和是，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。（其中一个角称为另一个角的余角。)
互补：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。（其中一个角称为另一个角的补角。）
（注：同角（或等角）的余角和补角相等。）
角的度量单位换算：
例18、若∠α的余角是56°36′，则∠α的补角是
．
例19、已知直线AB上有一点C，AC=2AB，如果AB=3cm，则BC=
．
例20、点A在点B的北偏东80°方向上，点C在射线BA与正北方向夹角的角平分线上，那么点C位于点B_________处．
例21、如图，已知线段的长为．
（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且；
（2）在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，
求线段的长．
例22、如图，点、、在一直线上，是的平分线，，，．
（1）求：的度数；（请写出解题过程）
（2）如以为一边，在的外部画，问边与边成一直线吗？请说明理由．
四，长方体的再认识
1，长方体的特征。
（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱。
（2）长方体的每个面都是长方形。
（3）长方体的12条棱可以分为三组，每组中四条棱的长度都相等。
（4）长方体的6个面可分为3组，每组中相对的两个面的形状和大小均相同。
2，长方体中棱与平面的位置关系
直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线,读作：直线PQ垂直于平面ABCD。
2、检验直线与平面垂直的方法：
（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直；
（2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；
（3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；
3、直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线,读作：直线PQ平行于平面ABCD。
4、检验直线与平面平行的方法：
（1）
铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。
长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。
3，长方体中平面与平面的位置关系
1、平面垂直于平面，记作：,读作：平面垂直于平面。
2、检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线法，（2）三角尺法；（3）
合页型折纸法。
3、平面平行于平面，记作：,读作：平面平行于平面。
4、检验平面与平面平行的方法：
长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。
4，长方体中的棱与棱，棱与平面，面与面的位置关系：
1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；
2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；
3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；
4、长方体中与某条棱平行的面有2个；
5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；
6、长方体中与某个面平行的棱有4条；
7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；
8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；
9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。
例23、如图，在长方体ABCD－EFGH中，与棱CD垂直的面有_____个．
例24、如图，在长方体ABCD－EFGH中，与面ADHE平行的面是__________________．
例25、在下面图形的基础上，补画长方体（虚线表示被遮住的线段）
例26、八个棱长为10厘米的正方体拼成一个长方体.
不同的拼法得出的长方体的体积是否相等？是多少？
(2)长方体的表面积是多少？
自我测试
一、选择题
1、下列代数式中，值一定是正数的是(
)
A．
B.
C.
D.
2、若方程组
的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10的解，则ｋ的值是（
）
Ａ、＝６
Ｂ、＝１０ Ｃ、＝９ Ｄ、＝
不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是(
)．
(A)m≤2
(B)m≥2
(C)m≤1
(D)m≥1
4、一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程．设上山速度为x千米/分钟，则所列方程为（
）
A．x－1=5（1.5x）
B．3x+1=50（1.5x）
C．3x－1=
5（1.5x）
D．180x+1=150（1.5x）
5、如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数和互余两角的对数分别为（
）
Ａ．3；3
Ｂ.4；4
Ｃ.5；4
Ｄ.7；5
二、填空题
6、相反数等于本身的数是
，倒数等于本身的数是
，绝对值等于本身的数是
。
7、已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=
时，方程为一元一次方程；当k=
时，方程为二元一次方程。
8、已知是二元一次方程组的解,则的值是
。
9、已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是
。
10、已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=
___
MN．
11、
已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，
则∠AOC=____
°__度
12、153°19′46″+
25°55′32″=_____°____′____″；
86°19′27″+
7°23′58″×3
=
____°__′__″。
13、如下图，高速公路上，一辆长为4米、速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间x约是_____秒。
14、检验平面与直线是否平行可用
或
方法检验。
15、对于整数a，b，c，d，定义，已知，则b＋d的值为__。
三、计算题
16、
解答题
20、如图，已知和
（1）作，使
（2）画出的平分线(保留作图痕迹)
21、a取哪些值，方程组的解x和y都是正数。
22、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品的总利润为元，其中甲种产品生产件数为件，试写出与之间的关系式，并利用这个关系式说明那种方案获利最大？最大利润是多少？
23、六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具套，B种玩具套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，
⑴用含、的代数式表示购进C种玩具的套数；
型
号
Ａ
Ｂ
C
进价(元／套)
40
55
50
售价(元／套)
50
80
65
⑵用含代数式表示y；并写出满足条件的购进方案
⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。
①用(套)代数式表示利润P(元)；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套。
x
