第8讲
用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组
知识精要
一、不等式的解集
不等式解的全体叫做不等式的解集。（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。）
不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。如：
在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:
同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,
那么它表示x取那些数？
此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:
引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：
小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。
一元一次不等式组
1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
4、解一元一次不等式组的一般步骤是:
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）在数轴上表示各个不等式的解集；
（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。
【典型例题】
例1.
解不等式
【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量x（单位：度）
电费价格（单位：元/度）
0＜x≤200
a
200＜x≤400
b
x＞400
0.92
（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．
（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？
例3.
解不等式组：
，并求出正整数解。
【变式】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
例4.若关于x,y的方程组的解满足，求k的整数值.
【变式】m为何值时，关于x的方程：
的解大于1？
例5.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
热身练习
1、－3x≤6的解集是
（
）
A.
B.
C.
D.
2、用不等式表示图中的解集,其中正确的是(
)
A.
x≥－2
B.
x＞－2
C.
x＜－2
D.
x≤－2
3、下列说法中,错误的是(
)
A.不等式x＜5的整数解有无数多个
B.不等式x＞－5的负数解集有有限个
C.不等式－2x＜8的解集是x＜－4
D.－40是不等式2x＜－8的一个解
4、下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（
）
A．
B．
C．
D．
5、下列说法正确的是（
）
A．不等式组的解集是5B．的解集是－3C．的解集是x=2
D．的解集是x≠3
6、不等式组的最小整数解为（
）
A．－1
B．0
C．1
D．4
7、不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是________。
8、一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是＿＿＿.
若不等式组有解，则m的取值范围是______。
不等式组的整数解是
。
关于x的不等式组的解集为-1<1，则ab_________。
同时满足不等式7x
+
4≥5x
–
8和的整解为
。
13、解不等式≥，并把解集在数轴上表示出来；
解不等式组
15、已知a＝，b＝，且a＞2＞b，那么求x的取值范围。
巩固练习
1、下列4种说法：①
x＝是不等式4x－5＞0的解；②
x＝是不等式4x－5＞0的一个解；③
x＞是不等式4x－5＞0的解集；④
x＞2中任何一个数都可以使不等式4x－5＞0成立，所以x＞2也是它的解集，其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（
）
3、
不等式的解集在数轴上表示正确的是
（
）
4、若不等式组有解，则a的取值范围是
（
）
A．a＞－1
B．a≥－1
C．a≤1
D．a＜1
5、若，关于的不等式组的解集是
（
）
A.
B.无解
C.
D.
6、不等式组的最大整数解是
（
）
A.0
B.－1
C.－2
D.1
7、把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8、把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是
。
9、若不等式组的解集为－1＜＜1，那么的值等于
。
10、若不等式组的解集是－111、如果的解集是x<2，则a的取值范围是_____；
12、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）
（2）
13、若不等式组无解，求m的取值范围．
14、先阅读不等式x2+5x－6<0的解题过程，然后完成练习．
解：因为x2+5x－6<0，所以（x－1）（x+6）<0．
因为两式相乘，异号得负．
所以
或
即（舍去）或
所以不等式x2+5x－6<0的解集为－6练习：利用上面的信息解不等式<0．
自我测试
1、a、b、c在数轴上的对应点的位置如图1所示，下列式子中正确的有（
）
图1
b+c>0，a+b>a+c，bc>ac，ab>ac
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
2、不等式组的解集在数轴上可以表示为（
）
A
B
C
D
3、若不等式组的解是x>3，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4、
关于x的不等式组
有四个整数解，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5、不等式组的整数解中最大、最小两数分别为 （
）
A.0，－1
B.0，1
C.0，－2
D.1，－1
6、解不等式并把解集在数轴上表示出来：≥.
7、不等式组的解集为________________.
8、若有解，则m的取值范围
9、若的解为x＞3，则a的取值范围
10、已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是
。
11、对于整数a,b,c,d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d的值是____________。
12、解下列方程组，并用数轴表示解集
(1)
(2)
13、关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围．第8讲
用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组
知识精要
一、不等式的解集
不等式解的全体叫做不等式的解集。（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。）
不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。如：
在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:
同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,
那么它表示x取那些数？
此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:
引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：
小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。
一元一次不等式组
1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
4、解一元一次不等式组的一般步骤是:
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）在数轴上表示各个不等式的解集；
（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。
【典型例题】
例1.
解不等式
【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．
【答案与解析】
解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x-5)，
去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20，
移项，得8x+3x+4x＞8+20-3，
合并同类项，得15x＞25，
系数化为1．得．
∴不等式的解集为．
【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：
ax＝b
ax＞b
ax＜b
解：当a≠0时，；
当a＝0，b≠0时，无解；
当a＝0，b＝0时，x为任意有理数．
解：当a＞0时，；
当a＜0时，；
当a＝0，b≥0时，无解；
当a＝0，b＜0时，x为任意有理数．
解：当a＞0时，；
当a＜０时，；
当a＝0，b≤0时，无解；
当a＝0，b＞0时，x为任意有理数．
【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解：去分母得5x-1-3x＞3，
移项、合并同类项，得2x＞4，
系数化为1，得x＞2，
解集在数轴上的表示如图所示．
例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量x（单位：度）
电费价格（单位：元/度）
0＜x≤200
a
200＜x≤400
b
x＞400
0.92
（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．
（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？
【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；
（2）根据题意列不等式，解不等式．
【答案与解析】
解：（1）根据题意得：，
解得：．
（2）设李叔家六月份最多可用电x度，
根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，
解得：x≤450．
答：李叔家六月份最多可用电450度．
【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关系是关键．
例3.
解不等式组：
，并求出正整数解。
【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分。
【答案与解析】
解：由不等式①得≤2，
由不等式②得，
∴由①②得，即
∴原不等式组的解集是，正整数解为1,2．
【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的特殊解．
【变式】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：．
例4.若关于x,y的方程组的解满足，求k的整数值.
【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组.
【答案与解析】
解：解方程组
∵，
解得：,
∴整数k的值为0，1，2.
【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值.
【变式】m为何值时，关于x的方程：
的解大于1？
【答案】
解：由，得，
∴，解得．
∴当时，关于x的方程：
的解大于1.
例5.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆．根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆．根据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②租车资金不超过1500元．列不等式组分析求解．
【答案与解析】
解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：
,
解得：.
∴（人）.
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得：
，
解这个不等式组，得．
∵取正整数，∴=
2.
∴4－
=
4－2
=
2（辆）.
∴320×2＋400×2
=
1440（元）.
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
热身练习
1、－3x≤6的解集是
（
A
）
A.
B.
C.
D.
2、用不等式表示图中的解集,其中正确的是(
A
)
A.
x≥－2
B.
x＞－2
C.
x＜－2
D.
x≤－2
3、下列说法中,错误的是(
C
)
A.不等式x＜5的整数解有无数多个
B.不等式x＞－5的负数解集有有限个
C.不等式－2x＜8的解集是x＜－4
D.－40是不等式2x＜－8的一个解
4、下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（
A
）
A．
B．
C．
D．
5、下列说法正确的是（
C
）
A．不等式组的解集是5B．的解集是－3C．的解集是x=2
D．的解集是x≠3
6、不等式组的最小整数解为（
B
）
A．－1
B．0
C．1
D．4
7、不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是________。
8、一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是＿1,2＿＿.
若不等式组有解，则m的取值范围是___m<2___。
不等式组的整数解是 -1,0
。
关于x的不等式组的解集为-1<1，则ab____
15_____。
同时满足不等式7x
+
4≥5x
–
8和的整解为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，。
13、解不等式≥，并把解集在数轴上表示出来；
解：
解不等式组
解：
15、已知a＝，b＝，且a＞2＞b，那么求x的取值范围。
解：
巩固练习
1、下列4种说法：①
x＝是不等式4x－5＞0的解；②
x＝是不等式4x－5＞0的一个解；③
x＞是不等式4x－5＞0的解集；④
x＞2中任何一个数都可以使不等式4x－5＞0成立，所以x＞2也是它的解集，其中正确的有（
B
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（
A
）
3、
不等式的解集在数轴上表示正确的是
（
A
）
4、若不等式组有解，则a的取值范围是
（
A ）
A．a＞－1
B．a≥－1
C．a≤1
D．a＜1
5、若，关于的不等式组的解集是
（
B
）
A.
B.无解
C.
D.
6、不等式组的最大整数解是
（
C
）
A.0
B.－1
C.－2
D.1
7、把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（
B
）
A．
B．
C．
D．
8、把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是
。
9、若不等式组的解集为－1＜＜1，那么的值等于
-6
。
10、若不等式组的解集是－111、如果的解集是x<2，则a的取值范围是_____；
12、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）
解：不等式(1)的解集为x≤0．不等式(2)的解集为x>－3．所以原不等式组的解集为－3（2）
解：
13、若不等式组无解，求m的取值范围．
错解：由不等式组无解可知2m－1>m+1，所以m>2．
正确解法：由题意得2m－1≥m+1时，因为原不等式组无解，所以m≥2．
14、先阅读不等式x2+5x－6<0的解题过程，然后完成练习．
解：因为x2+5x－6<0，所以（x－1）（x+6）<0．
因为两式相乘，异号得负．
所以
或
即（舍去）或
所以不等式x2+5x－6<0的解集为－6练习：利用上面的信息解不等式<0．
解：
自我测试
1、a、b、c在数轴上的对应点的位置如图1所示，下列式子中正确的有（
C
）
图1
b+c>0，a+b>a+c，bc>ac，ab>ac
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
2、不等式组的解集在数轴上可以表示为（
C
）
A
B
C
D
3、若不等式组的解是x>3，则m的取值范围是（
B
）
A．
B．
C．
D．
4、
关于x的不等式组
有四个整数解，则a的取值范围是（
A
）
A．
B．
C．
D．
5、不等式组的整数解中最大、最小两数分别为 （ D ）
A.0，－1
B.0，1
C.0，－2
D.1，－1
6、解不等式并把解集在数轴上表示出来：≥.
7、不等式组的解集为________________.
8、若有解，则m的取值范围
9、若的解为x＞3，则a的取值范围
10、已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是
。
11、对于整数a,b,c,d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d的值是____3________。
12、解下列方程组，并用数轴表示解集
(1)
(2)
解：(1)
(2)
13、关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围．
解：由不等式组的解可得知，所以a的取值范围为。
