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22.7 多边形的内角和与外角和
01 基础题
知识点1 多边形的内角和定理
1．内角和为540°的多边形是(
)
2．(2018·石家庄高邑县一模)若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(
)
A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
3．如图，在四边形ABCD中，如果∠A＋∠B＋∠C＝260°，那么∠D的度数为(
)
A．120°
B．110°
C．100°
D．90°
4．(2019·石家庄长安区期末)将一个n边形变成(n＋2)边形，内角和将(
)
A．减少180°
B．增加180°
C．减少360°
D．增加360°
5．(2020·唐山迁西县期末)如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（
）
．
6．如图，求图形中x的值．
知识点2 多边形的外角和定理
7．七边形的外角和为(
)
A．180°
B．360°
C．900°
D．1
260°
8．(2018·大庆)一个正n边形的每一个外角都是36°，则n＝(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
9．(2019·石家庄长安区一模)一个多边形的边数由原来的3增加到n时(n＞3，且n为正整数)，它的外角和(
)
A．增加(n－2)×180°
B．减小(n－2)×180°
C．增加(n－1)×180°
D．没有改变
10．有一个五边形，它的四个外角分别为111°，80°，30°，129°，则与第五个外角相邻的内角的度数是(
)
A．170°
B．10°
C．160°
D．20°
11．(2020·唐山遵化市一模)如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是(
)
A．10
B．11
C．12
D．13
12．(2020·宜昌)游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(
)
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
02 中档题
13．若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是(
)
A．七边形
B．八边形
C．九边形
D．十边形
14．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
15．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和(
)
A．比原多边形少180°
B．与原多边形一样
C．比原多边形多360°
D．比原多边形多180°
16．(教材P152例2变式)(2020·邯郸永年区期末)小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：
假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，则θ的度数为(
)
A．28°
B．30°
C．33°
D．36°
17．(2019·石家庄模拟)在图中，含30°的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1＋∠2＝（
）
18．(2018·抚顺)将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5＝（
）．
19．(2019·唐山遵化市一模)如图，在五边形ABCDE中，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
20．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．
21．(2020·邯郸永年区期末)如图，五边形ABCDE的内角都相等，EF平分∠AED，求证：EF⊥BC.
22．(2019·唐山丰南区二模)关于n边形，甲、乙、丙三位同学有以下三种说法：
甲：五边形的内角和为520°.
乙：正六边形每个内角为130°.
丙：七边形共有对角线14条．
(1)判断三种说法是否正确，并对其中你认为不对的说法用计算进行说明．
(2)若n边形的对角线共有35条，求该n边形的内角和．
03 综合题
23．在四边形ABCD中，若∠A＋∠D＝160°.
(1)如图，有一块直角三角板XYZ放置在四边形ABCD的边BC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.直角顶点X在四边形ABCD的内部，则∠ABC＋∠DCB＝（
），∠XBC＋∠XCB＝（
）．
(2)若改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，直角顶点X还在四边形ABCD的内部，那么∠ABX＋∠DCX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变，请求出∠ABX＋∠DCX的大小．
22.7 多边形的内角和与外角和
01 基础题
知识点1 多边形的内角和定理
1．内角和为540°的多边形是(C)
2．(2018·石家庄高邑县一模)若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(C)
A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
3．如图，在四边形ABCD中，如果∠A＋∠B＋∠C＝260°，那么∠D的度数为(C)
A．120°
B．110°
C．100°
D．90°
4．(2019·石家庄长安区期末)将一个n边形变成(n＋2)边形，内角和将(D)
A．减少180°
B．增加180°
C．减少360°
D．增加360°
5．(2020·唐山迁西县期末)如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°．
6．如图，求图形中x的值．
解：(1)根据图形可知：
x＝360－150－90－70＝50.
(2)根据图形可知：
x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65.
(3)根据图形可知：
x＋(x＋30)＋60＋x＋(x－10)＝540.
解得x＝115.
知识点2 多边形的外角和定理
7．七边形的外角和为(B)
A．180°
B．360°
C．900°
D．1
260°
8．(2018·大庆)一个正n边形的每一个外角都是36°，则n＝(D)
A．7
B．8
C．9
D．10
9．(2019·石家庄长安区一模)一个多边形的边数由原来的3增加到n时(n＞3，且n为正整数)，它的外角和(D)
A．增加(n－2)×180°
B．减小(n－2)×180°
C．增加(n－1)×180°
D．没有改变
10．有一个五边形，它的四个外角分别为111°，80°，30°，129°，则与第五个外角相邻的内角的度数是(A)
A．170°
B．10°
C．160°
D．20°
11．(2020·唐山遵化市一模)如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是(C)
A．10
B．11
C．12
D．13
12．(2020·宜昌)游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(A)
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
02 中档题
13．若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是(D)
A．七边形
B．八边形
C．九边形
D．十边形
14．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是(C)
A．6
B．7
C．8
D．9
15．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和(D)
A．比原多边形少180°
B．与原多边形一样
C．比原多边形多360°
D．比原多边形多180°
16．(教材P152例2变式)(2020·邯郸永年区期末)小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：
假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，则θ的度数为(B)
A．28°
B．30°
C．33°
D．36°
17．(2019·石家庄模拟)在图中，含30°的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1＋∠2＝180°．
18．(2018·抚顺)将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5＝40°．
19．(2019·唐山遵化市一模)如图，在五边形ABCDE中，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
解：∵∠EAB＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，
∴∠EAB＋∠ABC＝540°－∠C－∠D－∠E＝230°.
∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB＝∠EAB，∠ABP＝∠ABC.
∵∠P＋∠PAB＋∠PBA＝180°，
∴∠P＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝180°－(∠EAB＋∠ABC)＝180°－×230°＝65°.
20．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．
解：设多边形的每个外角为x°，则每个内角为(4x＋30)°.
∴x＋4x＋30＝180，解得x＝30.
360°÷30°＝12，
(12－2)×180°＝1
800°，
∴这个多边形的内角和是1
800°.
对角线的总条数为×(12－3)×12＝54.
答：这个多边形的内角和是1
800°，对角线的总条数是54条．
21．(2020·邯郸永年区期末)如图，五边形ABCDE的内角都相等，EF平分∠AED，求证：EF⊥BC.
证明：五边形内角和为(5－2)×180°＝540°.
∵5个内角都相等，
∴∠A＝∠B＝∠AED＝＝108°.
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF＝54°.
∵四边形的内角和为360°，
∴在四边形ABFE中，∠BFE＝360°－(108°＋108°＋54°)＝90°.
∴EF⊥BC.
22．(2019·唐山丰南区二模)关于n边形，甲、乙、丙三位同学有以下三种说法：
甲：五边形的内角和为520°.
乙：正六边形每个内角为130°.
丙：七边形共有对角线14条．
(1)判断三种说法是否正确，并对其中你认为不对的说法用计算进行说明．
(2)若n边形的对角线共有35条，求该n边形的内角和．
解：(1)甲、乙的说法不正确；丙的说法正确．
甲：正五边形的内角和为
180°×(5－2)＝540°.
乙：正六边形外角和为
360°，每个外角为
360°÷6＝60°，每个内角为
180°－60°＝120°.
(2)由题意，得＝35.
解得n＝10或n＝－7(不合题意，舍去)，
十边形的内角和为
180°×(10－2)＝1
440°.
03 综合题
23．在四边形ABCD中，若∠A＋∠D＝160°.
(1)如图，有一块直角三角板XYZ放置在四边形ABCD的边BC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.直角顶点X在四边形ABCD的内部，则∠ABC＋∠DCB＝200°，∠XBC＋∠XCB＝90°．
(2)若改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，直角顶点X还在四边形ABCD的内部，那么∠ABX＋∠DCX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变，请求出∠ABX＋∠DCX的大小．
解：不会发生变化．
∠ABX＋∠DCX＝∠ABC＋∠DCB－(∠XBC＋∠XCB)＝200°－90°＝110°.
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精品试卷·第
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22.7多边形的内角和与外角和
冀教版
八年级下
教学目标
1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念。
2.经历探索多边形内角和与外角和定理的过程，掌握多边形内角和与外角和定理，会用多边形内角和与外角和定理解决简单问题。
复习引入
1.什么是三角形？
2.三角形的内角和是多少？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的内角和是180°.
1.自学课本150至152页
2.通过自学对多边形的概念有初步的了解
由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成图形叫三角形
在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形
在平面内，由5条不在同一直线上的线段首尾顺次相组成的封闭图形叫做五边形
二、新知探索
平面上，由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形。
想一想：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
问题2
根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．
顶点
边
内角：多边形相邻两边组成的角
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
多边形按它的边数可分为：
三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
对角线
A
B
C
D
A
B
C
D
我们现在研究的是如图1所示的多边形，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形是凸多边形；
如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中.今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
图1
图2
把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（
）
A.
六边形
B
.
五边形
C.四边形
D.三角形
A
练一练
多边形的内角和
问题1
如果两个三角形能够拼成一个四边形，你能求出四边形的内角和吗？
360°
问题2
是否所有的四边形的内角和都可以“转化”为两个三角形的内角来求得呢？如何“转化”?
A
B
C
D
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC,则四边形ABCD被分成△ABC和△ACD两个三角形.
问题3
类比推导四边形内角和的方法，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？
观察上图填：（1）从五边形的一个顶点出发，可以作
条对角线，它们将五边形分为
个三角形，五边形的内角和等于180°×
.
（2）从六边形的一个顶点出发，可以作
条对角线，它们将六边形分为
个三角形，六边形的内角和等于180°×
.
2
3
3
3
4
4
问题4
n边形的内角和是否也可以用上面的方法？试一试.
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180
°.
知识要点
多边形的内角和公式
n边形内角和等于（n-2）
×180
°.
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？运用这些分法，能得出多边形的内角和公式吗？
其他分割方法欣赏
练一练：（1）12边形的内角和等于
.
（2）如果一个多边形的内角和等于1440
°，那么这是
边形.
1800
°
十
P
P
多边形的外角和
问题
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
900°
五个平角和（900°）-五边形的内角和（540°）=外角和（360°）
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2)
×
180°
=360
°
=n个平角-n边形内角和
=
n×180
°
E
B
C
D
1
2
3
4
n
A
多边形的外角和公式
知识要点
教材第152页例1：已知一个多边形,它的内角和与外角和相等,这个多边形是几边形?
解:设多边形的边数是n,那么它的内角和等于(n-2)×180°,
外角和等于360°,
由题意,得(n-2)×180°=360°.
解这个方程,得n=4.
所以,这个多边形是四边形.
教材第152页例2：如图所示,小亮从点O处出发,前进5
m后向右转20°,再前进5
m后又向右转20°,这样走n次后恰好回到点O处.
(1)小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度,内角和是多少度?
(2)小亮走出的这个n边形的周长是多少米?
解:(1)设这个n边形的每个内角为180°-20°=160°.
因为多边形外角和等于360°,
所以n×20°=360°.解得n=18.
所以这个n边形的内角和=(18-2)×180°=2880°.
(2)5×18=90(m),所以,小亮走出的这个n边形的周长为90
m.
1.判断．
（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．
(
)
（2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加．
(
)
（3）三角形的外角和与八边形的外角和相等．
(
)
（4）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形．
(
)
2.一个多边形的内角和不可能是（
）
A.1800°
B.540
°
C.720
°
D.810
°
D
3.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（
）
A.360°
B.540
°
C.720
°
D.900
°
D
4.一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一外角等于(
)
A.144°
B.
72
°
C.
36°
D
.18°
5.一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和等于(
)
A.720°
B.
675°
C.
1080°
D.945°
C
C
6.一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为_____.
15
解析：设这个多边形的边数为x(x为正整数)，则这个多边形的内角和为（x-2）×180°，由题意可得：
2380-180<（x-2）×180°<2380,
解得：14.22因为x为正整数，所以x=15，即这个多边形的边数为13.
课堂小结
多边形的内角和与外交角和
定义
在平面内，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形.
内角和计算公式
（n-2）×
180
°（n
≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
当堂检测
1.若一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数为
( )
A.6
B.7
C.8
D.10
解析:根据n边形的内角和定理,得(n-2)×180°=1080°,解得n=8.∴这个多边形的边数是8.故选C.
C
2.若一个正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数是
( )
A.10
B.9
C.8
D.6
解析:∵多边形的外角和是360°,∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8.故选C.
C
6.若多边形的边数增加1,则
( )
A.其内角和增加180°
B.其内角和为360°
C.其内角和不变
D.其外角和减少
解析:设原多边形的边数为n,则原多边形的内角和为(n-2)×180°,边数增加1后的多边形的内角和为(n+1-2)×180°,∴(n+1-2)×180°-(n-2)×180°=180°,∴其内角和的度数增加180°.故选A.
A
解析:六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,每个内角的度数为720°÷6=120°.故选B.
7.一个六边形,每一个内角都相等,每个内角的度数为
( )
A.100°
B.120°
C.135°
D.150°
B
布置作业
课本153页A组题和B组题
谢谢
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