矩形的性质第一课时

(共38张PPT)
矩形的性质
边
平行四边形的对边平行且相等
角
对角线
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的性质：
B
D
A
C
O
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB CD，AD BC
∥
﹦
∥
﹦
平行四边形的对角相等，邻角互补
∵四边形ABCD是平行边形
∴ ∠ A=∠ C， ∠ D=∠ B
∠ A+∠ B= , ∠ A+∠ D= …
∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD
边：对边平行且相等．
角：对角相等邻角互补．
对角线：对角线互相平分．
平行四边形的性质
A
B
C
D
一、知识回顾：
O
对称性：中心对称图形．
生
活
中
的
矩
形
1、矩形的定义
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
二 :探究新知
　 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质外，猜想还有哪些特殊性质呢？
猜想1：
A
B
C
D
2、矩形的性质
矩形的四个角都是直角．
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=900
∵四边形ABCD是矩形
　　１：矩形的四个角都是直角
已知：四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
∵矩形ABCD是平行四边形（已知）
∴AB∥CD （平行四边形的两组对边分别平行）
∴ ∠B+∠C=180 °（两直线平行，同旁内角互补）
又 ∵ ∠B=90° （已知）
∴ ∠C=90 °（等式的性质）
同理：∠D=90° ，∠A=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
命题
性质
证明：
已知：四边形ABCD是矩形，求证： AC = BD
A
B
C
D
证明： ∵ABCD是矩形（已知）
∴∠ABC = ∠DAB = 90°
（矩形的四个角都是直角）
BC = AD （矩形的对边相等）
∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴AC = BD（对应边相等）
　　 2：矩形的对角线相等．
命题
性质
在△ABC≌△BAD中
AB = BA
∠ABC = ∠DAB = 90°
BC = AD
｛
猜想2：
性质2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
∵四边形ABCD是矩形
∴ AC=BD，
OA=OC，OB=OD
∴ OA=OB=OC=OD
O
且互相平分
D
C
B
A
O
┛
问题：提问：⑴如图，通过以上对矩形性质的探究，你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗？有多少个等腰三角形吗？你能发现线段AO、CO、BO、DO之间的大小关系吗？这四条线段与AC、BD又是什么关系呢？如果只看直角三角形ABC， AO是BD边上的什么线？你能说说这个结论吗？
O
D
C
B
A
┛
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
直角三角形斜边上中线的性质 ：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
则有：AO= BD
试试：用文字叙述
直角三角形斜边上中线的性质
　　　　在矩形ABCD中
　　AO=CO=BO=DO= AC= BD
求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知△ABC中，∠ACB=90°，AD = BD
求证：CD = AB
证明：延长CD到E使DE=CD，
连结AE、BE.
A
B
C
D
∵AD = BD ，CD = ED
∴四边形ACBE是平行四边形
E
又∵∠ACB = 90°
∴ ACBE是矩形
∴CE = AB（ ）
由于CD= CE 所以CD = AB

返回
矩形的对角线相等
（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.
A
B
B
B
B
B
B
B
D
C
B
B
解:∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD,AO=1/2AC, BO=1/2BD
∴AO=BO
∵∠AOB=60°
∴△ABO是等边三角形∴AO=AB=BO=4
∴AC=BD=2×4=8cm
O
例2、如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
O
D
C
B
A
∵ △AOB、 △BOC、 △COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm，
∴ AC=BD=13cm（矩形的对角线相等）
∴ AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)
=86－4×13
=34(cm)
即矩形ABCD的周长等于34cm。
解：∵ 四边形ABCD是矩形
想一想：若△AOB的面积为5，则矩形ABCD的面积为_____
20
矩形的对称性：
O
中心对称图形
轴对称图形
边 角 对角线 对称性
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
矩形所特有的性质
练一练
1、下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A.对角线相等 B. 四个角都相等
C.是轴对称图形 D.对角线垂直
D
2、如图，已知ABCD为矩形，若沿AE折叠，使D点落在BC边上F点处，如果∠BAF=600，那么∠DAE等于（ ）
A.150 B.300
C.450 D.600
A
F
E
D
C
B
A
4、如图，在矩形ABCD中，E是AB上的一点，EF⊥CE，交AD于点F，若BE=2，矩形的周长为16，CE=EF，则BC的长为_____
A
F
E
D
C
B
3
你能求出EF的长吗
3、如图,把两个完全相同的矩形拼成“L”形图案, 则∠FAC=______° ∠FCA=______°
G
A
B
D
E
C
F
90
45
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
　2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四
条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是
课堂练习
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是
　A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线垂直
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形
C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两
条对角线所夹锐角的度数为
　A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，
则∠BAE等于
　A．30° B．45° C．60° D．120°
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
D
D
D
A
返回
已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
B
A
D
C
O
（1）若∠AOD=120°，判断△AOB的形状
（2）如果要得到 △AOB是等边三角形，你可以添加什么条件？
（3）在矩形ABCD中,AE⊥BD于E，若BE=OE=1，则AC=_____, AB＝______∠AOB=__________
试一试：
4
2
60度
E
矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ）
（A）内角和是360度（B）对角相等
（C）对边平行且相等（D）对角线相等
下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
（A）对角线相等（B）四个角相等
（C）是轴对称图形（D）对角线垂直
下面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
（A）角（B）任意三角形
（C）矩形（D）等腰三角形
由已知矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为3：1两部分，则垂线与另一条对角线的夹角是（ ）
（A）60度（B）45度
（C）30度（D）22.5度
根据题目要求算出结果并讲解理由。如图矩形ABCD中，1、AC＝8cm，则BD＝＿＿＿＿＿AO＝＿＿＿CO=＿＿＿BO=＿＿＿＿
2、AB=6 BC=8，则 AC= ＿＿＿ AO=＿＿＿BO＝＿＿
3、∠AOB＝60°　AB＝4cm，则AC长＿＿＿＿＿＿
说一说
A
O
C
D
B
8cm
4cm
4cm
4cm
10
5
5
8cm
3.矩形的边长为10cm和15cm,其中一个
内角的平分线分长边为两部分，这两部分
分别为 cm, cm.
A
B
C
D
E
返回
例3 已知：如左图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC于E。试求出BE的长。
B
A
D
C
E
解：在矩形ABCD中，∠ABC=900，
AC=√AB2+BC2= √32+42= √25=5（勾股定理）。
又∵S△ABC=1/2AB·BC=1/2AC·BE，
BE=AB·BC/AC=2.4
1.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D是AB的中点，则CD=———
A
C
B
D
2.5
2.已知矩形的对角线长为10cm，那么，顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长（ ）cm
A.40 B.10 C.5 D.20
D
3、两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线（ ）
（A）26 （B）13 （C）8.5 （D）6.5
A
B
C
D
思 路 分 析
2. 在Rt⊿ABC中，∠C=90°，
AB=2AC.
求∠ A 、 ∠B 的度数.
作斜边AB边的中线
则 AD=CD= AB
∴AC=AD=CD= AB
又∵AB=2AC
∴⊿ACD是等边三角形
∴∠A=60°
∴∠B=30 °
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
那么这个直角边所对的角为30 °
A
B
C
D
O
3. 矩形ABCD中，AB=1，
∠ACB=30°，BD=______；
与AB相等的线段（不包括本身）
有___条.
思 路 分 析
30°
在Rt⊿ABC中，
∠ACB=30 ° ，
∴AC=2AB
又∵AC=BD
∴BD=2AB=2
AB=AO=BO=OC=OD=CD
5
还有没有其他解法？
2
A
B
C
D
O
3. 矩形ABCD中，AB=1，
∠ACB=30°，BD=______；
与AB相等的线段（不包括本身）
有___条，
思 路 分 析
E
作BE⊥AC
在Rt⊿BCE中，
∠ACB=30°
BE= BC
而BC=
=
∴BE=
还有其他方法吗？
等面积！
B到AC边距离为____;
A
B
C
D
O
思路分析
⊿ABO是等边三角形，
AO=AB=
AC=2AO=
4. 矩形两条对角线夹角为60°，较短一边长 为 ， 则此矩形对角线长为_______.
5. 以2cm和3cm为两条邻边长画一个矩形，并求它的对角线长.
思 路 分 析
A
B
C
①画AB=3cm，AC=2cm且AB⊥AC，
②作CD∥AB，
BD∥AC，
交于点D.
D
四边形ABCD就是所要画的矩形.
利用勾股定理求得BC
5、如果矩形的一条对角线的长为8 cm，两条对角线的一个交角为120°，求矩形的边长
6、如图：矩形ABCD的两条对角线
相交于点O，CE‖OB交AB的延长线
于点E，试证明AC与CE的大小关系。
O
E
D
C
A
B
2.（补充）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，EC：AE=1：3，CD=5cm，求AC的长度。
A
B
C
D
E
O
从一般到特殊
边
角
对角线
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A
B
C
D
直角三角形斜边上的中线性质
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
拓展延伸：
1、已知：矩形ABCD和点P，若PA=PD。
求证：PB=PC。
本题分三种情况思考：
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
P
P
P
点在形外
点在形上
点在形内
2、如图，把矩形ABCD放置平面直角坐标系中，
已知A（0，0）B（6，0）D（0，4），
求：(1)C点坐标；
(2)若直线y=kx-1将矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此直线解析式 。
y
x
A
B
C
D
p