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7.2离散型随机变量及其分布列教学设计
课题
7.2离散型随机变量及其分布列
单元
第七单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容主要是离散型随机变量及其分布列，由生活中的实际情景导入，学习求解离散型随机变量的概率及分布列，并使用其解决一些实际问题.
教学目标与核心素养
数学抽象：利用生活中的实际问题，将随机试验的结果数字化;
逻辑推理：通过导入及课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力;
数学建模：掌握离散型随机变量及其分布列的性质及一般求解过程，利用其解决实际问题;
数学运算：能够正确列出随机变量的可能取值，并计算该取值的概率;
5、数学分析：通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性.
重点
掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
难点
求实际问题中的分布列.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情景一：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数有哪些？
试验结果命中1环命中2环命中3环……命中10环用数字表示试验结果123……10
情景二：某工厂生产的一批产品中，从可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数有哪些？
试验结果抽到0件次品抽到1件次品抽到2件次品抽到3件次品抽到4件次品用数字表示试验结果01234
合作探究：
1.从100个电子元件(至少含
3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数.该随机试验的样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?
分析：用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间Ω1=(000，001，010，
011，100，101，110，111).各样本点与变量X的值的对应关系为：
2.抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数.该随机试验的样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?
分析：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2=(h，th,
tth,ttth，...)，各样本点与变量Y的值的对应关系为：
3.抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？X取每个值的概率是多少？
解：X的取值有1、2、3、4、5、6，则
P(X=m)=1/6
m=1,2,3,4,5,6
P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=1/6+1/6=1/3
P(X为偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=1/6+1/6+1/6=1/2
合作探究：
思考：上述变量X、Y有哪些共同特征？
答：（1）随机变量取具体的实数值
（2）试验之前可以判断其所有可能的取值
（3）随机变量建立了实数与试验结果之间的对应关系.即：每一个取值都对应特定的试验结果
思考：根据上述3，可以发现离散型随机变量分布列具有哪些性质？
pi≥0，i=1,2,3,4,...，n
p1+p2+p3+...+pn=1
注意：在求出随机变量的分布列后，需要检查所有的概率之和是否等1．若求出的分布列不满足这条性质，
则说明计算过程中存在错误.
求解概率分布列的一般步骤：
（1）定值：确定离散型随机变量的所有可能取值
（2）求概率：求出随机变量的每一个取值的概率
（3）分布列：写出离散型随机变量的分布列
（4）检验：检验所有取值的概率之和是否等于1
学生思考问题，引出本节新课内容.
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.
讲授新课
新知讲解：随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量.
新知导入1中随机变量X的可能取值为0，1，2，3，共有4个值；新知导入2中随机变量Y的可能取值为1，2，3，...，有无限个取值，但可以一一列举出来.
随机变量和函数的联系：
（1）随机变量和函数都一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数
（2）试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。
随机变量的分类：
离散型随机变量：取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量。如投掷骰子。通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z
用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z
连续型随机变量：若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。如一个人的身高
概率分布列：
一般地，若离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,x3,...,xn，称X
取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1,2,3,...，n
为X的概率分布列，简称分布列.
随机变量的分布列既可以用上述表格表示，也可以用如下图形表示
例题讲解：
例1
一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义
，求X的分布列.
答：根据X的定义，{X=1}=”抽到次品”，{X=0}=”抽到正品”，X的分布列为P(X=0)=0.95，P(X=1)=0.05
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示成功，表示失败，定义
如果P(A)=p，P()=1-p，则X的分布列可以如下表所示
称X服从两点分布或0-1分布
例2:某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4)
解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X=1}=”不及格”，{X=2}=”及格”,{X=3}=”中等”,{X=4}=“良”,{X=5}=”优”.根据古典概型可知X的分布列如下表所示：
P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=1/5+3/20=7/20
例3:一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2.根据古典概型的知识，可得X的分布列为
用表格表示X的分布列如下：
课堂练习：
随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝-2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，则
P(X＝0)的值为（
C
）
A．0
B．
C．
D．
2．已知离散型随机变量X的分布列，则P(X≥3)等于（
A
）
A.
B.
C.
D.
3．设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)=(
A
)
A.
0.3
B.
0.4
C.
0.6
D.
0.7
4．随机变量的分布列如下表，其中2b=a+c，且c=(ab)/2，
则P(X=2)=(
A
)
A.
B.
C.
D.
5．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3，则
则ξ的分布列为
6．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列.
解：随机变量ξ的可能取值为3，4，5.
当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1、
2，故有
当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，
2，3的3只球中取2只，故有
当ξ=5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有，则ξ的分布列为
拓展提高：
7．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若η表示经销一件该商品的利润，求η的分布列．
解：η的可能取值为200，250，300.
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.
故η的分布列为
8．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为X，求X的分布列．
解：（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有
种情况；
若胜三场，则其余一场为负或平，共有
种情况；
若胜四场，则只有1种情况．
综上，共有4+18+8+1=31种情况．
（2）X的可能取值为1,2,3,4，由（1）可知
所以X的分布列为：
9．（2012
天津高考真题（理））现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1/3，去参加乙游戏的概率为2/3.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
Ai(i＝0,1,2,3,4)，则
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B=A3∪A4，则
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
（3）ξ的所有可能取值为0,2,4，则
所以ξ的分布列为：
10．（2013
天津高考真题（理））一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.
解：（1）不含编号为3的卡片的概率，则含有编号为3的卡片的概率为p=1-p1=6/7
（2）随机变量X的可能取值为：
1、2、3、4
所以X的分布列为：
学生根据情境问题，探究随机变量、离散型随机变量以及概率分布列
利用例题引导学生掌握并灵活运用离散型随机变量及分布列解决实际相关问题.
通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.
利用情境问题，探究随机变量、离散型随机变量以及概率分布列，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.
通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.
课堂小结
离散型随机变量
概率分布列
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§7.2
离散型随机变量及其分布列
一、新知导入
三、例题讲解
二、新知讲解
四、课堂练习
1.离散型随机变量
五、拓展提高
2.概率分布列
六、课堂总结
七、作业布置
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
人教A版（2019）
选择性必修第三册
7.2
离散型随机变量及其分布列
新知导入
某人在射击训练中，射击一次，命中的环数有哪些？
试验的结果
…
用数字表示试验结果
…
命中1环
命中2环
命中3环
命中10环
1
2
3
10
某工厂生产的一批产品中，从可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数有哪些？
试验的结果
用数字表示试验结果
抽到0件次品
抽到1件次品
抽到2件次品
抽到3件次品
抽到4件次品
0
1
2
3
4
新知导入
新知导入
从100个电子元件(至少含
3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数。该随机试验的样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?
分析：用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间Ω1=(000，001，010，
011，100，101，110，111).各样本点与变量X的值的对应关系为：
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
1
2
1
2
2
3
Ω1
X
新知导入
抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数。该随机试验的样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?
分析：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间
Ω2=(h，th,
tth,ttth，...)，各样本点与变量Y的值的对应关系为：
h
th
tth
ttth
...
Ω2
X
1
2
3
4
...
合作探究
思考：上述变量X、Y有哪些共同特征？
（1）随机变量取具体的实数值
（2）试验之前可以判断其所有可能的取值
（3）随机变量建立了实数与试验结果之间的对应关系。
即：每一个取值都对应特定的试验结果
新知讲解
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量.
随机变量
新知导入1中随机变量X的可能取值为0，1，2，3，共有4个值；新知导入2中随机变量Y的可能取值为1，2，3，...，有无限个取值，但可以一一列举出来.
取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.
离散型随机变量
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
新知讲解
（1）随机变量和函数都一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数
（2）试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。
随机变量和函数的联系：
新知讲解
取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.
如：掷骰子的结果
离散型随机变量
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量.
如：一个人的身高
连续型随机变量
随机变量的分类
新知导入
抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？X取每个值的概率是多少？
解：X的取值有1、2、3、4、5、6，则
P(X=m)=
m=1,2,3,4,5,6
X
1
2
3
4
5
6
P
新知讲解
随机变量的分布列既可以用上述表格表示，也可以用如下图形表示：
概率分布列
一般地，若离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,x3,...,xn，称X
取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1,2,3,...，n
为X的概率分布列，简称分布列
O
1
2
3
4
5
6
p
0.1
0.2
X
合作探究
（1）pi≥0，i=1,2,3,4,...，n
思考：根据上述导入，可以发现离散型随机变量分布列具有哪些性质？
（2）p1+p2+p3+...+pn=1
离散型随机变量分布列的性质
注意：在求出随机变量的分布列后，需要检查所有的概率之和是否等1．若求出的分布列不满足这条性质，
则说明计算过程中存在错误.
新知讲解
求解概率分布列的一般步骤
（1）定值：确定离散型随机变量的所有可能取值
（2）求概率：求出随机变量的每一个取值的概率
（3）分布列：写出离散型随机变量的分布列
（4）检验：检验所有取值的概率之和是否等于1
例题讲解
例1
一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义
n(Ω)=
n(AB)=
解：根据X的定义，{X=1}=”抽到次品”，{X=0}=”抽到正品”，X的分布列为
P(X=0)=0.95，P(X=1)=0.05
抽到次品
抽到正品
求X的分布列
新知讲解
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示成功，
表示失败，定义
n(Ω)=
n(AB)=
A发生
如果P(A)=p，P(
)=1-p，则X的分布列可以如下表所示
发生
X
0
1
P
1-p
p
称X服从两点分布或0-1分布
例题讲解
例2
某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示。
n(Ω)=
n(AB)=
等级
不及格
及格
中等
良
优
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
30
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4).
例题讲解
解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且
{X=1}=”不及格”，{X=2}=”及格”,{X=3}=”中等”,{X=4}=“良”,
{X=5}=”优”.根据古典概型可知X的分布列如下表所示：
X
1
2
3
4
5
P
例题讲解
例3
一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选
2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2.根据古
典概型的知识，可得X的分布列为
X
0
1
2
P
用表格表示X的分布列如下：
课堂练习
1.
随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝-2)＝
，P(X＝3)＝
，P(X＝5)＝
，则P(X＝0)的值为（
）
A．0
B．
C．
D．
C
2．已知离散型随机变量X的分布列，则P(X≥3)等于（
）
A
X
1
2
3
4
P
A.
B.
C.
D.
课堂练习
3．设离散型随机变量X的分布列为
A
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)=(
)
A.
0.3
B.
0.4
C.
0.6
D.
0.7
课堂练习
4．随机变量的分布列如下表，其中2b=a+c，且c=(ab)/2
A
X
2
4
6
P
0.2
0.1
0.1
则P(X=2)=(
)
A.
B.
C.
D.
课堂练习
5．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3，则
ξ
0
1
2
3
P
则ξ的分布列为
课堂练习
6．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列.
解：随机变量ξ的可能取值为3，4，5.
当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1，
2，故有
当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，
2，3的3只球中取2只，故有
课堂练习
当ξ=5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有
ξ
3
4
5
P
则ξ的分布列为
拓展提高
7．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若η表示经销一件该商品的利润，求η的分布列．
拓展提高
解：η的可能取值为200，250，300.
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.
故η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
拓展提高
8．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为X，求X的分布列．
解：（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；
若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；
若胜四场，则只有1种情况．
综上，共有4+18+8+1=31种情况．
拓展提高
（2）X的可能取值为1,2,3,4，由（1）可知
X
1
2
3
4
P
所以X的分布列为：
链接高考
9．（2012
天津高考真题（理））现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列
拓展提高
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1/3，去参加乙游戏的概率为2/3.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
Ai(i＝0,1,2,3,4)，则
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B=A3∪A4，则
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
拓展提高
（3）ξ的所有可能取值为0,2,4，则
ξ
0
2
4
P
所以ξ的分布列为：
链接高考
10．（2013
天津高考真题（理））一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.
解：（1）不含编号为3的卡片的概率
，则含有编号为3的卡片的概率为p=1-p1=
拓展提高
ξ
1
2
3
4
P
（2）随机变量X的可能取值为：
1、2、3、4
所以X的分布列为：
课堂总结
2、概率分布列
1、离散型随机变量
一般地，若离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,x3,...,xn，称X
取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1,2,3,...，n
为X的概率分布列，简称分布列.
取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
板书设计
7.2
离散型随机变量及其分布列
一、新知导入
二、新知讲解
离散型随机变量
三、例题讲解
四、课堂练习
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
概率分布列
作业布置
课本P60
习题7.2
第1~6题
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