人教版数学九年级上册21.2.3因式分解法解一元二次方程课件（31张ppt）

(共31张PPT)
21.2.3
因式分解法解一元二次方程
九年级上册
学习目标
1、了解分解因式法解一元二次方程的概念。
2、会用分解因式法解某些一元二次方程。
学习重难点
重点
难点
会用分解因式法解某些一元二次方程。
会用分解因式法解某些一元二次方程。
除了配方法和公式法以外，能否找到更简单的方法解某些方程？
思考
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
提示：
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10-4.9x2=0
①
思考
方程①的右边为0，左边可因式分解，得
解方程
于是得
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0表示物体被上抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
如果a·b=0
那么a=0或b=0．
10x-4.9x2=0
①
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
以上解方程
的方法是如何使二次方程降为一次的？
①
②
因式分解法
解：
解：
∵
a=4.9,b=-10,c=0.
公式法解方程10x-4.9x2=0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
原式可化为：4.9x2-10x=0.
做一做
上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
因式分解法的概念
概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
基本步骤
例1
解下列方程：
解：（1）因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
可以试用多种方法解
本例中的两个方程
.
例题
(1)
x(x-2)=0；
x1=0,
x2=2；
(2)
(y+2)(y-3)=0；
y1=-2,
y2=3
；
(3)
(3x+6)(2x-4)=0；
x1=-2,
x2=2；
(4)
x2=x.
x1=0,
x2=1.
针对训练
解下列方程：
灵活选用方法解方程
例2
用适当的方法解方程：
（1）3x（x
+
5）=
5（x
+
5）；
（2）（5x
+
1）2
=1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简
(3x
-5)
(x
+
5)
=
0.
即
3x
-
5
=
0
或
x
+
5
=
0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x
+
1
=
±1.
解得,
x1=
0
,
x2=
例题
（3）x2
-
12x
=
4
;
（4）3x2
=
4x
+
1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2
-
12x
+
62
=
4
+
62,
即
(x
-
6)2
=
40.
开平方,得
解得
x1=
,
x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式3x2-4x+1=0.
∵Δ=b2-4ac=28>0,
例题
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
（2）若常数项为0（
ax2+bx=0），应选用因式分解法；
（3）若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
解法选择基本思路
选择方法
-3
-3
①x2-3x+1=0
；
②
3x2-1=0
；
③
-3t2+t=0
；
④
x2-4x=2
；
⑤
2x2-x=0；
⑥
5(m+2)2=8；⑦
3y2-y-1=0；
⑧
2x2+4x-1=0；
⑨
(x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
⑥
②
③
⑤
⑨
①
⑦
⑧
④
针对训练
-3
-3
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2
+
px
+
q
=
0
（p2-4q≥0）
(x+m)2＝n（n≥0）
ax2
+bx+c=0(a≠0
,
b2-4ac≥0)
(x+m)
（x+n）=0
小结
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程
(x-5)(x+2)=18.
解:
原方程化为：(x-5)(x+2)=18
.
①
由x-5=3,
得x=8;
②
由x+2=6,
得x=4;
③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
解:
原方程化为：
x2-3x-28=0，
(x-7)(x+4)=0，
x1=7，x2=-4.
课堂练习
2.解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为
；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=
,x2=
.
x2+x-2=0
-2
1
课堂练习
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1
=
0.
(x－1)(x－1)=0.
有x－1=0或x－1=0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
(2x+11
)(2x－11)=0.
有2x+11=0或2x－11=0，
3.解方程：
课堂练习
C
应用拓展
1．若关于x的方程x2＋2x－3＝0与
有一个解相同，则a的值为(　　)
A．1
B．1或－3
C．－1
D．－1或3
2．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是(　　)
A．16
B．12
C．14
D．12或16
A
3．已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为(　　)
A．1　　B．－3　　C．－3或1　　D．－1或3
应用拓展
A
应用拓展
4．解下列方程：
(1)x2－8x＋4＝0.
5．由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
2
4
应用拓展
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，
则x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝4.
应用拓展
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
换元
应用拓展
7．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根．
(1)求a的值及方程的另一个根；
解：将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，
得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.
将a＝2代入原方程，得x2－4x＋3＝0，
因式分解得(x－1)(x－3)＝0，
∴x1＝1，x2＝3.
∴方程的另一个根是x＝1.
应用拓展
解：∵三角形的三边长都是这个方程的根，
∴①当三边长都为1时，周长为3；
②当三边长都为3时，周长为9；
③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；
④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．
综上，三角形的周长为3或9或7.
(2)一个三角形的三边长都是此方程的根，求这个三角形的周长．
应用拓展
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
如果a
·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2±2ab+b2=(a±b)2；
a2-b2=(a+b)(a-b).
总结
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
课后作业
1.解下列方程:
(1)
4x2－121＝0；
(2)
3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3)
(x－4)2＝(5－2x)2.
再
见