2021--2022学年人教版八年级数学上册11.2.2 三角形的外角（共34张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021--2022学年人教版八年级数学上册11.2.2 三角形的外角（共34张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 537.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-10 11:16:31 | ||
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文档简介
11.2.2 三角形的外角
与三角形有关的角
八年级上册 RJ
初中数学
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2.直角三角形的两个锐角互余.
3.有两个角互余的三角形是直角三角形.
练习：1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则
∠B=_____.
2.在Rt△ABC中，锐角∠B=45°，则另一个锐角∠C=____ .
75°
45°
知识回顾
1.了解三角形外角的概念.
2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.
3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.
学习目标
邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角互为邻补角.
邻补角的性质：∠1+∠2=180°.
C
A
B
O
1
2
如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢？
B
C
A
D
课堂导入
足球比赛中的数学知识
在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮
助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射
门不易射偏？（不考虑其他因素）
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯
的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到
原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
想一想
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠CBD是△ABC的一个外角.
问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？
问题2：三角形的外角具备什么特征？
问题3：三角形共有几个外角？每个顶
点处有几个外角？
三角形的外角
B
C
A
D
知识点1 三角形的外角
新知探究
答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180°.
答案2：三角形的外角具备3个特征：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一条边；
③另外一条边是三角形某条边的延长线.
答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角.
A
B
E
F
C
三角形的外角
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD与∠2，∠3之间的大小关系？
A
B
E
F
C
D
1
2
3
解：∵∠CAD是△ABC的外角，
∠ CAD+∠1=180°，则∠1=180°-∠CAD.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
则∠1=180°-（∠2+∠3）.
∴∠CAD=∠2+∠3.
知识点2 三角形外角的性质
新知探究
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
例1 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
利用三角形外角的性质求角的度数
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
借助辅助线求角的度数
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外
角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的
大小关系？
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=
（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）=
2（∠1+∠2+∠3）.
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
有其他解法吗？
知识点3 三角形的外角和定理
新知探究
A
B
E
F
C
D
1
2
3
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外
角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的
大小关系？
知识点3 三角形的外角和定理
新知探究
A
B
E
F
C
D
1
2
3
方法二 解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC
的外角，
∴∠CAD+∠1=180°，则∠CAD=180°-∠1，∠CBE+∠2=180°，则∠CBE=180°-∠2， ∠BCF+∠3=180°，则∠BCF=180°-∠3.
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外
角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的
大小关系？
知识点3 三角形的外角和定理
新知探究
A
B
E
F
C
D
1
2
3
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°.
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（180°-∠1）+（180°-
∠2）+（180°-∠3）=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°.
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
【思考】你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
新知探究
推论：三角形的三个外角和等于360°.
三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
数学语言表示：
如图所示，∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
三角形的外角和定理
A
B
E
F
C
D
1
2
3
例5 试说出下列图形中∠1和∠2的度数.
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°.
（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°.
（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
60?
80?
1
2
（1）
A
B
C
30?
40?
1
2
（2）
A
B
C
40?
2
1
┌
（3）
A
B
C
跟踪训练
新知探究
1.判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角. （ ）
（2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）
（4）三角形的外角和等于360°. （ ）
解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角.
（2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角.
（3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.
随堂练习
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠1+∠2=90°.
∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°.
2.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
B
A
D
C
2
1
┐
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°.
∵∠C=65°，
∴∠DAC=90°-∠C=25°.
则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.
2.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
B
A
D
C
2
1
┐
3.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
解析：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=50°.
A
B
C
D
E
C
4.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
A.180° B.210° C.360° D.270°
解析：∵∠α、∠β是三角形的外角，
∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F.
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+
∠F =∠3+∠4+∠D+∠ =210°.
B
E
B
C
A
F
D
α
β
1
2
3
4
三角形的外角
定义
性质
三角形
外角和
三角形的外角和等于360°
角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线
三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和
课堂小结
1.[2021广东汕头潮阳区期中]如图,在△ABC中,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,若∠1-∠2=60°,则∠B的度数是 .?
【解析】 如图,∵将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,∠D=∠B,由三角形外角的性质,得∠1=∠B+∠3,∠3=∠2+∠D,∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B, ∴∠1-∠2=2∠B=60°,∴∠B=30°.
拓展提升
2.已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，
将∠A，∠B，∠C，∠D，∠E转化在同一个三角形中.仔细观察五角星，并在五角星中构建出△BGD和△CFE.
C
A
B
E
F
G
D
拓展提升
解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角，
∴∠AGF=∠B+∠D.
∵在△CFE中，∠AFG是它的外角，
∴∠AFG=∠C+∠E.
∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
C
A
B
E
F
G
D
3.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数.
【解析】 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=(∠A+∠H)+(∠B+∠C)+ (∠D+∠E)+(∠F+∠G)=∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证∠BAC=∠B+2∠E.
B
A
C
D
E
分析：利用角平分线的性质可以得出2倍
的数量关系的角.利用三角形外角性质，
将外角转化为两个不相邻内角的和.
将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出
题目所要证明的结果.
证明：∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E.
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC=∠E+∠ACE.
∵CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E.
∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.
B
A
C
D
E
与三角形有关的角
八年级上册 RJ
初中数学
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2.直角三角形的两个锐角互余.
3.有两个角互余的三角形是直角三角形.
练习：1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则
∠B=_____.
2.在Rt△ABC中，锐角∠B=45°，则另一个锐角∠C=____ .
75°
45°
知识回顾
1.了解三角形外角的概念.
2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.
3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.
学习目标
邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角互为邻补角.
邻补角的性质：∠1+∠2=180°.
C
A
B
O
1
2
如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢？
B
C
A
D
课堂导入
足球比赛中的数学知识
在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮
助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射
门不易射偏？（不考虑其他因素）
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯
的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到
原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
想一想
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠CBD是△ABC的一个外角.
问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？
问题2：三角形的外角具备什么特征？
问题3：三角形共有几个外角？每个顶
点处有几个外角？
三角形的外角
B
C
A
D
知识点1 三角形的外角
新知探究
答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180°.
答案2：三角形的外角具备3个特征：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一条边；
③另外一条边是三角形某条边的延长线.
答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角.
A
B
E
F
C
三角形的外角
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD与∠2，∠3之间的大小关系？
A
B
E
F
C
D
1
2
3
解：∵∠CAD是△ABC的外角，
∠ CAD+∠1=180°，则∠1=180°-∠CAD.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
则∠1=180°-（∠2+∠3）.
∴∠CAD=∠2+∠3.
知识点2 三角形外角的性质
新知探究
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
例1 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
利用三角形外角的性质求角的度数
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
借助辅助线求角的度数
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外
角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的
大小关系？
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=
（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）=
2（∠1+∠2+∠3）.
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
有其他解法吗？
知识点3 三角形的外角和定理
新知探究
A
B
E
F
C
D
1
2
3
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外
角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的
大小关系？
知识点3 三角形的外角和定理
新知探究
A
B
E
F
C
D
1
2
3
方法二 解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC
的外角，
∴∠CAD+∠1=180°，则∠CAD=180°-∠1，∠CBE+∠2=180°，则∠CBE=180°-∠2， ∠BCF+∠3=180°，则∠BCF=180°-∠3.
如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外
角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的
大小关系？
知识点3 三角形的外角和定理
新知探究
A
B
E
F
C
D
1
2
3
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°.
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（180°-∠1）+（180°-
∠2）+（180°-∠3）=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°.
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
【思考】你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
新知探究
推论：三角形的三个外角和等于360°.
三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
数学语言表示：
如图所示，∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
三角形的外角和定理
A
B
E
F
C
D
1
2
3
例5 试说出下列图形中∠1和∠2的度数.
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°.
（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°.
（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
60?
80?
1
2
（1）
A
B
C
30?
40?
1
2
（2）
A
B
C
40?
2
1
┌
（3）
A
B
C
跟踪训练
新知探究
1.判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角. （ ）
（2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）
（4）三角形的外角和等于360°. （ ）
解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角.
（2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角.
（3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.
随堂练习
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠1+∠2=90°.
∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°.
2.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
B
A
D
C
2
1
┐
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°.
∵∠C=65°，
∴∠DAC=90°-∠C=25°.
则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.
2.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
B
A
D
C
2
1
┐
3.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
解析：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=50°.
A
B
C
D
E
C
4.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
A.180° B.210° C.360° D.270°
解析：∵∠α、∠β是三角形的外角，
∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F.
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+
∠F =∠3+∠4+∠D+∠ =210°.
B
E
B
C
A
F
D
α
β
1
2
3
4
三角形的外角
定义
性质
三角形
外角和
三角形的外角和等于360°
角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线
三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和
课堂小结
1.[2021广东汕头潮阳区期中]如图,在△ABC中,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,若∠1-∠2=60°,则∠B的度数是 .?
【解析】 如图,∵将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,∠D=∠B,由三角形外角的性质,得∠1=∠B+∠3,∠3=∠2+∠D,∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B, ∴∠1-∠2=2∠B=60°,∴∠B=30°.
拓展提升
2.已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，
将∠A，∠B，∠C，∠D，∠E转化在同一个三角形中.仔细观察五角星，并在五角星中构建出△BGD和△CFE.
C
A
B
E
F
G
D
拓展提升
解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角，
∴∠AGF=∠B+∠D.
∵在△CFE中，∠AFG是它的外角，
∴∠AFG=∠C+∠E.
∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
C
A
B
E
F
G
D
3.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数.
【解析】 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=(∠A+∠H)+(∠B+∠C)+ (∠D+∠E)+(∠F+∠G)=∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证∠BAC=∠B+2∠E.
B
A
C
D
E
分析：利用角平分线的性质可以得出2倍
的数量关系的角.利用三角形外角性质，
将外角转化为两个不相邻内角的和.
将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出
题目所要证明的结果.
证明：∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E.
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC=∠E+∠ACE.
∵CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E.
∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.
B
A
C
D
E