2020-2021学年华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形 达标测试卷(word版含解析)

第24章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1.在Rt△ABC中，cos
A＝，那么∠A的度数为(　　)
A．45°
B．60°
C．30°
D．无法确定
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3BC，则tanA的值是(　　)
A.
B．3
C．2
D.
3.已知锐角α，且sinα＝cos37°，则α等于(　　)
A．37°
B．63°
C．53°
D．45°
4．如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离(　　)
A．变小
B．不变
C．变大
D．无法判断
(第4题)　　　　
(第5题)　　　　
(第7题)　　　　
(第8题)
5．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为(　　)
A．2
B.
C.
D.
6．点M(－sin
60°，cos
60°)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
7．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cos
α＝，AB＝4，则AC的长为(　　)
A．3
B.
C.
D.
8．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在与山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面内，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin
48°≈0.74，cos
48°≈0.67，tan
48°≈1.11)(　　)
A．17.0米
B．21.9米
C．23.3米
D．33.3米
9．公元3世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则(sin
θ－cos
θ)2＝(　　)
A.
B.
C.
D.
(第9题)
　　　　
(第10题)
10．如图，在四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．求值：sin60°－tan30°＝________．
12．在直角三角形中，最长边为10
cm，最短边为5
cm，则这个三角形中最小的内角为________度．
13．已知α是锐角且tanα＝，则sinα＋cosα＝________．
14．如图，一束光线照在坡度为1:
的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．
(第14题)　　　　　
(第15题)　　　　　
(第16题)
15．如图，一架长6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________米．(参考数据：sin
70°≈0.94，sin
50°≈0.77，cos
70°≈0.34，cos
50°≈0.64)
16．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝________________________．
三、解答题(17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分)
17．计算：
(1)4sin
30°－cos
45°－tan
30°＋2sin
60°；
(2).
18.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．
19．如图，点E与树AB的根部点A，建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10
m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6
m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D(H、B、D三点在一条直线上)．已知小明的眼睛离地面1.6
m，求建筑物CD的高度．(结果精确到0.1
m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
20．如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5
cm，长度均为20
cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．
(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图②，求连杆端点D离桌面l的高度DE；
(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？(精确到0.1
cm，参考数据：≈1.41，≈1.73)
21．定义：我们把∠A的对边与∠C
的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi
A，即thi
A＝＝.请解答下列问题：
已知在△ABC中，∠C＝30°.
(1)若∠A＝45°，求thi
A的值；
(2)若thi
A＝
，则∠A＝________；
(3)若∠A是锐角，探究thi
A与sin
A的数量关系．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB≠CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan
∠ADC＝2.
(1)求证：DC＝BC；
(2)E是四边形ABCD内一点，F是四边形ABCD外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，当BE:CE＝1:2，∠BEC＝135°时，求sin
∠BFE.
答案
一、1．B　2．D　3．C
4．B　点拨：连结OP，∵∠AOB＝90°，P为AB中点，设AB＝2a，则OP＝AB＝a，即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a.故选B.
5．B　6．B　7．C
8．C　点拨：延长DC交EA延长线于F.
∵＝＝，
∴设CF＝5k米，AF＝12k米，
∴AC＝＝13k米，
∴13k＝26，∴k＝2，
∴AF＝24米，CF＝10米．
∵AE＝6米，∴EF＝6＋24＝30(米)．
∵∠DEF＝48°，
∴tan
48°＝＝≈1.11，
∴DF≈33.3米，
∴CD≈33.3－10＝23.3(米)，
即古树CD的高度约为23.3米．
9．A　点拨：∵大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，∴大正方形的边长为5
，小正方形的边长为5，
∴5
cos
θ－5
sin
θ＝5，∴cos
θ－sin
θ＝，∴(sin
θ－cos
θ)2＝.
10．B　点拨：如图，延长CD交AE于点F，过点D作DG⊥EF于点G，过点F作FH⊥AC于点H.
∵∠ABC＝90°，BC＝，AB＝3，
∴tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，AC＝2
.
∵∠BCD＝90°，∴CD∥AB，
∴∠DCA＝30°.
由翻折知，∠EAC＝∠BAC＝30°，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴AF＝FC，∠EFD＝60°.
∵FH⊥AC，∴AH＝CH＝，
易知AF＝2.
∵AE＝AB＝3，∴EF＝1.
∵tan∠AED＝，∴设DG＝x，
则GE＝2x，ED＝x，∴FG＝1－2x.
在Rt△FGD中，∵tan∠EFD＝＝，∴FG＝GD，即(1－2x)＝x，解得x＝，∴DE＝.故选B.
二、11．　12．30　13．　14．30
15．1.02　点拨：∵∠ABO＝70°，AB＝6米，∴sin
70°＝＝≈0.94，解得AO≈5.64米．∵∠CDO＝50°，DC＝6米，∴sin
50°＝≈0.77，解得CO≈4.62米，则AC≈5.64－4.62＝1.02(米)．
16．3或3
或3
　点拨：当∠APB＝90°时，分两种情况讨论．情况一：如图①，∵O是AB的中点，∠APB＝90°，∴PO＝BO＝AO，∵∠1＝120°，∴∠AOP＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝OA＝AB＝3；情况二：如图②，∵O是AB的中点，∠APB＝90°，∴PO＝BO，∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP＝60°，∴AP＝AB·sin60°＝6×＝3
；当∠BAP＝90°时，如图③，∵O是AB的中点，∴OA＝OB＝AB＝3.∵∠1＝120°，∴∠AOP＝60°，∴AP＝OA·tan∠AOP＝3×＝3
；当∠ABP＝90°时，如图④，∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°.∵O是AB的中点，∴OB＝AB＝3，∴PB＝OB·tan∠BOP＝3×＝3
，∴PA＝＝3
，故答案为3或3
或3
.
三、17．解：(1)原式＝4×－×－×＋2×＝2－1－1＋＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝3－2
.
18．解：如图，延长AC交BF延长线于D点，
作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4米，∴CE＝2米，EF＝4cos30°＝4×＝2
(米)，
∵同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴CE∶DE＝1∶2，AB∶BD＝1∶2，
∴DE＝4米，∴BD＝BF＋EF＋ED＝(12＋2
)米，
在Rt△ABD中，AB＝BD＝(12＋2
)＝＋6(米)．
答：树的高度为(＋6)米．
19．解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH.
设BN＝NH＝x
m，
∵HF＝6
m，∠BFN＝30°，
∴tan∠BFN＝＝，
即tan30°＝，解得x＝3
＋3，
根据题意可知DM＝MH＝MN＋NH，
∵MN＝AC＝10
m，∴DM＝10＋3
＋3＝(13＋3
)m，
∴CD＝DM＋MC＝DM＋EF＝13＋3
＋1.6≈19.8(m)．
答：建筑物CD的高度约为19.8
m.
20．解：(1)如图①，作BO⊥DE于O.
∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°－90°＝60°，
∴OD＝BD·sin
60°＝(20＋20)×＝20
(cm)，
∴DE＝OD＋OE＝OD＋AB＝20
＋5≈39.6(cm)．
(2)如图②，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H，则四边形PCHG是矩形．∴∠PCH＝90°.
易知∠CBH＝60°，∵∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝30°.∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝165°－90°－30°＝45°，
∴CH＝BC·sin
60°＝10
cm，DP＝CD·sin
45°＝10
cm，
∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝(10
＋10
＋5)cm.
∵DE＝(20
＋5)cm，∴DE>DF，DE－DF＝20
＋5－(10
＋10
＋5)＝10
－10
≈3.2(cm)．
即此时连杆端点D离桌面l的高度减少了，减少了约3.2
cm.
21．解：(1)如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠A＝45°.作BH⊥AC，垂足为H.在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH.
在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH.∴thiA＝＝.
(2)60°或120°
(3)如图，在△ABC中，∠C＝30°，thiA＝.
在Rt△BHA中，sinA＝.在Rt△BHC中，sinC＝＝，
即BC＝2BH.∴thiA＝，即thiA＝2sinA.
22．(1)证明：如图，过点A作DC的垂线AM，交DC于点M，∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCM为矩形，
∴AM＝BC＝2，MC＝AB＝1.
∵tan
∠ADC＝＝2，
∴DM＝AM＝1.
∴DC＝DM＋MC＝2，∴DC＝BC.
(2)解：△ECF是等腰直角三角形．
证明如下：如图，
∵DE＝BF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC，
∴△DEC≌△BFC，
∴∠1＝∠3，EC＝FC.
∴∠3＋∠2＝∠1＋∠2＝90°.
∴△ECF为等腰直角三角形．
(3)解：在(2)的条件下，∠CEF＝45°，
∵∠BEC＝135°，
∴∠BEF＝135°－45°＝90°.
∵BE:CE＝1:2，∴设BE＝k，CE＝2k，易知EF＝2
k，∴BF＝＝＝3k.
在Rt△BEF中，sin
∠BFE＝＝＝.